小學(xué)生推理能力的主要形式及培養(yǎng)策略

沈銀大

數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)系統(tǒng)化的邏輯體系，而推理則是抽象邏輯思維的基礎(chǔ)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常見(jiàn)到歸納推理、類比推理、演繹推理、合情判斷的痕跡. 本人從一年級(jí)到六年級(jí)一個(gè)大循環(huán)教下來(lái)，對(duì)小學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中推理的主要形式及能力培養(yǎng)的策略有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解.

一、歸納推理——讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律

歸納推理，即通過(guò)對(duì)某類事物一定數(shù)量的具體實(shí)例進(jìn)行觀察、比較、分析、概括，得出某些結(jié)論，并將其所具有的規(guī)律作為該事物的普遍規(guī)律. 借助歸納，人們能從有限的事物中受到啟發(fā)，提出假說(shuō)和猜想. 在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，幾乎大部分定律、性質(zhì)、法則是由歸納推理得出的，而且一般用的是不完全歸納法，用不完全歸納法得出的結(jié)論容易犯以偏概全的錯(cuò)誤，還有待嚴(yán)格證明. 但不完全歸納法符合人的思維特點(diǎn)，是一種基礎(chǔ)性認(rèn)知能力，易于被學(xué)生接受. 因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生適度應(yīng)用歸納推理，可以讓學(xué)生更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過(guò)程.

【案例1】 “商不變的性質(zhì)”教學(xué)片段

教師逐題出示：36 ÷ 12，360 ÷ 120，……

師：3600……0（末尾100個(gè)0） ÷ 1200……0（末尾100個(gè)0）的得數(shù)是多少？你是怎么知道的？

生：得數(shù)是3，我是猜出來(lái)的.

師：商是不是3，我們來(lái)研究一下.

教師根據(jù)36 ÷ 12 = 3，編了9道新算式引導(dǎo)學(xué)生先獨(dú)立計(jì)算，再看看商的變化情況，把商沒(méi)變的算式整理出來(lái)，如下：

（36 × 2） ÷ （12 × 2） = 3 （36 × 3） ÷ （12 × 3） = 3

（36 × 10） ÷ （12 × 10） = 3 （36 × 5） ÷ （12 × 5） = 3

師：它們的商為什么沒(méi)變？你能發(fā)現(xiàn)什么？把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律和同學(xué)交流一下.

生1：我發(fā)現(xiàn)被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘幾，商不變. 我還發(fā)現(xiàn)被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以幾，商不變.

生2：我可以把他們的話并成一句話來(lái)說(shuō)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以幾，商都不變.

師：好的，按照你們剛才的話，老師把題目改成（36 × 0） ÷ （12 × 0），這句話還成立嗎？

師：有（36 ÷ 0） ÷ （12 ÷ 0）這樣的算式嗎？0可以作為除數(shù)嗎？為什么？

生：哦，我們發(fā)現(xiàn)了，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），商不變.

策略1：提供關(guān)系結(jié)構(gòu)或規(guī)律相同的多個(gè)同類型材料，讓學(xué)生歸納.

針對(duì)歸納推理，教師給學(xué)生提供或引導(dǎo)學(xué)生收集材料時(shí)，應(yīng)做到：一是提供一定數(shù)量的同類型材料，一般不少于3個(gè)；二是提供關(guān)系結(jié)構(gòu)相同或規(guī)律明顯的材料；三是提供的材料蘊(yùn)含的關(guān)系或呈現(xiàn)出來(lái)的規(guī)律應(yīng)是學(xué)生能夠通過(guò)自主探索得到并具有推廣價(jià)值的. 這樣的材料便于學(xué)生“多”中求“同”，“多”中得“全”. 從不完全歸納到完全歸納，從而得出有效結(jié)論.

二、類比推理——讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)聯(lián)系

類比推理是根據(jù)不同對(duì)象的某些方面（如特性、屬性、關(guān)系等）相同或相似，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳嗨频乃季S形式，是由特殊到特殊的推理. 常見(jiàn)的類比有直線和平面的類比、平面和空間的類比、加減和乘除的類比、有限和無(wú)限的類比、個(gè)體和整體的類比等. 類比推理抓住了事物的相似性，把兩類不同對(duì)象按其內(nèi)在聯(lián)系的相似性加以類比. 類比推理可以幫助學(xué)生由舊知探究新知，充分體驗(yàn)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)運(yùn)用類比推理，更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系.

【案例2】 “梯形的面積計(jì)算”教學(xué)片段

師：怎樣把梯形轉(zhuǎn)化為我們熟悉的平面圖形？想想能把梯形剪、拼成什么樣的圖形，想好后動(dòng)手剪一剪或拼一拼.

師：誰(shuí)能向大家匯報(bào)一下自己把梯形剪、拼成了什么圖形？

生1：根據(jù)我們前面學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形面積計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)，我把兩個(gè)完全一樣的梯形拼成了一個(gè)平行四邊形.

生2：我還有一個(gè)辦法，從梯形中割下一個(gè)小三角形，旋轉(zhuǎn)后拼成了一個(gè)平行四邊形.

生3：我則是從兩腰中點(diǎn)作下底的垂線，分割成兩個(gè)三角形，拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形.

生4：我則是從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作與一腰中點(diǎn)的連線延長(zhǎng)與底邊的延長(zhǎng)線相交，將割下的三角形旋轉(zhuǎn)拼在底的旁邊使其拼成一個(gè)三角形.

師：同學(xué)們真聰明，想出了很多方法，現(xiàn)在能仔細(xì)觀察梯形與這些圖形之間的關(guān)系嗎？然后想辦法得出梯形面積的計(jì)算方法.

生：……

生：最終得出梯形的面積 = （上底 + 下底） × 高 ÷ 2.

策略2：提供具有某些相似性的不同類型材料，讓學(xué)生類比.

類比推理的基礎(chǔ)是比較，關(guān)鍵是遷移，當(dāng)我們遇到一個(gè)新的問(wèn)題時(shí)，首先想到的是有沒(méi)有一個(gè)類似的、已經(jīng)解決的問(wèn)題可以與之對(duì)比，因此素材選擇恰當(dāng)與否是影響學(xué)生類比推理的關(guān)鍵因素. 選擇類比推理的素材時(shí)，教師首先要深入分析需要探究的問(wèn)題的特點(diǎn)，以及其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)關(guān)系和結(jié)構(gòu)；其次是尋找學(xué)生已有知識(shí)中具有相似特點(diǎn)的素材，基于這種相似性分析類比、遷移出其他性質(zhì)的可行性和可靠性；再次是對(duì)可供選擇的材料進(jìn)行適當(dāng)處理，使之能夠凸顯有待解決問(wèn)題的主要性質(zhì)或關(guān)系，這樣才能讓學(xué)生進(jìn)行有效類比，從而得出正確結(jié)論.

三、演繹推理——讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)作用

演繹推理又稱為論證推理，是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論 （ 包括定義、公理、定理等） ，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程，是從一般到特殊的推理，它是以某類事物的一般判斷為前提作出這類事物的個(gè)別、特殊事物判斷的推理方法. 演繹推理以形式邏輯或論證邏輯為依據(jù)，它的過(guò)程正好與歸納推理的過(guò)程相反，它的前提與結(jié)論之間有著必然的聯(lián)系，只要前提是真的，推理是合乎邏輯的，就一定能得到正確的結(jié)論.

演繹推理的基本方式是三段論證法，即“大前提、小前提、結(jié)論”. 演繹推理的正確與否取決于兩個(gè)前提的正確性，只有當(dāng)大前提和小前提都正確時(shí)，才能得到正確的結(jié)論. 因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)運(yùn)用演繹推理，更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)中邏輯思維的作用.

【案例3】 “分?jǐn)?shù)應(yīng)用題”教學(xué)片段

例如，“一個(gè)食堂原有煤200噸，用去■，還剩多少噸？”推理的步驟如下：

師：要求還剩多少噸，必須知道什么條件？

生：要求還剩多少噸，必須知道原有的噸數(shù)和用去的噸數(shù).

師：這兩個(gè)條件哪個(gè)是已知的，哪個(gè)是未知的？怎么辦？

生1：這道題原有200噸已知，用去的噸數(shù)未知，所以，要先求出用去的噸數(shù).

生2：要求用去的噸數(shù)，必須知道原有的噸數(shù)和用去的占原有的幾分之幾.

生3：根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少用乘法計(jì)算，所以算式是200 × ■.

師：那現(xiàn)在會(huì)求還剩多少噸嗎？嘗試列式解答.

……

策略3：提供合適的推理素材，讓學(xué)生演繹.

解答簡(jiǎn)單應(yīng)用題時(shí)，根據(jù)問(wèn)題找出所需的已知條件就是分析的過(guò)程，根據(jù)已知條件提出所能解的問(wèn)題就是綜合的過(guò)程. 解答復(fù)合應(yīng)用題時(shí)，分析、綜合就較為復(fù)雜. 先把復(fù)合應(yīng)用題分解為幾個(gè)有聯(lián)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用題，進(jìn)一步分析解每個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用題所需的已知條件，然后把已知條件成對(duì)地結(jié)合，連續(xù)地解答幾個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用題，最后得到問(wèn)題的答案.

在教學(xué)過(guò)程中，我們可以先讓學(xué)生猜或發(fā)現(xiàn)一個(gè)命題的內(nèi)容，在完全作出證明之前，先提出自己的猜想，然后推測(cè)出證明的思路，繼而一次又一次地進(jìn)行嘗試，在這一系列的過(guò)程中，讓學(xué)生進(jìn)行演繹推理.

演繹推理能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教育中需要注重培養(yǎng)的能力. 由于小學(xué)生的入學(xué)年齡是6歲左右，而畢業(yè)年齡是12歲左右，因此，小學(xué)數(shù)學(xué)中的邏輯推理應(yīng)該從具體形象思維逐步向邏輯思維過(guò)渡. 特別是在高年級(jí)，更應(yīng)重視邏輯推理能力的培養(yǎng)，以便更好地與初中數(shù)學(xué)教育相銜接.

四、合情推理——讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)魅力

合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程. 在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng).

【案例4】 “圓的周長(zhǎng)”教學(xué)片段

師：如果測(cè)量圓的周長(zhǎng)，比如就是你手中這個(gè)直徑為10厘米的圓，你會(huì)采用什么辦法？（小組討論，利用手中的工具幫忙）

生1：滾圓法，但要先做好記號(hào)，否則會(huì)不知道滾到哪里算好.

生2：我用繩圍圓一周，再打開(kāi)就可以量出圓的周長(zhǎng)了.

師：用你們的數(shù)學(xué)眼睛觀察這兩個(gè)圓，猜想一下圓的周長(zhǎng)可能和誰(shuí)有關(guān)系？

生：我估計(jì)和直徑有關(guān)系，因?yàn)槲铱吹街睆介L(zhǎng)的圓就大，直徑短的圓小.

師：和直徑到底有怎樣的關(guān)系呢？

師：下面我們就一起來(lái)做個(gè)實(shí)驗(yàn)（圖略）.

生：先實(shí)驗(yàn)，再匯報(bào).

師：觀察表中的數(shù)據(jù)你有什么發(fā)現(xiàn)？為什么有人算出的數(shù)據(jù)有3點(diǎn)幾、有2點(diǎn)幾的？

生：那是因?yàn)槲覀冊(cè)诹康臅r(shí)候誤差造成的.

師：大部分得出的數(shù)據(jù)是多少呢？

生：3點(diǎn)幾.

……

師：相機(jī)介紹圓周率的知識(shí)，讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)π.

策略4：提供恰當(dāng)?shù)耐评砬榫常寣W(xué)生合情.

由于合情推理帶有較強(qiáng)的情境性、個(gè)體性，因此部分老師認(rèn)為合情推理只要講道理、說(shuō)得通就行. 其實(shí)，合情推理不是無(wú)根之本、無(wú)源之水，而是立足于學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思考的，也要有一定根據(jù). 首先，要給學(xué)生提供合情的情境，讓學(xué)生在經(jīng)歷探索過(guò)程后在進(jìn)行推理. 其次，要教給學(xué)生一定的合情推理方法，讓學(xué)生猜想或推測(cè)出可能的規(guī)律、結(jié)論. 第三，要鼓勵(lì)學(xué)生積極尋找猜想的依據(jù)，思考猜想的合理性和準(zhǔn)確性，而不能滿足于已經(jīng)得出的結(jié)論.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行推理能力的培養(yǎng)，對(duì)于老師，能提高課堂效率，增加課堂教學(xué)的趣味性，優(yōu)化教學(xué)條件，提升教學(xué)水平和業(yè)務(wù)水平；對(duì)于學(xué)生，它不但能使學(xué)生學(xué)到知識(shí)，會(huì)解決問(wèn)題，而且能使學(xué)生掌握在新問(wèn)題出現(xiàn)時(shí)該如何應(yīng)對(duì)的思想方法.