例析牛頓第二定律應(yīng)用之臨界問(wèn)題的解題思想和方法

劉 玲

（復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)，上海 200433）

1 立足基礎(chǔ) —— 掌握臨界問(wèn)題的思路和方法

我們先來(lái)看一下2012年上海高考第30題，通過(guò)這道題目來(lái)討論解決臨界問(wèn)題的基本思想和方法.

圖1

例1.（2012年上海卷）如圖1，將質(zhì)量m＝0.1kg的圓環(huán)套在固定的水平直桿上.環(huán)的直徑略大于桿的截面直徑.環(huán)與桿間動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.8.對(duì)環(huán)施加一位于豎直平面內(nèi)斜向上，與桿夾角θ＝53°的拉力F，使圓環(huán)以a＝4.4m／s2的加速度沿桿運(yùn)動(dòng)，求F的大小.

圖2

解析：對(duì)圓環(huán)進(jìn)行受力分析，臨界條件為桿對(duì)圓環(huán)的彈力為0，此時(shí)受力分析如圖2所示.此時(shí)，滿(mǎn)足Fsinθ-mg＝0，得F＝N＝1.25N.

圖3

（1）當(dāng)F＜1.25N，時(shí)，環(huán)與桿的上部接觸，受力分析如圖3所示.根據(jù)牛頓第二定律，

聯(lián)立（1）、（2），有

圖4

（2）當(dāng)F＞1.25N，時(shí)，環(huán)與桿的上部接觸，受力分析如圖4所示.根據(jù)牛頓第二定律，

所以有

圖5

例2.質(zhì)量分別為mA和mB的兩個(gè)物體A、B疊放在光滑水平桌面上，如圖5所示當(dāng)用某一水平力拉B時(shí)，A、B兩物體恰好能一起以加速度a1做勻加速運(yùn)動(dòng)，那么如果在A上加一水平力，要使A、B之間不發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，水平力不能大于多少？

解析：用水平力拉B時(shí)，A是依靠B給它的靜摩擦力產(chǎn)生加速度的，所謂恰好能一起以加速度a1做勻加速運(yùn)動(dòng)，也就是說(shuō)如果水平力再大的話(huà)，A、B之間就要發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)了，所以臨界條件是此時(shí)A、B之間的摩擦力達(dá)到最大值.對(duì)A物體應(yīng)用牛頓第二定律，可以得到A、B之間的最大靜摩擦力為fm＝mAa1.

當(dāng)一水平力加在A物體上時(shí)，B是依靠A給它的靜摩擦力產(chǎn)生加速度的，所以臨界條件是此時(shí)A、B之間的摩擦力達(dá)到最大值.設(shè)此時(shí)的加速度為a2，對(duì)B物體應(yīng)用牛頓第二定律，有fm＝mBa2.所以得到a2＝.對(duì)A、B 整體應(yīng)用牛頓第二定律，有

從對(duì)上述兩道題目的分析我們發(fā)現(xiàn)，在動(dòng)力學(xué)中，接觸與脫離的臨界條件是彈力等于0，相對(duì)靜止的臨界條件是靜摩擦力達(dá)到最大值，解決臨界問(wèn)題要牢牢抓住這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).

2 綜合應(yīng)用——與連接體問(wèn)題的結(jié)合

在動(dòng)力學(xué)中臨界問(wèn)題經(jīng)常和比較復(fù)雜的連接體問(wèn)題一起出現(xiàn)，除了要掌握臨界問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，還要注意連接體問(wèn)題中整體法和隔離法的使用.

（1）連接體的系統(tǒng)中有兩個(gè)物體.

圖6

例3.兩個(gè)質(zhì)量都為m的滑塊A和B，緊挨著并排放在水平桌面上，A、B間的接觸面垂直于圖6中紙面與水平面成θ角，所有接觸面都光滑無(wú)摩擦.現(xiàn)用一個(gè)水平推力F作用于滑塊A上，使A、B一起向右做加速運(yùn)動(dòng)，如果要使A、B間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，水平推力的大小在什么范圍內(nèi)？

解析：首先應(yīng)用整體法，把A、B看做一個(gè)整體，在水平推力F作用下，A、B共同加速運(yùn)動(dòng)，則

然后利用隔離法，分別隔離A，B，受力分析如圖7所示，F(xiàn)TA、FTB為A、B間相互作用的彈力，與斜面垂直.FNA、FNB分別為地面A、B作用的彈力，與地面垂直.

圖7

對(duì)A列方程

對(duì)B列方程

接下來(lái)分析物體的臨界狀態(tài).注意，這道題目的臨界條件比較隱蔽，對(duì)物體的受力情況列出方程后，要一步一步仔細(xì)分析，從而找出臨界條件.

由（1）式可知，當(dāng)F增大時(shí)，a增大.由（4）式可知，a增大時(shí)，F(xiàn)TB增大，則FTA也增大.由（3）式可知，F(xiàn)TA增大，F(xiàn)NA減小.

通過(guò)上面的分析，A、B間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件為FNA＝0，即A與地面分離.設(shè)此時(shí)對(duì)應(yīng)的加速度為a0，當(dāng)加速度大于a0時(shí)，則FTAcosθ＞mg，A具有豎直向上的加速度，A被擠離地面.

當(dāng)FNA＝0時(shí)，對(duì)A有FTAcosθ＝mg，對(duì)B有FTBsinθ＝ma0，解得a0＝gtanθ.對(duì)整體而言，F(xiàn)＝2ma0，可得F＝2mgtanθ.所以F的取值范圍是0≤F≤2 mgtanθ.

（2）有多個(gè)物體的連接體系統(tǒng).

當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)有多個(gè)物體時(shí)，巧妙選取研究對(duì)象就顯得非常重要了.看下面的題目.

圖8

例4.光滑水平面上放置質(zhì)量分別為m和2 m的4個(gè)木塊，其中兩個(gè)質(zhì)量為m的木塊間用一不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩相連，木塊間的最大靜摩擦力是μmg，如圖8所示.現(xiàn)用水平拉力F拉其中一個(gè)質(zhì)量為2 m的木塊，使4個(gè)木塊以同一加速度運(yùn)動(dòng)，求輕繩對(duì)m的最大拉力T和F的最大值.

解析：這道題目物體比較多，可以通過(guò)巧妙地選取研究對(duì)象來(lái)解決問(wèn)題.

首先，從木塊間的靜摩擦力入手.對(duì)上面的兩塊木塊和左下方的木塊這3塊木塊來(lái)說(shuō)，它們?cè)谒椒较蛏系暮贤饬橛疑戏侥緣K和右下方木塊之間的靜摩擦力，所以此題的臨界狀態(tài)為右上方木塊和右下方木塊之間的靜摩擦力達(dá)到最大值，為μmg，設(shè)此時(shí)上面的兩塊木塊和左下方的木塊這3塊木塊整體的加速度為a0.根據(jù)牛頓第二定律，有μmg＝（m＋m＋2 m），得

圖9

例5.光滑的圓球恰好放在木塊的圓弧槽內(nèi)，它們的左邊接觸點(diǎn)為A，槽半徑為R，且OA與水平面成α角.球的質(zhì)量為m，木塊的質(zhì)量為M，木塊所處的平面是水平的，各種摩擦及繩、滑輪的質(zhì)量都不計(jì)，如圖9所示.求釋放懸掛物P后，要使球和木塊保持相對(duì)靜止，P物的質(zhì)量的最大值是多少？

圖10

解析：首先應(yīng)用隔離法，對(duì)圓球進(jìn)行受力分析（如圖10所示）.我們發(fā)現(xiàn)臨界條件是：當(dāng)二者即將發(fā)生相當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓球會(huì)繞A點(diǎn)翻轉(zhuǎn).臨界狀態(tài)圓球的受力分析如圖10所示，根據(jù)牛頓第二定律，有

由（1）式得，α≤45°時(shí)，小球發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的加速度a＞g，故當(dāng)α≤45°時(shí)，球和木塊不會(huì)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng).

若α＞45°時(shí)，由（1）、（2）式得，

從上面的分析可知，在臨界問(wèn)題的課堂教學(xué)中，教師通過(guò)講解，首先應(yīng)該使學(xué)生學(xué)會(huì)解決臨界問(wèn)題的基本方法，然后還要使學(xué)生體會(huì)與其他問(wèn)題的結(jié)合（如連接體問(wèn)題）.在這樣的過(guò)程中使學(xué)生逐漸深入理解問(wèn)題的本質(zhì)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)融會(huì)貫通、比較鑒別和綜合歸納.這對(duì)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、提高解題能力和培養(yǎng)創(chuàng)新思維是大有裨益的.

1 李品忠.復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)高三物理總復(fù)習(xí)講義（力學(xué)分冊(cè)）［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2010.

2 陳海燕.牛頓第二定律的幾類(lèi)典型應(yīng)用［J］.中學(xué)物理，2013（9）.

3 朱浩.龍門(mén)專(zhuān)題·高三力學(xué)［J］.北京：龍門(mén)書(shū)局，2011.

4 高成軍.談高一教學(xué)中牛頓第二定律結(jié)合臨界問(wèn)題的難點(diǎn)突破［J］.物理教師，2011（9）：14-16.