巧用圓的思想解數(shù)學(xué)題目

蘇凡文

例1設(shè)實(shí)數(shù)m，n，x，y滿足m2+n2=a，x2+y2=b，則mx+ny的最大值為（）.

A.12（a+b）B.12a2+b2

C.a2+b22D.ab

解設(shè)mx+ny=k，則直線mx+ny=k與圓x2+y2=b有公共點(diǎn)，于是|k|m2+n2≤b，即|k|=|mx+ny|≤ab，所以（mx+ny）max=ab.

例2若實(shí)數(shù)x，y滿足x-4y=2x-y，則x的取值范圍是.

解設(shè)x-y=X，

y=Y，（X≥0，Y≥0），在坐標(biāo)系XOY中，圓弧M：X2+Y2=x和直線l：2X+4Y-x=0有公共點(diǎn)，求圓的半徑的平方x的范圍.如圖1，圖1當(dāng)l過原點(diǎn)時(shí)，x=0；當(dāng)l過M上的點(diǎn)B（x，0），即x=4時(shí)，開始與圓相交，平行移動(dòng)到與M相切于T點(diǎn)后相離.由原點(diǎn)到相切直線l的距離公式，得|x|22+42=x，解得x=20，故x∈{0}∪[4，20].

例3（2013年湖北理科13題）設(shè)x，y，z∈R，且滿足x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，則x+y+z=.

解設(shè)圓C：x2+y2=1-z2，直線l：x+2y+（3z-14）=0，直線l與圓C有公共點(diǎn)，則圓心到直線l的距離小于等于半徑1-z2，所以|3z-14|12+22≤1-z2，解得14z2-614z+9≤0，（14z-3）2=0，z=31414，同理解得x=1414，y=147，所以x+y+z=3147.

例4已知x>0，y>0，且x+y=1，求2x+1+2y+1的最大值.

解令u=2x+1，v=2y+1，則u2+v2=4，直線z=u+v與圓有公共點(diǎn)，則|z|2≤2，所以z≤22.

例5函數(shù)y=1-x2x-2的值域?yàn)?

解設(shè)u=x

v=1-x2，則u2+v2=1，-1≤u≤1，0≤v≤1，所以y=vu-2，表示半圓上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)（2，0）連線的斜率k，由圖2可知當(dāng)直線與圓相切時(shí)，k=-33，所以k∈-33，0.

圖2

例6設(shè)不等式m+n≤am+n對(duì)任意正實(shí)數(shù)m，n恒成立，求a的取值范圍.

解m+n≤am+n變形可得m+nm+n≤a，則a>0，設(shè)圓C：（x-1）2+（y-1）2=a2，m+nm+n≤a的幾何意義為圓心（1，1）到動(dòng)直線l：mx+ny=0的距離小于等于圓的半徑a，即動(dòng)直線l與圓C恒有公共點(diǎn)，動(dòng)直線l為過原點(diǎn)且斜率為任意的負(fù)數(shù)的直線系，所以當(dāng)a≥1+1=2時(shí)滿足題意.

例7若函數(shù)f（x）=10x-x2-21+7x-x2-10-a存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）.

A.（0，10]B.[2，3]

C.[2，10]D.[2，10]

圖3圖4

解由f（x）存在零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為求a=10x-x2-21+7x-x2-10（x∈[3，5]）的值域，設(shè)y1=10x-x2-21，y2=7x-x2-10，則（x-5）2+y21=4，x-722+y22=94，分別畫出兩個(gè)半圓如圖3，于是可知，x∈[3，5]時(shí)，兩個(gè)圓上的點(diǎn)到x軸距離和的最值.由圖象可知x=3時(shí)，amin=2.為求a的最大值，我們不妨將y2=7x-x2-10的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，如圖4，則問題轉(zhuǎn)化為求線段AB的最大值，為求解方便，將圖4中x軸下方的圓向上平移使兩圓相切如圖5，則a=|BC|+|AD|，顯然過切點(diǎn)時(shí)a最大為EF，即2+322-5-722=10，所以選D.

圖5

例8過橢圓x225+y216=1內(nèi)一定點(diǎn)P（1，0）作弦，求弦中點(diǎn)Q的軌跡方程.

解設(shè)中點(diǎn)Q（x，y），令x=5X，y=4Y，則橢圓的方程在新坐標(biāo)系XOY下轉(zhuǎn)化為圓O的方程X2+Y2=1.定點(diǎn)P（1，0）在新坐標(biāo)系XOY下的坐標(biāo)為P′（15，0），中點(diǎn)Q（x，y）在新坐標(biāo)系XOY下的坐標(biāo)為Q′x5，y4.則過點(diǎn)P′15，0的弦與OQ′垂直，即OQ′·P′Q′=0.所以x5，y4·x5-15，y4=0，整理得16x2+25y2-16x=0.

例9（2011年全國卷Ⅱ理科12）設(shè)向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，a·b=-12，〈a-c，b-c〉=60°，則|c|的最大值等于（）.

A.2B.3C.2D.1

圖6

解由|a|=|b|=1，a·b=-12，得〈a，b〉=23π，設(shè)a=OA，b=OB，c=OC，則CA=a-c，CB=b-c，所以∠BOA=2π3，又因?yàn)椤螦CB=π3，所以O(shè)，A，C，B四點(diǎn)共圓如圖6，所以當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)|c|最大.在等腰△ABO中，其外接圓的直徑為|a|sin∠ABO=1sinπ6=2，故選A.

例1設(shè)實(shí)數(shù)m，n，x，y滿足m2+n2=a，x2+y2=b，則mx+ny的最大值為（）.

A.12（a+b）B.12a2+b2

C.a2+b22D.ab

解設(shè)mx+ny=k，則直線mx+ny=k與圓x2+y2=b有公共點(diǎn)，于是|k|m2+n2≤b，即|k|=|mx+ny|≤ab，所以（mx+ny）max=ab.

例2若實(shí)數(shù)x，y滿足x-4y=2x-y，則x的取值范圍是.

解設(shè)x-y=X，

y=Y，（X≥0，Y≥0），在坐標(biāo)系XOY中，圓弧M：X2+Y2=x和直線l：2X+4Y-x=0有公共點(diǎn)，求圓的半徑的平方x的范圍.如圖1，圖1當(dāng)l過原點(diǎn)時(shí)，x=0；當(dāng)l過M上的點(diǎn)B（x，0），即x=4時(shí)，開始與圓相交，平行移動(dòng)到與M相切于T點(diǎn)后相離.由原點(diǎn)到相切直線l的距離公式，得|x|22+42=x，解得x=20，故x∈{0}∪[4，20].

例3（2013年湖北理科13題）設(shè)x，y，z∈R，且滿足x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，則x+y+z=.

解設(shè)圓C：x2+y2=1-z2，直線l：x+2y+（3z-14）=0，直線l與圓C有公共點(diǎn)，則圓心到直線l的距離小于等于半徑1-z2，所以|3z-14|12+22≤1-z2，解得14z2-614z+9≤0，（14z-3）2=0，z=31414，同理解得x=1414，y=147，所以x+y+z=3147.

例4已知x>0，y>0，且x+y=1，求2x+1+2y+1的最大值.

解令u=2x+1，v=2y+1，則u2+v2=4，直線z=u+v與圓有公共點(diǎn)，則|z|2≤2，所以z≤22.

例5函數(shù)y=1-x2x-2的值域?yàn)?

解設(shè)u=x

v=1-x2，則u2+v2=1，-1≤u≤1，0≤v≤1，所以y=vu-2，表示半圓上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)（2，0）連線的斜率k，由圖2可知當(dāng)直線與圓相切時(shí)，k=-33，所以k∈-33，0.

圖2

例6設(shè)不等式m+n≤am+n對(duì)任意正實(shí)數(shù)m，n恒成立，求a的取值范圍.

解m+n≤am+n變形可得m+nm+n≤a，則a>0，設(shè)圓C：（x-1）2+（y-1）2=a2，m+nm+n≤a的幾何意義為圓心（1，1）到動(dòng)直線l：mx+ny=0的距離小于等于圓的半徑a，即動(dòng)直線l與圓C恒有公共點(diǎn)，動(dòng)直線l為過原點(diǎn)且斜率為任意的負(fù)數(shù)的直線系，所以當(dāng)a≥1+1=2時(shí)滿足題意.

例7若函數(shù)f（x）=10x-x2-21+7x-x2-10-a存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）.

A.（0，10]B.[2，3]

C.[2，10]D.[2，10]

圖3圖4

解由f（x）存在零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為求a=10x-x2-21+7x-x2-10（x∈[3，5]）的值域，設(shè)y1=10x-x2-21，y2=7x-x2-10，則（x-5）2+y21=4，x-722+y22=94，分別畫出兩個(gè)半圓如圖3，于是可知，x∈[3，5]時(shí)，兩個(gè)圓上的點(diǎn)到x軸距離和的最值.由圖象可知x=3時(shí)，amin=2.為求a的最大值，我們不妨將y2=7x-x2-10的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，如圖4，則問題轉(zhuǎn)化為求線段AB的最大值，為求解方便，將圖4中x軸下方的圓向上平移使兩圓相切如圖5，則a=|BC|+|AD|，顯然過切點(diǎn)時(shí)a最大為EF，即2+322-5-722=10，所以選D.

圖5

例8過橢圓x225+y216=1內(nèi)一定點(diǎn)P（1，0）作弦，求弦中點(diǎn)Q的軌跡方程.

解設(shè)中點(diǎn)Q（x，y），令x=5X，y=4Y，則橢圓的方程在新坐標(biāo)系XOY下轉(zhuǎn)化為圓O的方程X2+Y2=1.定點(diǎn)P（1，0）在新坐標(biāo)系XOY下的坐標(biāo)為P′（15，0），中點(diǎn)Q（x，y）在新坐標(biāo)系XOY下的坐標(biāo)為Q′x5，y4.則過點(diǎn)P′15，0的弦與OQ′垂直，即OQ′·P′Q′=0.所以x5，y4·x5-15，y4=0，整理得16x2+25y2-16x=0.

例9（2011年全國卷Ⅱ理科12）設(shè)向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，a·b=-12，〈a-c，b-c〉=60°，則|c|的最大值等于（）.

A.2B.3C.2D.1

圖6

解由|a|=|b|=1，a·b=-12，得〈a，b〉=23π，設(shè)a=OA，b=OB，c=OC，則CA=a-c，CB=b-c，所以∠BOA=2π3，又因?yàn)椤螦CB=π3，所以O(shè)，A，C，B四點(diǎn)共圓如圖6，所以當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)|c|最大.在等腰△ABO中，其外接圓的直徑為|a|sin∠ABO=1sinπ6=2，故選A.

例1設(shè)實(shí)數(shù)m，n，x，y滿足m2+n2=a，x2+y2=b，則mx+ny的最大值為（）.

A.12（a+b）B.12a2+b2

C.a2+b22D.ab

解設(shè)mx+ny=k，則直線mx+ny=k與圓x2+y2=b有公共點(diǎn)，于是|k|m2+n2≤b，即|k|=|mx+ny|≤ab，所以（mx+ny）max=ab.

例2若實(shí)數(shù)x，y滿足x-4y=2x-y，則x的取值范圍是.

解設(shè)x-y=X，

y=Y，（X≥0，Y≥0），在坐標(biāo)系XOY中，圓弧M：X2+Y2=x和直線l：2X+4Y-x=0有公共點(diǎn)，求圓的半徑的平方x的范圍.如圖1，圖1當(dāng)l過原點(diǎn)時(shí)，x=0；當(dāng)l過M上的點(diǎn)B（x，0），即x=4時(shí)，開始與圓相交，平行移動(dòng)到與M相切于T點(diǎn)后相離.由原點(diǎn)到相切直線l的距離公式，得|x|22+42=x，解得x=20，故x∈{0}∪[4，20].

例3（2013年湖北理科13題）設(shè)x，y，z∈R，且滿足x2+y2+z2=1，x+2y+3z=14，則x+y+z=.

解設(shè)圓C：x2+y2=1-z2，直線l：x+2y+（3z-14）=0，直線l與圓C有公共點(diǎn)，則圓心到直線l的距離小于等于半徑1-z2，所以|3z-14|12+22≤1-z2，解得14z2-614z+9≤0，（14z-3）2=0，z=31414，同理解得x=1414，y=147，所以x+y+z=3147.

例4已知x>0，y>0，且x+y=1，求2x+1+2y+1的最大值.

解令u=2x+1，v=2y+1，則u2+v2=4，直線z=u+v與圓有公共點(diǎn)，則|z|2≤2，所以z≤22.

例5函數(shù)y=1-x2x-2的值域?yàn)?

解設(shè)u=x

v=1-x2，則u2+v2=1，-1≤u≤1，0≤v≤1，所以y=vu-2，表示半圓上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)（2，0）連線的斜率k，由圖2可知當(dāng)直線與圓相切時(shí)，k=-33，所以k∈-33，0.

圖2

例6設(shè)不等式m+n≤am+n對(duì)任意正實(shí)數(shù)m，n恒成立，求a的取值范圍.

解m+n≤am+n變形可得m+nm+n≤a，則a>0，設(shè)圓C：（x-1）2+（y-1）2=a2，m+nm+n≤a的幾何意義為圓心（1，1）到動(dòng)直線l：mx+ny=0的距離小于等于圓的半徑a，即動(dòng)直線l與圓C恒有公共點(diǎn)，動(dòng)直線l為過原點(diǎn)且斜率為任意的負(fù)數(shù)的直線系，所以當(dāng)a≥1+1=2時(shí)滿足題意.

例7若函數(shù)f（x）=10x-x2-21+7x-x2-10-a存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）.

A.（0，10]B.[2，3]

C.[2，10]D.[2，10]

圖3圖4

解由f（x）存在零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為求a=10x-x2-21+7x-x2-10（x∈[3，5]）的值域，設(shè)y1=10x-x2-21，y2=7x-x2-10，則（x-5）2+y21=4，x-722+y22=94，分別畫出兩個(gè)半圓如圖3，于是可知，x∈[3，5]時(shí)，兩個(gè)圓上的點(diǎn)到x軸距離和的最值.由圖象可知x=3時(shí)，amin=2.為求a的最大值，我們不妨將y2=7x-x2-10的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，如圖4，則問題轉(zhuǎn)化為求線段AB的最大值，為求解方便，將圖4中x軸下方的圓向上平移使兩圓相切如圖5，則a=|BC|+|AD|，顯然過切點(diǎn)時(shí)a最大為EF，即2+322-5-722=10，所以選D.

圖5

例8過橢圓x225+y216=1內(nèi)一定點(diǎn)P（1，0）作弦，求弦中點(diǎn)Q的軌跡方程.

解設(shè)中點(diǎn)Q（x，y），令x=5X，y=4Y，則橢圓的方程在新坐標(biāo)系XOY下轉(zhuǎn)化為圓O的方程X2+Y2=1.定點(diǎn)P（1，0）在新坐標(biāo)系XOY下的坐標(biāo)為P′（15，0），中點(diǎn)Q（x，y）在新坐標(biāo)系XOY下的坐標(biāo)為Q′x5，y4.則過點(diǎn)P′15，0的弦與OQ′垂直，即OQ′·P′Q′=0.所以x5，y4·x5-15，y4=0，整理得16x2+25y2-16x=0.

例9（2011年全國卷Ⅱ理科12）設(shè)向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，a·b=-12，〈a-c，b-c〉=60°，則|c|的最大值等于（）.

A.2B.3C.2D.1

圖6

解由|a|=|b|=1，a·b=-12，得〈a，b〉=23π，設(shè)a=OA，b=OB，c=OC，則CA=a-c，CB=b-c，所以∠BOA=2π3，又因?yàn)椤螦CB=π3，所以O(shè)，A，C，B四點(diǎn)共圓如圖6，所以當(dāng)OC為圓的直徑時(shí)|c|最大.在等腰△ABO中，其外接圓的直徑為|a|sin∠ABO=1sinπ6=2，故選A.