用“物理補償法”突破數(shù)學積分的限制＊

孫萬軍

（江蘇省六合高級中學，江蘇 南京 211500）

現(xiàn)用普通高中課程標準實驗教科書物理選修3-2（人民教育出版社）第5章第2節(jié)給出了正弦交變電流的有效值與其最大值之間的關(guān)系和.由于高中學生的知識水平所限以及《高中物理課程標準》中對正弦交變電流的有效值與其最大值之間關(guān)系的證明不作更高要求，筆者在課堂上對此并不做過多拓展.但在高三復習過程中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學生對此問題的探討具有濃厚興趣；卻因知識層次所限，苦于不知如何推導得出兩者之間的關(guān)系而苦惱.傳統(tǒng)的證明方法是運用高等數(shù)學中微積分的方法，但這不符合中學物理的教學實際.那么，有沒有什么方法能突破這個限制呢？答案是肯定的.筆者在課余時間，對學有余力（參加奧賽）的學生，運用了高等數(shù)學中微積分的方法和中學物理中的“補償法”，結(jié)合中學物理教學實際對正弦交流電的有效值與其最大值之間的關(guān)系進行了推導，從而消除了學生的疑惑；順勢把兩種方法做了對比，讓學生體會“物理補償法”在此的“妙用”，并希望以此進一步引導學生學會運用類似方法提高解決相關(guān)物理問題的能力，增加學生的物理學科素養(yǎng).

交變電流的有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)來規(guī)定的，讓交變電流和恒定電流通過相同阻值的電阻，如果它們在交變電流的一個周期內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等，就把這一恒定電流的數(shù)值叫做這一交變電流的有效值.

方法1：數(shù)學積分法.

如圖1所示的交變電流，它的瞬時表達式為u＝Umsinωt，其中.在一個周期內(nèi)產(chǎn)生的熱量可表達為

圖1

由于Um、R為常量，可拿到積分號前面，故

注意到：2sin2θ＝1-cos2θ，故上式可改寫為

方法2：物理補償法.

假設(shè)有兩個交變電壓，其變化規(guī)律如圖2、圖3所示，它們的最大值與周期都相同，它們的瞬時表達式分別為u＝Usinωt、u＝Ucosωt，其中把它們分別加在1m2m兩個阻值相同的電阻上，設(shè)電阻的阻值為R，由于電流的熱效應(yīng)與電流的方向及先后作用的時間順序無關(guān)，故在一個周期內(nèi)兩個交變電流產(chǎn)生的焦耳熱相同，設(shè)都為Q，產(chǎn)生的總的焦耳熱Q總＝2Q.設(shè)它們交變電壓的有效值為U，則有

圖2

圖3

另外，在任一時刻t，這兩個電阻上的熱功率分別為

兩個電阻上總的發(fā)熱功率為

可以看出，兩個電阻上總的發(fā)熱功率是一定值，與時刻t無關(guān)，所以在一個周期內(nèi)兩個電阻上總的發(fā)熱量為

方法對比：在介紹完兩種方法后，筆者讓學生對兩種方法作出評價.學生普遍認為數(shù)學方法雖然很“高深”（因為高中階段對微積分不作高要求），但顯得比較“古板”；而對物理方法是大加贊賞，認為物理方法巧妙靈活，有明顯的物理意義.

結(jié)束語：在高中物理中，有很多問題既可以用數(shù)學方法求解，也可以用物理方法求解（其實，數(shù)學方法中含有物理思想，物理方法中也含有數(shù)學成份.這里是指側(cè)重數(shù)學方法和側(cè)重物理方法）.當兩種方法都可以解決問題時，建議物理教師先采用數(shù)學方法，這種方法邏輯性強，是探究未知領(lǐng)域的根本方法，有較強的說服力，能讓學生心服口服，但物理意義不明顯；再運用物理方法求解，讓學生體會物理方法求解問題的巧妙性，加深對物理過程的認識和理解.在平時的練習和考試中，如果遇到相關(guān)問題，應(yīng)鼓勵學生首選物理方法.