函數王國里的鴨嘴獸

向華

鴨嘴獸又名鴨獺，它是哺乳類的脊椎動物，卻偏偏又是卵生，它不但有鳥類的喙，也會像鳥類一樣自己營造窩巢孵蛋.它在水中游行像魚一般自如，在陸地上又有爬蟲類的兩棲性能.取整函數兼顧了常函數與一般函數的特征，是常函數與一般函數的過渡，由于它的存在，函數王國更加豐富多彩.

定義設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，則y=[x]稱為取整函數，也叫高斯函數，顯然y=[x]的定義域為R，值域為Z，稱[x]為x的整數部分，稱x-[x]為x的小數部分，記作{x}.例如[32]=3，{3.2}=0.2，[-23]=-3，{-2.3}=0.7，表面上看這個函數是很簡單的，其實不然，它具有函數的簡捷美，又有它獨特的應用魅力，正因如此，在中學教學中有所滲透（如普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修1的第25頁習題12B組第3題），而且高考題常把它作為背景，數學競賽中也?？汲Ｐ拢彩乾F實生活中的一類問題（如手機收費，電話收費，出租車收費，信函收費等）的數學模型.關于它的應用及解法也是妙趣橫生.

1在集合中的應用

例1某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選1名代表，當各班人數除以10的余數大于6時，再增選一名代表，那么各班可推選代表人數y與該班人數x之間的函數關系用取整函數y=[x]可以表示為（）.

A.y=x10B.y=x+310

C.y=x+410D.y=x+410

解析班人數除以10的可能余數是0，1，2，3，…，9，其中大于6的余數只可能是7，8，9，因為當余數大于6時再增加1，為達到此目的，先往班里加3個人，除以10后再取整，故選B.

評注本題巧妙地實行了問題的轉化，正確使用了取整函數.

2在方程中的應用

例2解方程3x+5[x]-50=0.

解析設[x]=y，則有y≤x≤y+1，原方程變?yōu)?x+5y-50=0.

由x≥y，有5y-50=-3x≤-3y，解關于y的不等式得，y≤628=614，

又由x≤y+1，有5y-50=-3x≥-3y-3，解關于y的不等式得，y≥578，從而578≤y≤614，所以y=6.將y=6代入方程3x+5[x]-50=0，解得x=203=623.

評注問題的突破口是將[x]設為y，利用不等式[x]≤x≤[x]+1，把原方程轉化為兩個含y的不等式，巧妙地解出y的值，使問題迎刃而解.

例3若0≤x≤π，解方程[2sinx]=1x.

解析因為0≤x≤π，2sinx≤2.

原方程等價于0≤2sinx<1，

0≤1x<1，或

1≤2sinx<2，

1≤1x<2，或2sinx=2，

1x=2..

得解集為π6，1∪5π6，π.

評注本題巧妙地利用了三角函數的性質以及取整函數的定義把看似難于解決的問題解決.

3在圓錐曲線中的應用

例4雙曲線x2-y2=1的右半支與直線x=100圍成的區(qū)域內部（不含邊界）整點的個數有.

解析設直線x=k（k=2，3，…，99）與雙曲線x2-y2=1的右半支交于點Ak，Bk，則yAk=-k2-1，yBk=k2-1，從而線段AkBk內部整數點的個數為2[k2-1]+1=2（k-1）+1=2k-1，（k=2，3，...，99），故所求的整數點的個數為∑99i=2（2i-1）=992-1=9800.

評注解答切入點是用直線x=k（k=2，3，…，99）去平行切割雙曲線x2-y2=1的右半支，其交點構成的線段上的整點數（不包括端點，因題中要求是不含邊界）就是所求滿足條件的整點數，使問題圓滿解決.

4現實生活中的應用

例5紅，黃，藍變色燈的拉線開關是這樣設計的，接上電源即出現紅色，拉第一次開關時，燈色由紅變黃，拉第二次開關時，燈色由黃變藍，拉第三次開關時，燈色由藍變紅，如此循環(huán)往復，現對編號為1，2，…，2000的2000盞變色燈接上電源，先將編號為2的倍數的燈線拉一下，再將編號為3的倍數的燈線拉一下，最后將編號為5的倍數的燈線拉一下，三次拉完后黃色燈的盞數有多少？

解析如右圖所示，

A={編號為2的倍數的燈}，B={編號為3的倍數的燈}，C={編號為5的倍數的燈}，

D={編號既為2的倍數又為3的倍數的燈}，

E={編號既為3的倍數又為5的倍數的燈}，

F={編號既為2的倍數又為5的倍數的燈}，

G={編號既為2的倍數又為3的倍數還為5的倍數的燈}，被拉過的燈的盞數是

n=20002+20003+20005-20002×3-20002×5-20003×5+20002×3×5

=1000+666+400-333-200-133+66=1446（盞）.

被拉過二次的燈的盞數是20002×3+20002×5+20003×5-3×20002×3×5=468（盞）.

被拉過三次的燈的盞數是20002×3×5=66（盞）.

拉過一次的燈為黃燈，所以三次拉完后的黃燈的盞數是1466-468-66=932（盞）.

評注靈活利用結論：若x∈R*，n∈Z*，則從1到x的所有整數中n的倍數有xn個，巧妙運用多去少補的思想方法，問題便順利解決.

取整函數y=[x]的應用遠不止于此，這只是冰山一角，足已見識了它的風采，說它是函數王國的鴨嘴獸一點都不為過，通過對這一怪獸的研究，使我們清醒地認識到必須用新課程理論武裝自己的頭腦，真正改變教學方法，變“教教科書”為“用教科書教”，認真鉆研教材，全面深刻地把握和捕捉教材中的信息，利用一切可以利用的資源，提高解決問題的能力，同時也為學生今后的學習架橋鋪路，奠定堅實的基礎.

鴨嘴獸又名鴨獺，它是哺乳類的脊椎動物，卻偏偏又是卵生，它不但有鳥類的喙，也會像鳥類一樣自己營造窩巢孵蛋.它在水中游行像魚一般自如，在陸地上又有爬蟲類的兩棲性能.取整函數兼顧了常函數與一般函數的特征，是常函數與一般函數的過渡，由于它的存在，函數王國更加豐富多彩.

定義設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，則y=[x]稱為取整函數，也叫高斯函數，顯然y=[x]的定義域為R，值域為Z，稱[x]為x的整數部分，稱x-[x]為x的小數部分，記作{x}.例如[32]=3，{3.2}=0.2，[-23]=-3，{-2.3}=0.7，表面上看這個函數是很簡單的，其實不然，它具有函數的簡捷美，又有它獨特的應用魅力，正因如此，在中學教學中有所滲透（如普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修1的第25頁習題12B組第3題），而且高考題常把它作為背景，數學競賽中也?？汲Ｐ拢彩乾F實生活中的一類問題（如手機收費，電話收費，出租車收費，信函收費等）的數學模型.關于它的應用及解法也是妙趣橫生.

1在集合中的應用

例1某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選1名代表，當各班人數除以10的余數大于6時，再增選一名代表，那么各班可推選代表人數y與該班人數x之間的函數關系用取整函數y=[x]可以表示為（）.

A.y=x10B.y=x+310

C.y=x+410D.y=x+410

解析班人數除以10的可能余數是0，1，2，3，…，9，其中大于6的余數只可能是7，8，9，因為當余數大于6時再增加1，為達到此目的，先往班里加3個人，除以10后再取整，故選B.

評注本題巧妙地實行了問題的轉化，正確使用了取整函數.

2在方程中的應用

例2解方程3x+5[x]-50=0.

解析設[x]=y，則有y≤x≤y+1，原方程變?yōu)?x+5y-50=0.

由x≥y，有5y-50=-3x≤-3y，解關于y的不等式得，y≤628=614，

又由x≤y+1，有5y-50=-3x≥-3y-3，解關于y的不等式得，y≥578，從而578≤y≤614，所以y=6.將y=6代入方程3x+5[x]-50=0，解得x=203=623.

評注問題的突破口是將[x]設為y，利用不等式[x]≤x≤[x]+1，把原方程轉化為兩個含y的不等式，巧妙地解出y的值，使問題迎刃而解.

例3若0≤x≤π，解方程[2sinx]=1x.

解析因為0≤x≤π，2sinx≤2.

原方程等價于0≤2sinx<1，

0≤1x<1，或

1≤2sinx<2，

1≤1x<2，或2sinx=2，

1x=2..

得解集為π6，1∪5π6，π.

評注本題巧妙地利用了三角函數的性質以及取整函數的定義把看似難于解決的問題解決.

3在圓錐曲線中的應用

例4雙曲線x2-y2=1的右半支與直線x=100圍成的區(qū)域內部（不含邊界）整點的個數有.

解析設直線x=k（k=2，3，…，99）與雙曲線x2-y2=1的右半支交于點Ak，Bk，則yAk=-k2-1，yBk=k2-1，從而線段AkBk內部整數點的個數為2[k2-1]+1=2（k-1）+1=2k-1，（k=2，3，...，99），故所求的整數點的個數為∑99i=2（2i-1）=992-1=9800.

評注解答切入點是用直線x=k（k=2，3，…，99）去平行切割雙曲線x2-y2=1的右半支，其交點構成的線段上的整點數（不包括端點，因題中要求是不含邊界）就是所求滿足條件的整點數，使問題圓滿解決.

4現實生活中的應用

例5紅，黃，藍變色燈的拉線開關是這樣設計的，接上電源即出現紅色，拉第一次開關時，燈色由紅變黃，拉第二次開關時，燈色由黃變藍，拉第三次開關時，燈色由藍變紅，如此循環(huán)往復，現對編號為1，2，…，2000的2000盞變色燈接上電源，先將編號為2的倍數的燈線拉一下，再將編號為3的倍數的燈線拉一下，最后將編號為5的倍數的燈線拉一下，三次拉完后黃色燈的盞數有多少？

解析如右圖所示，

A={編號為2的倍數的燈}，B={編號為3的倍數的燈}，C={編號為5的倍數的燈}，

D={編號既為2的倍數又為3的倍數的燈}，

E={編號既為3的倍數又為5的倍數的燈}，

F={編號既為2的倍數又為5的倍數的燈}，

G={編號既為2的倍數又為3的倍數還為5的倍數的燈}，被拉過的燈的盞數是

n=20002+20003+20005-20002×3-20002×5-20003×5+20002×3×5

=1000+666+400-333-200-133+66=1446（盞）.

被拉過二次的燈的盞數是20002×3+20002×5+20003×5-3×20002×3×5=468（盞）.

被拉過三次的燈的盞數是20002×3×5=66（盞）.

拉過一次的燈為黃燈，所以三次拉完后的黃燈的盞數是1466-468-66=932（盞）.

評注靈活利用結論：若x∈R*，n∈Z*，則從1到x的所有整數中n的倍數有xn個，巧妙運用多去少補的思想方法，問題便順利解決.

取整函數y=[x]的應用遠不止于此，這只是冰山一角，足已見識了它的風采，說它是函數王國的鴨嘴獸一點都不為過，通過對這一怪獸的研究，使我們清醒地認識到必須用新課程理論武裝自己的頭腦，真正改變教學方法，變“教教科書”為“用教科書教”，認真鉆研教材，全面深刻地把握和捕捉教材中的信息，利用一切可以利用的資源，提高解決問題的能力，同時也為學生今后的學習架橋鋪路，奠定堅實的基礎.

鴨嘴獸又名鴨獺，它是哺乳類的脊椎動物，卻偏偏又是卵生，它不但有鳥類的喙，也會像鳥類一樣自己營造窩巢孵蛋.它在水中游行像魚一般自如，在陸地上又有爬蟲類的兩棲性能.取整函數兼顧了常函數與一般函數的特征，是常函數與一般函數的過渡，由于它的存在，函數王國更加豐富多彩.

定義設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，則y=[x]稱為取整函數，也叫高斯函數，顯然y=[x]的定義域為R，值域為Z，稱[x]為x的整數部分，稱x-[x]為x的小數部分，記作{x}.例如[32]=3，{3.2}=0.2，[-23]=-3，{-2.3}=0.7，表面上看這個函數是很簡單的，其實不然，它具有函數的簡捷美，又有它獨特的應用魅力，正因如此，在中學教學中有所滲透（如普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修1的第25頁習題12B組第3題），而且高考題常把它作為背景，數學競賽中也?？汲Ｐ?，它也是現實生活中的一類問題（如手機收費，電話收費，出租車收費，信函收費等）的數學模型.關于它的應用及解法也是妙趣橫生.

1在集合中的應用

例1某學校要召開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選1名代表，當各班人數除以10的余數大于6時，再增選一名代表，那么各班可推選代表人數y與該班人數x之間的函數關系用取整函數y=[x]可以表示為（）.

A.y=x10B.y=x+310

C.y=x+410D.y=x+410

解析班人數除以10的可能余數是0，1，2，3，…，9，其中大于6的余數只可能是7，8，9，因為當余數大于6時再增加1，為達到此目的，先往班里加3個人，除以10后再取整，故選B.

評注本題巧妙地實行了問題的轉化，正確使用了取整函數.

2在方程中的應用

例2解方程3x+5[x]-50=0.

解析設[x]=y，則有y≤x≤y+1，原方程變?yōu)?x+5y-50=0.

由x≥y，有5y-50=-3x≤-3y，解關于y的不等式得，y≤628=614，

又由x≤y+1，有5y-50=-3x≥-3y-3，解關于y的不等式得，y≥578，從而578≤y≤614，所以y=6.將y=6代入方程3x+5[x]-50=0，解得x=203=623.

評注問題的突破口是將[x]設為y，利用不等式[x]≤x≤[x]+1，把原方程轉化為兩個含y的不等式，巧妙地解出y的值，使問題迎刃而解.

例3若0≤x≤π，解方程[2sinx]=1x.

解析因為0≤x≤π，2sinx≤2.

原方程等價于0≤2sinx<1，

0≤1x<1，或

1≤2sinx<2，

1≤1x<2，或2sinx=2，

1x=2..

得解集為π6，1∪5π6，π.

評注本題巧妙地利用了三角函數的性質以及取整函數的定義把看似難于解決的問題解決.

3在圓錐曲線中的應用

例4雙曲線x2-y2=1的右半支與直線x=100圍成的區(qū)域內部（不含邊界）整點的個數有.

解析設直線x=k（k=2，3，…，99）與雙曲線x2-y2=1的右半支交于點Ak，Bk，則yAk=-k2-1，yBk=k2-1，從而線段AkBk內部整數點的個數為2[k2-1]+1=2（k-1）+1=2k-1，（k=2，3，...，99），故所求的整數點的個數為∑99i=2（2i-1）=992-1=9800.

評注解答切入點是用直線x=k（k=2，3，…，99）去平行切割雙曲線x2-y2=1的右半支，其交點構成的線段上的整點數（不包括端點，因題中要求是不含邊界）就是所求滿足條件的整點數，使問題圓滿解決.

4現實生活中的應用

例5紅，黃，藍變色燈的拉線開關是這樣設計的，接上電源即出現紅色，拉第一次開關時，燈色由紅變黃，拉第二次開關時，燈色由黃變藍，拉第三次開關時，燈色由藍變紅，如此循環(huán)往復，現對編號為1，2，…，2000的2000盞變色燈接上電源，先將編號為2的倍數的燈線拉一下，再將編號為3的倍數的燈線拉一下，最后將編號為5的倍數的燈線拉一下，三次拉完后黃色燈的盞數有多少？

解析如右圖所示，

A={編號為2的倍數的燈}，B={編號為3的倍數的燈}，C={編號為5的倍數的燈}，

D={編號既為2的倍數又為3的倍數的燈}，

E={編號既為3的倍數又為5的倍數的燈}，

F={編號既為2的倍數又為5的倍數的燈}，

G={編號既為2的倍數又為3的倍數還為5的倍數的燈}，被拉過的燈的盞數是

n=20002+20003+20005-20002×3-20002×5-20003×5+20002×3×5

=1000+666+400-333-200-133+66=1446（盞）.

被拉過二次的燈的盞數是20002×3+20002×5+20003×5-3×20002×3×5=468（盞）.

被拉過三次的燈的盞數是20002×3×5=66（盞）.

拉過一次的燈為黃燈，所以三次拉完后的黃燈的盞數是1466-468-66=932（盞）.

評注靈活利用結論：若x∈R*，n∈Z*，則從1到x的所有整數中n的倍數有xn個，巧妙運用多去少補的思想方法，問題便順利解決.

取整函數y=[x]的應用遠不止于此，這只是冰山一角，足已見識了它的風采，說它是函數王國的鴨嘴獸一點都不為過，通過對這一怪獸的研究，使我們清醒地認識到必須用新課程理論武裝自己的頭腦，真正改變教學方法，變“教教科書”為“用教科書教”，認真鉆研教材，全面深刻地把握和捕捉教材中的信息，利用一切可以利用的資源，提高解決問題的能力，同時也為學生今后的學習架橋鋪路，奠定堅實的基礎.