基于知識(shí)表征的數(shù)學(xué)綜合題教學(xué)實(shí)踐與思考

劉海濤

數(shù)學(xué)綜合題教學(xué)一直是初中數(shù)學(xué)教師研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。把解題教學(xué)與科學(xué)合理的程序性知識(shí)表征聯(lián)系起來(lái)，對(duì)解題教學(xué)可起到事半功倍的效果。通過(guò)“圖形”基本化、“動(dòng)態(tài)”靜態(tài)化、“典形”對(duì)象化、“局部”過(guò)程化等方法優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提高學(xué)生解答綜合題的能力。

“圖形”基本化 “動(dòng)態(tài)”靜態(tài)化 “典形”對(duì)象化 “局部”過(guò)程化

眾所周知，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)解題，而解題在安德森對(duì)知識(shí)的分類(lèi)中屬程序性知識(shí)，程序性知識(shí)的表征是一個(gè)產(chǎn)生式系統(tǒng)。數(shù)學(xué)程序性知識(shí)又分為智慧技能和認(rèn)知策略，智慧技能又分為簡(jiǎn)單操作性技能和復(fù)雜操作性技能。綜合題主要考查學(xué)生初中階段所學(xué)的核心基本知識(shí)，基本技能，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。題目靈活多變，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力要求比較高，學(xué)生要綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法才能解答，因解法多維，故屬?gòu)?fù)雜性操作技能，因此，學(xué)生對(duì)綜合題的表征形成簡(jiǎn)單操作性技能，是教學(xué)的難點(diǎn)。如何表征才能建構(gòu)科學(xué)合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提高學(xué)生解答綜合題的能力？本文就此談?wù)劰P者的實(shí)踐與思考。

一、“圖形”基本化

“圖形”基本化是指在復(fù)雜圖形中分離出解題所需要的基本圖形，利用基本圖形的性質(zhì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，因?yàn)榭臻g形式的復(fù)雜性，人類(lèi)不可能把所有圖形的性質(zhì)都認(rèn)知清楚。但人們發(fā)現(xiàn)，很多復(fù)雜的圖形是由基本圖形組合而成，把復(fù)雜圖形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本圖形的問(wèn)題解決，是人類(lèi)智慧的結(jié)晶。因此，基本圖形的性質(zhì)，以及如何從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形是要求學(xué)生必須進(jìn)行重點(diǎn)表征的。初中幾何知識(shí)中，有很多基本圖形，如相似形中的A型圖、8型圖、一線三等角、子母三角形等，這些基本圖形的識(shí)別與性質(zhì)的靈活運(yùn)用是學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題的思維載體，有助于學(xué)生形成簡(jiǎn)單操作性技能，從而提高學(xué)生解綜合題的能力。

例1：如圖1，⊙O的半徑為6，線段AB與⊙O相交于點(diǎn)C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB與⊙O相交于點(diǎn)E，設(shè)OA=x，CD=y.

（1）求BD長(zhǎng)；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；

（3）當(dāng)CE⊥OD時(shí)，求AO的長(zhǎng).

分析：此題由已知條件圖形化之后，不難發(fā)現(xiàn)第（1）問(wèn)運(yùn)用△ACO∽△ODB從而求出BD長(zhǎng)。第（2）問(wèn)以第（1）問(wèn)為線索，從圖形中分離出來(lái)子母三角形△ACO∽△AOB（如圖2），可順利解答此問(wèn)。第（3）問(wèn)顯然要把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題。

（1）略，BD=9

（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC=∠B

又∵∠A=∠A，∴△ACO∽△AOB

∴■=■，

∵AB=AC+CD+BD=y+13，∴■=■

∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=■x2-13

定義域?yàn)?■

（3）略，AO=2+2■.

思考：學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須有基本圖形清晰的表象，才能夠與新的圖形剌激產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，從而激活已經(jīng)有的知識(shí)鏈，分離出基本圖形。解題時(shí)，一是通過(guò)已知條件獲得解題線索。此例中把已知條件圖形化后，很快會(huì)發(fā)現(xiàn)相似的圖形。二是通過(guò)敏銳的觀察能力與表征的基本圖形聯(lián)結(jié)獲得解題線索。此例中有幾對(duì)子母三角形，那么在解題中運(yùn)用哪一對(duì)呢？通過(guò)分析已知與未知所要的關(guān)系式，不難發(fā)現(xiàn)是運(yùn)用△ACO∽△AOB這個(gè)線索。

二、“動(dòng)態(tài)”靜態(tài)化

“動(dòng)態(tài)”靜態(tài)化是指把動(dòng)態(tài)問(wèn)題通過(guò)動(dòng)態(tài)不變性轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問(wèn)題來(lái)解決。動(dòng)態(tài)問(wèn)題反映的是現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律，題目往往以動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題出現(xiàn)，通常以幾何圖形為背景的圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線、直線或弧線上運(yùn)動(dòng)，與其他定點(diǎn)構(gòu)成特殊圖形的一類(lèi)開(kāi)放性題目。此類(lèi)題目動(dòng)中有靜，靜中有動(dòng)，動(dòng)靜結(jié)合，惟妙惟肖，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圖形中存在動(dòng)態(tài)不變性，學(xué)生只有發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的這個(gè)規(guī)律，巧妙利用這個(gè)規(guī)律，才能綜合運(yùn)用初中階段所學(xué)習(xí)的核心知識(shí)解決問(wèn)題。但是對(duì)不同的題目其動(dòng)態(tài)不變性是不同的，因此學(xué)生在表征此類(lèi)題目時(shí)，可把動(dòng)態(tài)不變性進(jìn)行分類(lèi)表征，如：角度不變性，相似不變性等。

例2：如圖3，已知扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=2，C為弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，且不與A、B重合，OE⊥AC于E，OD⊥BC于D。

①若BC=1，求OD的長(zhǎng)；

②在△DOE中，是否存在長(zhǎng)度保持不變的邊，若存在，求出該邊的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

③設(shè)BD=x，△DOE的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域。

分析：如圖4，本題第①問(wèn)學(xué)生可順利解答。第②問(wèn)對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定困難，原因是學(xué)生觀察圖形的能力以及對(duì)圖形的感悟不理想，從中分析不出來(lái)點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，點(diǎn)D與點(diǎn)E始終分別是弦BC與AC的中點(diǎn)這個(gè)動(dòng)態(tài)不變性，因此不能順利解答此問(wèn)。事實(shí)上，如果分析出這個(gè)動(dòng)態(tài)不變性，連接AB即可得線段DE的長(zhǎng)度是不變的始終是線段AB的一半。第③問(wèn)要求△DOE的面積為y，依據(jù)三角形面積公式，必須知道一邊及這邊上的高，從已知不難發(fā)現(xiàn)OD是可用含x代數(shù)式表示出來(lái)的，就是在△DOE中，知道了一條邊，根據(jù)解三角形知識(shí)，可知還少一個(gè)角，如果再知道一個(gè)角，問(wèn)題即可解決，通過(guò)觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)連接OC可得∠DOE在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其度數(shù)是不變的，始終是45°，抓住這個(gè)動(dòng)態(tài)不變性，通過(guò)添加輔助線DF⊥OE，利用解直角三角形知識(shí)，可順利解答此題。

解：（1）略，OD=■

（2）略，DE=■

（3）如圖4，連接OC，作DF⊥OE交OE于點(diǎn)F

因?yàn)镺D⊥BC，OE⊥AC，所以∠1=∠2，∠3=∠4

又因?yàn)椤螦OB=90°，

所以∠2+∠3=■∠AOB=45°

即∠DOE=45°又因?yàn)镈F⊥OE，

所以∠OFD=90°

所以∠ODF=45°DF=OF=■，

又因?yàn)镺D=■

所以DF=OF=■，

又在Rt△DEF中，易得EF=■x，所以

y=■OE·DF=■（0

思考：一是教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)圖形的觀察能力，使學(xué)生善于從動(dòng)態(tài)變化的圖形中通過(guò)分類(lèi)、比較、辨析，探索出圖形的動(dòng)態(tài)不變性質(zhì)。二是要使學(xué)生所學(xué)的知識(shí)能夠形成一個(gè)穩(wěn)定的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生發(fā)散思維的變通性。學(xué)生解答數(shù)學(xué)問(wèn)題要從大腦中提取所需的基本知識(shí)（陳述性知識(shí)）以及解決問(wèn)題的基本方法（程序性知識(shí)），如果這些知識(shí)在大腦中有穩(wěn)定合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這樣，學(xué)生提取知識(shí)的速度和運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行聯(lián)想思維的能力會(huì)大大提高，如上題第三問(wèn)的解答過(guò)程聯(lián)想到要求出一個(gè)角，從而獲得解題需要的角度不變性。

三、“典形”對(duì)象化

“典形”對(duì)象化是指對(duì)非常典型的問(wèn)題，以對(duì)象的形式進(jìn)行表征。面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)是計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)的最新思想，對(duì)象概念是隨著人類(lèi)利用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的復(fù)雜程度而產(chǎn)生的，是人類(lèi)解決復(fù)雜問(wèn)題的基本方法，對(duì)象由數(shù)據(jù)及對(duì)數(shù)據(jù)的處理程序組成，對(duì)象的三大特性是封裝、繼承、多態(tài)，一個(gè)對(duì)象解決一類(lèi)問(wèn)題。一是布魯納的研究認(rèn)為：“學(xué)習(xí)就是類(lèi)目及其編碼系統(tǒng)的形成。一個(gè)類(lèi)目指一組有關(guān)的對(duì)象或事件，它可以是一個(gè)概念，也可以是一條規(guī)則?！盵1]二是長(zhǎng)時(shí)記憶的表征理論認(rèn)為：“人的長(zhǎng)時(shí)記憶系統(tǒng)的表征并不是雜亂無(wú)章的，而是按照一定的規(guī)律有組織地儲(chǔ)存。人的認(rèn)知系統(tǒng)可以將大量相似信息組合在一起而形成更有代表性的相對(duì)抽象的心理表征，這種心理表征就是概念。”[2]三是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，是比較復(fù)雜的一個(gè)思維操作過(guò)程，需要學(xué)生運(yùn)用表征的數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，綜合題的復(fù)雜程度是可想而知的。把面向?qū)ο蟮乃枷脒\(yùn)用到數(shù)學(xué)解題的表征上，對(duì)象由問(wèn)題及問(wèn)題的解決方法組成，封裝是指把問(wèn)題與解決問(wèn)題的方法表征在一起，組成一個(gè)關(guān)聯(lián)的整體，也就是布魯納所說(shuō)的類(lèi)目。繼承是指把問(wèn)題的已知條件進(jìn)行等價(jià)變形，形成問(wèn)題域，繼承原問(wèn)題的解決方法。多態(tài)是指進(jìn)行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)。

第一，問(wèn)題與解決方法封裝在一起有利于知識(shí)的提取。學(xué)生解題時(shí)，需從長(zhǎng)時(shí)記憶中提取信息，當(dāng)檢索到所需要的知識(shí)信息時(shí)，因?yàn)閱?wèn)題與解決問(wèn)題的方法進(jìn)行了封裝，因此可形成組塊被提取，有利于運(yùn)用此知識(shí)信息進(jìn)行新的信息加工。

第二，對(duì)問(wèn)題的條件進(jìn)行等價(jià)變式，有利于擴(kuò)大問(wèn)題的類(lèi)比入口，從而在類(lèi)比運(yùn)用時(shí)容易被檢索到。波利亞在怎樣解題中說(shuō)“你以前見(jiàn)過(guò)此題嗎？是否見(jiàn)過(guò)形式上略有不同的題？你是否知道與此有關(guān)的題？是否知道可用的定理？注意未知！考慮一個(gè)你熟悉的未知相同或類(lèi)似的題目?！边\(yùn)用類(lèi)比遷移進(jìn)行解題，是解題教學(xué)中的重要思想方法。當(dāng)對(duì)題目條件進(jìn)行充分變式后，能夠擴(kuò)大題目的類(lèi)比范圍，從而提高典型問(wèn)題的類(lèi)比率。

第三，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力。一題多解可開(kāi)闊學(xué)生的解決問(wèn)題的思維，使學(xué)生從多角度、多背景、多側(cè)面去理解問(wèn)題。一題多變可擴(kuò)大問(wèn)題本身的作用范圍，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，深化解題思維，總結(jié)解題規(guī)律，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的目的。一題多聯(lián)可形成問(wèn)題系，豐富問(wèn)題的CPFS結(jié)構(gòu)。

例3：如圖5，在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)。點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，

tan∠OAB=2，二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為D。

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置。將上述二次函數(shù)圖像沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)C。請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)和平移后所得圖像的函數(shù)解析式；

（3）設(shè)（2）中平移后所得二次函數(shù)圖像與Y軸的交點(diǎn)為B1，頂點(diǎn)為D1。點(diǎn)P在平移后的二次函數(shù)圖像上，且滿(mǎn)足△PBB1的面積是△PDD1面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析：（1）二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，易得B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），再由tan∠OAB=2求出A點(diǎn)坐標(biāo)，將二點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求得函數(shù)解析式。

（2）易得C點(diǎn)坐標(biāo)，由于沿y軸平移圖像，故圖像開(kāi)口大小、對(duì)稱(chēng)軸均不變，設(shè)出解析式，代入C點(diǎn)坐標(biāo)即可求解。

（3）由于P點(diǎn)位置不固定，由圖6可知要分①當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，同時(shí)在y軸的右側(cè)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，三種情況討論。

解：略。

此題是比較典型的二次函數(shù)與幾何圖形面積相結(jié)合的綜合性問(wèn)題，第一，對(duì)問(wèn)題可尋求多種解法。第二，對(duì)求二次函數(shù)解析式問(wèn)題，可對(duì)條件進(jìn)行充分的變式，例如：可給出AB=■，OB=2等。第三，可將此題與其他二次函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行聯(lián)系，形成問(wèn)題系。

思考：此題是典型的數(shù)型結(jié)合問(wèn)題，學(xué)生在解答此題時(shí)，順利畫(huà)出圖形是獲取解題思路的重要步驟。波利亞在怎樣解題的理解題中說(shuō)：“學(xué)生應(yīng)該專(zhuān)心地、反復(fù)地并且從各個(gè)方面來(lái)考慮題目的主要部分。如果一幅圖與該題目有關(guān)，他應(yīng)畫(huà)一張圖并在圖上標(biāo)明未知量與已知數(shù)據(jù)?！焙瘮?shù)問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合的精典范例，在解題過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從圖形中，才能獲得解題線索。教學(xué)實(shí)踐表明，如果題目有圖，學(xué)生解答起來(lái)比較容易，如果題目沒(méi)有圖形，需學(xué)生自己畫(huà)圖，就增加了題目的難度，因此，教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的畫(huà)圖能力，從而運(yùn)用幾何直觀理解數(shù)學(xué)，使綜合數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題形象化，才能提高學(xué)生解題的能力。學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題對(duì)象化后，會(huì)在長(zhǎng)時(shí)記憶中形成此對(duì)象的清晰表征，便于需要時(shí)提取，同時(shí)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題經(jīng)變式訓(xùn)練可形成簡(jiǎn)單操作性技能。

四、“局部”過(guò)程化

“局部”過(guò)程化是指對(duì)綜合題的局部解題方法進(jìn)行過(guò)程化，使學(xué)生對(duì)這些過(guò)程的表征形成簡(jiǎn)單操作技能。過(guò)程化思想來(lái)源于計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)，在程序設(shè)計(jì)過(guò)程中，有很多程序在執(zhí)行過(guò)程中會(huì)遇到同樣的一些操作，而這些操作，解決的問(wèn)題是相同的，只是有些變量的值是不同的，如解一元二次方程的程序，只是系數(shù)不同而已，因此在程序設(shè)計(jì)時(shí)，把解一元二次方程的程序可單獨(dú)編寫(xiě)一個(gè)過(guò)程，供使用時(shí)調(diào)用。事實(shí)上，綜合題雖然復(fù)雜多變，但在解題的過(guò)程中，是由很多的邏輯段組成的，而這些邏輯段在很多題目中是出現(xiàn)過(guò)的，簡(jiǎn)言之，綜合題也是由簡(jiǎn)單的問(wèn)題組合而成的。因此把這些動(dòng)態(tài)不變的邏輯段程序化，形成簡(jiǎn)單操作技能供解題需要時(shí)提取，可以提高學(xué)生解題的能力。

例5：如圖7，在平面直角坐標(biāo)系XOY中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx（a>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和X軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=BO=2，∠AOB=120°。

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）連接OM，求∠AOM的大??；

（3）如果點(diǎn)C在X軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

分析：如圖8，此題的第（3）問(wèn)，點(diǎn)C是X軸上動(dòng)點(diǎn)，且△ABC與△AOM相似，此類(lèi)問(wèn)題是初三數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)非常常見(jiàn)的問(wèn)題，兩個(gè)三角形相似的分類(lèi)討論問(wèn)題。此題三角形相似需兩個(gè)條件，而題目中，隱含給一個(gè)角相等，∠ABX=∠AOM，而且題目分步引導(dǎo)學(xué)生先找到這對(duì)角相等，然后分類(lèi)討論解答此題。

解：（1）略y=■x2-■x

（2）略，∠AOM=150°；

（3）如圖9，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠ABX=150°；

∴AB=2EO=2■，

∠ABX=∠AOM

當(dāng)△ABC1∽△AOM，

解得：BC1=2，∴OC1=4，

∴C1的坐標(biāo)為：（4，0）；

當(dāng)△C2AB∽△AOM，

解得：BC2=6，∴OC2=8，

∴C2的坐標(biāo)為：（8，0）.

綜上所述，△ABC與△AOM相似時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4，0）或（8，0）.

思考：初中數(shù)學(xué)中的一些基本問(wèn)題，其變化有一定的規(guī)律性，且在綜合題中經(jīng)常出現(xiàn)，解題的思維過(guò)程比較固定，表征時(shí)可形成一個(gè)簡(jiǎn)單的操作技能，待需要時(shí)可快速提取運(yùn)用于解決問(wèn)題的過(guò)程中。

總之，綜合題的解答是教學(xué)難點(diǎn)，教學(xué)中優(yōu)化教學(xué)策略，指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)合理地對(duì)綜合題的解題進(jìn)行表征，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能提高學(xué)生的綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，從而提高學(xué)生解答綜合題的能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 孔凡哲，曾崢.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué).北京：北京大學(xué)出版社，2009（3）.

[2] 張學(xué)民.實(shí)驗(yàn)心理學(xué).北京：北京師范大學(xué)出版社，2009.

【責(zé)任編輯 付一靜】

即∠DOE=45°又因?yàn)镈F⊥OE，

所以∠OFD=90°

所以∠ODF=45°DF=OF=■，

又因?yàn)镺D=■

所以DF=OF=■，

又在Rt△DEF中，易得EF=■x，所以

y=■OE·DF=■（0

思考：一是教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)圖形的觀察能力，使學(xué)生善于從動(dòng)態(tài)變化的圖形中通過(guò)分類(lèi)、比較、辨析，探索出圖形的動(dòng)態(tài)不變性質(zhì)。二是要使學(xué)生所學(xué)的知識(shí)能夠形成一個(gè)穩(wěn)定的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生發(fā)散思維的變通性。學(xué)生解答數(shù)學(xué)問(wèn)題要從大腦中提取所需的基本知識(shí)（陳述性知識(shí)）以及解決問(wèn)題的基本方法（程序性知識(shí)），如果這些知識(shí)在大腦中有穩(wěn)定合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這樣，學(xué)生提取知識(shí)的速度和運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行聯(lián)想思維的能力會(huì)大大提高，如上題第三問(wèn)的解答過(guò)程聯(lián)想到要求出一個(gè)角，從而獲得解題需要的角度不變性。

三、“典形”對(duì)象化

“典形”對(duì)象化是指對(duì)非常典型的問(wèn)題，以對(duì)象的形式進(jìn)行表征。面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)是計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)的最新思想，對(duì)象概念是隨著人類(lèi)利用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的復(fù)雜程度而產(chǎn)生的，是人類(lèi)解決復(fù)雜問(wèn)題的基本方法，對(duì)象由數(shù)據(jù)及對(duì)數(shù)據(jù)的處理程序組成，對(duì)象的三大特性是封裝、繼承、多態(tài)，一個(gè)對(duì)象解決一類(lèi)問(wèn)題。一是布魯納的研究認(rèn)為：“學(xué)習(xí)就是類(lèi)目及其編碼系統(tǒng)的形成。一個(gè)類(lèi)目指一組有關(guān)的對(duì)象或事件，它可以是一個(gè)概念，也可以是一條規(guī)則?！盵1]二是長(zhǎng)時(shí)記憶的表征理論認(rèn)為：“人的長(zhǎng)時(shí)記憶系統(tǒng)的表征并不是雜亂無(wú)章的，而是按照一定的規(guī)律有組織地儲(chǔ)存。人的認(rèn)知系統(tǒng)可以將大量相似信息組合在一起而形成更有代表性的相對(duì)抽象的心理表征，這種心理表征就是概念?！盵2]三是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，是比較復(fù)雜的一個(gè)思維操作過(guò)程，需要學(xué)生運(yùn)用表征的數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，綜合題的復(fù)雜程度是可想而知的。把面向?qū)ο蟮乃枷脒\(yùn)用到數(shù)學(xué)解題的表征上，對(duì)象由問(wèn)題及問(wèn)題的解決方法組成，封裝是指把問(wèn)題與解決問(wèn)題的方法表征在一起，組成一個(gè)關(guān)聯(lián)的整體，也就是布魯納所說(shuō)的類(lèi)目。繼承是指把問(wèn)題的已知條件進(jìn)行等價(jià)變形，形成問(wèn)題域，繼承原問(wèn)題的解決方法。多態(tài)是指進(jìn)行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)。

第一，問(wèn)題與解決方法封裝在一起有利于知識(shí)的提取。學(xué)生解題時(shí)，需從長(zhǎng)時(shí)記憶中提取信息，當(dāng)檢索到所需要的知識(shí)信息時(shí)，因?yàn)閱?wèn)題與解決問(wèn)題的方法進(jìn)行了封裝，因此可形成組塊被提取，有利于運(yùn)用此知識(shí)信息進(jìn)行新的信息加工。

第二，對(duì)問(wèn)題的條件進(jìn)行等價(jià)變式，有利于擴(kuò)大問(wèn)題的類(lèi)比入口，從而在類(lèi)比運(yùn)用時(shí)容易被檢索到。波利亞在怎樣解題中說(shuō)“你以前見(jiàn)過(guò)此題嗎？是否見(jiàn)過(guò)形式上略有不同的題？你是否知道與此有關(guān)的題？是否知道可用的定理？注意未知！考慮一個(gè)你熟悉的未知相同或類(lèi)似的題目。”運(yùn)用類(lèi)比遷移進(jìn)行解題，是解題教學(xué)中的重要思想方法。當(dāng)對(duì)題目條件進(jìn)行充分變式后，能夠擴(kuò)大題目的類(lèi)比范圍，從而提高典型問(wèn)題的類(lèi)比率。

第三，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力。一題多解可開(kāi)闊學(xué)生的解決問(wèn)題的思維，使學(xué)生從多角度、多背景、多側(cè)面去理解問(wèn)題。一題多變可擴(kuò)大問(wèn)題本身的作用范圍，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，深化解題思維，總結(jié)解題規(guī)律，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的目的。一題多聯(lián)可形成問(wèn)題系，豐富問(wèn)題的CPFS結(jié)構(gòu)。

例3：如圖5，在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)。點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，

tan∠OAB=2，二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為D。

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置。將上述二次函數(shù)圖像沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)C。請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)和平移后所得圖像的函數(shù)解析式；

（3）設(shè)（2）中平移后所得二次函數(shù)圖像與Y軸的交點(diǎn)為B1，頂點(diǎn)為D1。點(diǎn)P在平移后的二次函數(shù)圖像上，且滿(mǎn)足△PBB1的面積是△PDD1面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析：（1）二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，易得B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），再由tan∠OAB=2求出A點(diǎn)坐標(biāo)，將二點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求得函數(shù)解析式。

（2）易得C點(diǎn)坐標(biāo)，由于沿y軸平移圖像，故圖像開(kāi)口大小、對(duì)稱(chēng)軸均不變，設(shè)出解析式，代入C點(diǎn)坐標(biāo)即可求解。

（3）由于P點(diǎn)位置不固定，由圖6可知要分①當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，同時(shí)在y軸的右側(cè)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，三種情況討論。

解：略。

此題是比較典型的二次函數(shù)與幾何圖形面積相結(jié)合的綜合性問(wèn)題，第一，對(duì)問(wèn)題可尋求多種解法。第二，對(duì)求二次函數(shù)解析式問(wèn)題，可對(duì)條件進(jìn)行充分的變式，例如：可給出AB=■，OB=2等。第三，可將此題與其他二次函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行聯(lián)系，形成問(wèn)題系。

思考：此題是典型的數(shù)型結(jié)合問(wèn)題，學(xué)生在解答此題時(shí)，順利畫(huà)出圖形是獲取解題思路的重要步驟。波利亞在怎樣解題的理解題中說(shuō)：“學(xué)生應(yīng)該專(zhuān)心地、反復(fù)地并且從各個(gè)方面來(lái)考慮題目的主要部分。如果一幅圖與該題目有關(guān)，他應(yīng)畫(huà)一張圖并在圖上標(biāo)明未知量與已知數(shù)據(jù)?！焙瘮?shù)問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合的精典范例，在解題過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從圖形中，才能獲得解題線索。教學(xué)實(shí)踐表明，如果題目有圖，學(xué)生解答起來(lái)比較容易，如果題目沒(méi)有圖形，需學(xué)生自己畫(huà)圖，就增加了題目的難度，因此，教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的畫(huà)圖能力，從而運(yùn)用幾何直觀理解數(shù)學(xué)，使綜合數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題形象化，才能提高學(xué)生解題的能力。學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題對(duì)象化后，會(huì)在長(zhǎng)時(shí)記憶中形成此對(duì)象的清晰表征，便于需要時(shí)提取，同時(shí)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題經(jīng)變式訓(xùn)練可形成簡(jiǎn)單操作性技能。

四、“局部”過(guò)程化

“局部”過(guò)程化是指對(duì)綜合題的局部解題方法進(jìn)行過(guò)程化，使學(xué)生對(duì)這些過(guò)程的表征形成簡(jiǎn)單操作技能。過(guò)程化思想來(lái)源于計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)，在程序設(shè)計(jì)過(guò)程中，有很多程序在執(zhí)行過(guò)程中會(huì)遇到同樣的一些操作，而這些操作，解決的問(wèn)題是相同的，只是有些變量的值是不同的，如解一元二次方程的程序，只是系數(shù)不同而已，因此在程序設(shè)計(jì)時(shí)，把解一元二次方程的程序可單獨(dú)編寫(xiě)一個(gè)過(guò)程，供使用時(shí)調(diào)用。事實(shí)上，綜合題雖然復(fù)雜多變，但在解題的過(guò)程中，是由很多的邏輯段組成的，而這些邏輯段在很多題目中是出現(xiàn)過(guò)的，簡(jiǎn)言之，綜合題也是由簡(jiǎn)單的問(wèn)題組合而成的。因此把這些動(dòng)態(tài)不變的邏輯段程序化，形成簡(jiǎn)單操作技能供解題需要時(shí)提取，可以提高學(xué)生解題的能力。

例5：如圖7，在平面直角坐標(biāo)系XOY中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx（a>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和X軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=BO=2，∠AOB=120°。

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）連接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果點(diǎn)C在X軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

分析：如圖8，此題的第（3）問(wèn)，點(diǎn)C是X軸上動(dòng)點(diǎn)，且△ABC與△AOM相似，此類(lèi)問(wèn)題是初三數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)非常常見(jiàn)的問(wèn)題，兩個(gè)三角形相似的分類(lèi)討論問(wèn)題。此題三角形相似需兩個(gè)條件，而題目中，隱含給一個(gè)角相等，∠ABX=∠AOM，而且題目分步引導(dǎo)學(xué)生先找到這對(duì)角相等，然后分類(lèi)討論解答此題。

解：（1）略y=■x2-■x

（2）略，∠AOM=150°；

（3）如圖9，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠ABX=150°；

∴AB=2EO=2■，

∠ABX=∠AOM

當(dāng)△ABC1∽△AOM，

解得：BC1=2，∴OC1=4，

∴C1的坐標(biāo)為：（4，0）；

當(dāng)△C2AB∽△AOM，

解得：BC2=6，∴OC2=8，

∴C2的坐標(biāo)為：（8，0）.

綜上所述，△ABC與△AOM相似時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4，0）或（8，0）.

思考：初中數(shù)學(xué)中的一些基本問(wèn)題，其變化有一定的規(guī)律性，且在綜合題中經(jīng)常出現(xiàn)，解題的思維過(guò)程比較固定，表征時(shí)可形成一個(gè)簡(jiǎn)單的操作技能，待需要時(shí)可快速提取運(yùn)用于解決問(wèn)題的過(guò)程中。

總之，綜合題的解答是教學(xué)難點(diǎn)，教學(xué)中優(yōu)化教學(xué)策略，指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)合理地對(duì)綜合題的解題進(jìn)行表征，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能提高學(xué)生的綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，從而提高學(xué)生解答綜合題的能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 孔凡哲，曾崢.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué).北京：北京大學(xué)出版社，2009（3）.

[2] 張學(xué)民.實(shí)驗(yàn)心理學(xué).北京：北京師范大學(xué)出版社，2009.

【責(zé)任編輯 付一靜】

即∠DOE=45°又因?yàn)镈F⊥OE，

所以∠OFD=90°

所以∠ODF=45°DF=OF=■，

又因?yàn)镺D=■

所以DF=OF=■，

又在Rt△DEF中，易得EF=■x，所以

y=■OE·DF=■（0

思考：一是教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)圖形的觀察能力，使學(xué)生善于從動(dòng)態(tài)變化的圖形中通過(guò)分類(lèi)、比較、辨析，探索出圖形的動(dòng)態(tài)不變性質(zhì)。二是要使學(xué)生所學(xué)的知識(shí)能夠形成一個(gè)穩(wěn)定的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，提高學(xué)生發(fā)散思維的變通性。學(xué)生解答數(shù)學(xué)問(wèn)題要從大腦中提取所需的基本知識(shí)（陳述性知識(shí)）以及解決問(wèn)題的基本方法（程序性知識(shí)），如果這些知識(shí)在大腦中有穩(wěn)定合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這樣，學(xué)生提取知識(shí)的速度和運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行聯(lián)想思維的能力會(huì)大大提高，如上題第三問(wèn)的解答過(guò)程聯(lián)想到要求出一個(gè)角，從而獲得解題需要的角度不變性。

三、“典形”對(duì)象化

“典形”對(duì)象化是指對(duì)非常典型的問(wèn)題，以對(duì)象的形式進(jìn)行表征。面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)是計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)的最新思想，對(duì)象概念是隨著人類(lèi)利用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的復(fù)雜程度而產(chǎn)生的，是人類(lèi)解決復(fù)雜問(wèn)題的基本方法，對(duì)象由數(shù)據(jù)及對(duì)數(shù)據(jù)的處理程序組成，對(duì)象的三大特性是封裝、繼承、多態(tài)，一個(gè)對(duì)象解決一類(lèi)問(wèn)題。一是布魯納的研究認(rèn)為：“學(xué)習(xí)就是類(lèi)目及其編碼系統(tǒng)的形成。一個(gè)類(lèi)目指一組有關(guān)的對(duì)象或事件，它可以是一個(gè)概念，也可以是一條規(guī)則?！盵1]二是長(zhǎng)時(shí)記憶的表征理論認(rèn)為：“人的長(zhǎng)時(shí)記憶系統(tǒng)的表征并不是雜亂無(wú)章的，而是按照一定的規(guī)律有組織地儲(chǔ)存。人的認(rèn)知系統(tǒng)可以將大量相似信息組合在一起而形成更有代表性的相對(duì)抽象的心理表征，這種心理表征就是概念?！盵2]三是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，是比較復(fù)雜的一個(gè)思維操作過(guò)程，需要學(xué)生運(yùn)用表征的數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，綜合題的復(fù)雜程度是可想而知的。把面向?qū)ο蟮乃枷脒\(yùn)用到數(shù)學(xué)解題的表征上，對(duì)象由問(wèn)題及問(wèn)題的解決方法組成，封裝是指把問(wèn)題與解決問(wèn)題的方法表征在一起，組成一個(gè)關(guān)聯(lián)的整體，也就是布魯納所說(shuō)的類(lèi)目。繼承是指把問(wèn)題的已知條件進(jìn)行等價(jià)變形，形成問(wèn)題域，繼承原問(wèn)題的解決方法。多態(tài)是指進(jìn)行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)。

第一，問(wèn)題與解決方法封裝在一起有利于知識(shí)的提取。學(xué)生解題時(shí)，需從長(zhǎng)時(shí)記憶中提取信息，當(dāng)檢索到所需要的知識(shí)信息時(shí)，因?yàn)閱?wèn)題與解決問(wèn)題的方法進(jìn)行了封裝，因此可形成組塊被提取，有利于運(yùn)用此知識(shí)信息進(jìn)行新的信息加工。

第二，對(duì)問(wèn)題的條件進(jìn)行等價(jià)變式，有利于擴(kuò)大問(wèn)題的類(lèi)比入口，從而在類(lèi)比運(yùn)用時(shí)容易被檢索到。波利亞在怎樣解題中說(shuō)“你以前見(jiàn)過(guò)此題嗎？是否見(jiàn)過(guò)形式上略有不同的題？你是否知道與此有關(guān)的題？是否知道可用的定理？注意未知！考慮一個(gè)你熟悉的未知相同或類(lèi)似的題目?！边\(yùn)用類(lèi)比遷移進(jìn)行解題，是解題教學(xué)中的重要思想方法。當(dāng)對(duì)題目條件進(jìn)行充分變式后，能夠擴(kuò)大題目的類(lèi)比范圍，從而提高典型問(wèn)題的類(lèi)比率。

第三，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行一題多解、一題多變、一題多聯(lián)有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力。一題多解可開(kāi)闊學(xué)生的解決問(wèn)題的思維，使學(xué)生從多角度、多背景、多側(cè)面去理解問(wèn)題。一題多變可擴(kuò)大問(wèn)題本身的作用范圍，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，深化解題思維，總結(jié)解題規(guī)律，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力，達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通的目的。一題多聯(lián)可形成問(wèn)題系，豐富問(wèn)題的CPFS結(jié)構(gòu)。

例3：如圖5，在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)。點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，

tan∠OAB=2，二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為D。

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）將△OAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置。將上述二次函數(shù)圖像沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)C。請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)和平移后所得圖像的函數(shù)解析式；

（3）設(shè)（2）中平移后所得二次函數(shù)圖像與Y軸的交點(diǎn)為B1，頂點(diǎn)為D1。點(diǎn)P在平移后的二次函數(shù)圖像上，且滿(mǎn)足△PBB1的面積是△PDD1面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析：（1）二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，易得B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），再由tan∠OAB=2求出A點(diǎn)坐標(biāo)，將二點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求得函數(shù)解析式。

（2）易得C點(diǎn)坐標(biāo)，由于沿y軸平移圖像，故圖像開(kāi)口大小、對(duì)稱(chēng)軸均不變，設(shè)出解析式，代入C點(diǎn)坐標(biāo)即可求解。

（3）由于P點(diǎn)位置不固定，由圖6可知要分①當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，同時(shí)在y軸的右側(cè)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，三種情況討論。

解：略。

此題是比較典型的二次函數(shù)與幾何圖形面積相結(jié)合的綜合性問(wèn)題，第一，對(duì)問(wèn)題可尋求多種解法。第二，對(duì)求二次函數(shù)解析式問(wèn)題，可對(duì)條件進(jìn)行充分的變式，例如：可給出AB=■，OB=2等。第三，可將此題與其他二次函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行聯(lián)系，形成問(wèn)題系。

思考：此題是典型的數(shù)型結(jié)合問(wèn)題，學(xué)生在解答此題時(shí)，順利畫(huà)出圖形是獲取解題思路的重要步驟。波利亞在怎樣解題的理解題中說(shuō)：“學(xué)生應(yīng)該專(zhuān)心地、反復(fù)地并且從各個(gè)方面來(lái)考慮題目的主要部分。如果一幅圖與該題目有關(guān)，他應(yīng)畫(huà)一張圖并在圖上標(biāo)明未知量與已知數(shù)據(jù)?！焙瘮?shù)問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合的精典范例，在解題過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從圖形中，才能獲得解題線索。教學(xué)實(shí)踐表明，如果題目有圖，學(xué)生解答起來(lái)比較容易，如果題目沒(méi)有圖形，需學(xué)生自己畫(huà)圖，就增加了題目的難度，因此，教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的畫(huà)圖能力，從而運(yùn)用幾何直觀理解數(shù)學(xué)，使綜合數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題形象化，才能提高學(xué)生解題的能力。學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題對(duì)象化后，會(huì)在長(zhǎng)時(shí)記憶中形成此對(duì)象的清晰表征，便于需要時(shí)提取，同時(shí)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題經(jīng)變式訓(xùn)練可形成簡(jiǎn)單操作性技能。

四、“局部”過(guò)程化

“局部”過(guò)程化是指對(duì)綜合題的局部解題方法進(jìn)行過(guò)程化，使學(xué)生對(duì)這些過(guò)程的表征形成簡(jiǎn)單操作技能。過(guò)程化思想來(lái)源于計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)，在程序設(shè)計(jì)過(guò)程中，有很多程序在執(zhí)行過(guò)程中會(huì)遇到同樣的一些操作，而這些操作，解決的問(wèn)題是相同的，只是有些變量的值是不同的，如解一元二次方程的程序，只是系數(shù)不同而已，因此在程序設(shè)計(jì)時(shí)，把解一元二次方程的程序可單獨(dú)編寫(xiě)一個(gè)過(guò)程，供使用時(shí)調(diào)用。事實(shí)上，綜合題雖然復(fù)雜多變，但在解題的過(guò)程中，是由很多的邏輯段組成的，而這些邏輯段在很多題目中是出現(xiàn)過(guò)的，簡(jiǎn)言之，綜合題也是由簡(jiǎn)單的問(wèn)題組合而成的。因此把這些動(dòng)態(tài)不變的邏輯段程序化，形成簡(jiǎn)單操作技能供解題需要時(shí)提取，可以提高學(xué)生解題的能力。

例5：如圖7，在平面直角坐標(biāo)系XOY中，頂點(diǎn)為M的拋物線y=ax2+bx（a>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和X軸正半軸上的點(diǎn)B，AO=BO=2，∠AOB=120°。

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）連接OM，求∠AOM的大小；

（3）如果點(diǎn)C在X軸上，且△ABC與△AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。

分析：如圖8，此題的第（3）問(wèn)，點(diǎn)C是X軸上動(dòng)點(diǎn)，且△ABC與△AOM相似，此類(lèi)問(wèn)題是初三數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)非常常見(jiàn)的問(wèn)題，兩個(gè)三角形相似的分類(lèi)討論問(wèn)題。此題三角形相似需兩個(gè)條件，而題目中，隱含給一個(gè)角相等，∠ABX=∠AOM，而且題目分步引導(dǎo)學(xué)生先找到這對(duì)角相等，然后分類(lèi)討論解答此題。

解：（1）略y=■x2-■x

（2）略，∠AOM=150°；

（3）如圖9，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，

∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠ABX=150°；

∴AB=2EO=2■，

∠ABX=∠AOM

當(dāng)△ABC1∽△AOM，

解得：BC1=2，∴OC1=4，

∴C1的坐標(biāo)為：（4，0）；

當(dāng)△C2AB∽△AOM，

解得：BC2=6，∴OC2=8，

∴C2的坐標(biāo)為：（8，0）.

綜上所述，△ABC與△AOM相似時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4，0）或（8，0）.

思考：初中數(shù)學(xué)中的一些基本問(wèn)題，其變化有一定的規(guī)律性，且在綜合題中經(jīng)常出現(xiàn)，解題的思維過(guò)程比較固定，表征時(shí)可形成一個(gè)簡(jiǎn)單的操作技能，待需要時(shí)可快速提取運(yùn)用于解決問(wèn)題的過(guò)程中。

總之，綜合題的解答是教學(xué)難點(diǎn)，教學(xué)中優(yōu)化教學(xué)策略，指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)合理地對(duì)綜合題的解題進(jìn)行表征，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能提高學(xué)生的綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，從而提高學(xué)生解答綜合題的能力。

參考文獻(xiàn)

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[2] 張學(xué)民.實(shí)驗(yàn)心理學(xué).北京：北京師范大學(xué)出版社，2009.

【責(zé)任編輯 付一靜】