再談圓錐曲線與通徑有關(guān)的一個統(tǒng)一性質(zhì)的證明

孫占青+++包虎

文獻(xiàn)[1]給出了圓錐曲線與通徑有關(guān)的一個統(tǒng)一性質(zhì)，即：性質(zhì)1—3，在此基礎(chǔ)上歸納出如下定理：

定理：已知圓錐曲線C，點Q是過焦點F的通徑的一個端點，點P是曲線C上的任意一點，點P在過焦點F所在的對稱軸上的射影為點M，曲線C在點Q處的切線與直線PM交于點N，則|PF|=|MN|.

文獻(xiàn)[1]中只對圓錐曲線C分別為橢圓、雙曲線、拋物線的情形下分別給出了性質(zhì)1—3的證明，對定理沒有給出統(tǒng)一證明.下面用極坐標(biāo)給出定理的統(tǒng)一證明.

證法1：如圖所示，以焦點F為極點，過焦點F與準(zhǔn)線n垂直的直線為極軸，建立極坐標(biāo)系，設(shè)圓錐曲線的離心率為e，焦點到準(zhǔn)線的距離為p，點E的極坐標(biāo)為（-p，0）

則圓錐曲線的方程為■=e ①

當(dāng)θ=■時，得Q點坐標(biāo)（ep，■），設(shè)過QE的直線上任意一點的極坐標(biāo)為（ρ，θ），

則直線QE的方程為■=e ②

聯(lián)立①②，解得sinθ=1，所以θ=■，ρ=ep，即直線EQ與圓錐曲線C只有一個公共點（ep，■），這說明直線EQ是圓錐曲線C在點Q處的切線。

由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 所以|MN|=e|ME|=|PF|.

證法2：先求直線l的極坐標(biāo)方程，設(shè)極點F到直線l的距離為d，由F向直線l作垂線FA，垂足為A，由極軸Fx到直線FA的角度為α，則直線l的極坐標(biāo)方程為

ρ=■，

當(dāng)直線l過Q（ep，■）時，得ep=■=■，

所以直線l的方程可化為

ρ=■.

又曲線C的極坐標(biāo)方程為■=e，

當(dāng)直線l為曲線C在Q點處的切線時，方程組■=eρ=■只有一個解，

消去ρ，并化簡得sinα=（esinα+cosα）cosθ+sinαsinθ.

此方程有且僅有一個解的充要條件是

sin■α=（esinα+cosα）■+sin■α，

所以esinα=-cosα.

于是，直線l的方程再次化簡為

ρ=-■，當(dāng)θ=π時，解得ρ=-p.

所以曲線C在Q點處的切線經(jīng)過準(zhǔn)線n與極軸Fx所在直線的交點E.

由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 得|MN|=e|ME|，

又P為圓錐曲線C的點，|PF|=e|ME|，

所以|MN|=|PF|.

參考文獻(xiàn)：

[1]彭世金.圓錐曲線與通徑有關(guān)的一個統(tǒng)一性質(zhì).數(shù)學(xué)通訊，2010（8下半月）.

[2]高存明，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（數(shù)學(xué)）.選修4—4.人民教育出版社，2007.endprint

文獻(xiàn)[1]給出了圓錐曲線與通徑有關(guān)的一個統(tǒng)一性質(zhì)，即：性質(zhì)1—3，在此基礎(chǔ)上歸納出如下定理：

定理：已知圓錐曲線C，點Q是過焦點F的通徑的一個端點，點P是曲線C上的任意一點，點P在過焦點F所在的對稱軸上的射影為點M，曲線C在點Q處的切線與直線PM交于點N，則|PF|=|MN|.

文獻(xiàn)[1]中只對圓錐曲線C分別為橢圓、雙曲線、拋物線的情形下分別給出了性質(zhì)1—3的證明，對定理沒有給出統(tǒng)一證明.下面用極坐標(biāo)給出定理的統(tǒng)一證明.

證法1：如圖所示，以焦點F為極點，過焦點F與準(zhǔn)線n垂直的直線為極軸，建立極坐標(biāo)系，設(shè)圓錐曲線的離心率為e，焦點到準(zhǔn)線的距離為p，點E的極坐標(biāo)為（-p，0）

則圓錐曲線的方程為■=e ①

當(dāng)θ=■時，得Q點坐標(biāo)（ep，■），設(shè)過QE的直線上任意一點的極坐標(biāo)為（ρ，θ），

則直線QE的方程為■=e ②

聯(lián)立①②，解得sinθ=1，所以θ=■，ρ=ep，即直線EQ與圓錐曲線C只有一個公共點（ep，■），這說明直線EQ是圓錐曲線C在點Q處的切線。

由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 所以|MN|=e|ME|=|PF|.

證法2：先求直線l的極坐標(biāo)方程，設(shè)極點F到直線l的距離為d，由F向直線l作垂線FA，垂足為A，由極軸Fx到直線FA的角度為α，則直線l的極坐標(biāo)方程為

ρ=■，

當(dāng)直線l過Q（ep，■）時，得ep=■=■，

所以直線l的方程可化為

ρ=■.

又曲線C的極坐標(biāo)方程為■=e，

當(dāng)直線l為曲線C在Q點處的切線時，方程組■=eρ=■只有一個解，

消去ρ，并化簡得sinα=（esinα+cosα）cosθ+sinαsinθ.

此方程有且僅有一個解的充要條件是

sin■α=（esinα+cosα）■+sin■α，

所以esinα=-cosα.

于是，直線l的方程再次化簡為

ρ=-■，當(dāng)θ=π時，解得ρ=-p.

所以曲線C在Q點處的切線經(jīng)過準(zhǔn)線n與極軸Fx所在直線的交點E.

由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 得|MN|=e|ME|，

又P為圓錐曲線C的點，|PF|=e|ME|，

所以|MN|=|PF|.

參考文獻(xiàn)：

[1]彭世金.圓錐曲線與通徑有關(guān)的一個統(tǒng)一性質(zhì).數(shù)學(xué)通訊，2010（8下半月）.

[2]高存明，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（數(shù)學(xué)）.選修4—4.人民教育出版社，2007.endprint

文獻(xiàn)[1]給出了圓錐曲線與通徑有關(guān)的一個統(tǒng)一性質(zhì)，即：性質(zhì)1—3，在此基礎(chǔ)上歸納出如下定理：

定理：已知圓錐曲線C，點Q是過焦點F的通徑的一個端點，點P是曲線C上的任意一點，點P在過焦點F所在的對稱軸上的射影為點M，曲線C在點Q處的切線與直線PM交于點N，則|PF|=|MN|.

文獻(xiàn)[1]中只對圓錐曲線C分別為橢圓、雙曲線、拋物線的情形下分別給出了性質(zhì)1—3的證明，對定理沒有給出統(tǒng)一證明.下面用極坐標(biāo)給出定理的統(tǒng)一證明.

證法1：如圖所示，以焦點F為極點，過焦點F與準(zhǔn)線n垂直的直線為極軸，建立極坐標(biāo)系，設(shè)圓錐曲線的離心率為e，焦點到準(zhǔn)線的距離為p，點E的極坐標(biāo)為（-p，0）

則圓錐曲線的方程為■=e ①

當(dāng)θ=■時，得Q點坐標(biāo)（ep，■），設(shè)過QE的直線上任意一點的極坐標(biāo)為（ρ，θ），

則直線QE的方程為■=e ②

聯(lián)立①②，解得sinθ=1，所以θ=■，ρ=ep，即直線EQ與圓錐曲線C只有一個公共點（ep，■），這說明直線EQ是圓錐曲線C在點Q處的切線。

由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 所以|MN|=e|ME|=|PF|.

證法2：先求直線l的極坐標(biāo)方程，設(shè)極點F到直線l的距離為d，由F向直線l作垂線FA，垂足為A，由極軸Fx到直線FA的角度為α，則直線l的極坐標(biāo)方程為

ρ=■，

當(dāng)直線l過Q（ep，■）時，得ep=■=■，

所以直線l的方程可化為

ρ=■.

又曲線C的極坐標(biāo)方程為■=e，

當(dāng)直線l為曲線C在Q點處的切線時，方程組■=eρ=■只有一個解，

消去ρ，并化簡得sinα=（esinα+cosα）cosθ+sinαsinθ.

此方程有且僅有一個解的充要條件是

sin■α=（esinα+cosα）■+sin■α，

所以esinα=-cosα.

于是，直線l的方程再次化簡為

ρ=-■，當(dāng)θ=π時，解得ρ=-p.

所以曲線C在Q點處的切線經(jīng)過準(zhǔn)線n與極軸Fx所在直線的交點E.

由△EFQ～△EMN，可得■=■=e， 得|MN|=e|ME|，

又P為圓錐曲線C的點，|PF|=e|ME|，

所以|MN|=|PF|.

參考文獻(xiàn)：

[1]彭世金.圓錐曲線與通徑有關(guān)的一個統(tǒng)一性質(zhì).數(shù)學(xué)通訊，2010（8下半月）.

[2]高存明，主編.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（數(shù)學(xué)）.選修4—4.人民教育出版社，2007.endprint