利用Excel多元線性回歸分析進(jìn)行測區(qū)垂線偏差分量計(jì)算

何 麗 王曉智

（中鐵大橋局集團(tuán) 第一工程有限公司，河南 鄭州 450053）

1 引言

回歸分析在三角高程測量中的應(yīng)用較少，主要是因?yàn)槟Ｐ蜆颖緮?shù)太少,不能充分反映測區(qū)地形狀況，模型精度較低，因而不能用于高精度的三角高程測量中。但是這樣的嘗試也給了我們一些啟發(fā)，在遠(yuǎn)距離的高精度三角高程測量過程中，往往需要考慮垂線偏差分量的影響，為了求得這項(xiàng)改正，一般情況下要進(jìn)行重力異常的測定或天文大地測量，工程施工測量單位做起來就有一定困難。由于垂線偏差的求解方法較為復(fù)雜，采用常規(guī)模型的話，模型參數(shù)往往不易求得，且精度也無法保證。因此，作者嘗試從數(shù)理統(tǒng)計(jì)的原理出發(fā)，根據(jù)有限的測區(qū)高精度GPS基線控制網(wǎng)資料，對(duì)測區(qū)內(nèi)的垂線偏差分量的求解方法進(jìn)行一些探索。

2 回歸分析原理

回歸分析是一種處理變量的統(tǒng)計(jì)相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。回歸分析的基本思想是：雖然自變量和因變量之間沒有嚴(yán)格的、確定性的函數(shù)關(guān)系,但可以設(shè)法找出最能代表它們之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。

多元回歸分析是研究多個(gè)變量之間關(guān)系的回歸分析方法,按因變量和自變量的數(shù)量對(duì)應(yīng)關(guān)系可劃分為一個(gè)因變量對(duì)多個(gè)自變量的回歸分析(簡稱為“一對(duì)多”回歸分析)及多個(gè)因變量對(duì)多個(gè)自變量的回歸分析(簡稱為“多對(duì)多”回歸分析),按回歸模型類型可劃分為線性回歸分析和非線性回歸分析。在本文中，為簡單起見，僅采用多元線性回歸分析的方法，對(duì)垂線偏差的求解方法進(jìn)行一些初探。

3 垂線偏差的概念

同一測站點(diǎn)上鉛垂線與橢球面法線之間的夾角u，即是垂線偏差。u通常用南北方向分量ζ和東西方向分量η表示。參見圖1。

圖1

地面點(diǎn)的垂線同其在橢球面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的法線之間的夾角u（見圖1），它表示大地水準(zhǔn)面的傾斜。垂線偏差通常用兩個(gè)分量來表示，一個(gè)是子午圈分量ξ，即垂線偏差南北分量；一個(gè)是卯酉圈分量η，即垂線偏差東、西分量。

3.1 垂線偏差公式

根據(jù)肖榮健教授等人研究，我們可以較為方便地利用兩條GPS基線邊求得測區(qū)特定區(qū)域的垂線偏差分量。其公式為：

從上式可知，ξ、η的精度受基線之間的夾角影響明顯，因此使用GPS測定垂線偏差時(shí)應(yīng)特別關(guān)注兩基線之間的夾角不宜太小。

由于用GPS獲得基線間的距離、大地高非常容易，基線間的正常高差也可很快求得，在面積不大且地形呈線性變化的地區(qū)，用GPS測定垂線偏差是種理想的途徑，其結(jié)果精度已有研究者證明與精密天文大地方法相當(dāng)[1]。

3.2 試驗(yàn)區(qū)域垂線偏差情況

三角高程測量有顯著的優(yōu)點(diǎn)，但在丘陵和山區(qū)，由于地形起伏較大，根據(jù)目前的研究成果，垂線偏差的變化也較大，這就使得測點(diǎn)之間所觀測的高差不等于這兩點(diǎn)之間的正常高高差，因此，進(jìn)行遠(yuǎn)距離單向三角高程測量時(shí)必須進(jìn)行垂線偏差改正。

我們?cè)囼?yàn)依托在建的南澳大橋項(xiàng)目位于廣東省東北部，為連接汕頭市南澳縣與汕頭市區(qū)的一座跨海大橋，根據(jù)我們計(jì)算得出的試驗(yàn)區(qū)域垂線偏差的情況來看，類似于平原地區(qū)，最大值為4″，最小值為 2″，在 2km左右范圍內(nèi)，變化范圍為 0.015″～0.36″，平均變化率約0.17″。根據(jù)嚴(yán)密三角高程測量計(jì)算公式[2]：

為簡單方便，我們這里使用測區(qū)計(jì)算出的垂線偏差分量均值代替。即使在平原地區(qū)，對(duì)于2km的距離，其對(duì)高差的影響最大約為3.5mm，因此在進(jìn)行遠(yuǎn)距離單向三角高程觀測的時(shí)候，即便是垂線偏差變化不大的地區(qū)也不能不考慮其對(duì)高差的影響。因此，在地形復(fù)雜地區(qū)觀測測量時(shí)，應(yīng)該適當(dāng)減小視線的長度，進(jìn)行遠(yuǎn)距離單向觀測時(shí)，必須加入垂線偏差改正。

4 利用Excel進(jìn)行多元線性回歸分析輔助進(jìn)行測區(qū)垂線偏差分量計(jì)算

一元線性回歸分析用模型中的一個(gè)自變量X來估計(jì)因變量Y。但由于客觀事物的聯(lián)系錯(cuò)綜復(fù)雜,一個(gè)因變量的變化往往受到兩個(gè)或多個(gè)自變量的影響。為了全面揭示這種復(fù)雜的依存關(guān)系,準(zhǔn)確地測定它們的數(shù)量變動(dòng),提高預(yù)測和控制的精確度,就要考慮更多的自變量,建立多元回歸模型。多元回歸的計(jì)算難度要遠(yuǎn)大于簡單線性回歸,且變量越多,計(jì)算越復(fù)雜，但應(yīng)用Excel來完成計(jì)算將變得簡單和輕松。

我們就用以下圖中的數(shù)據(jù)為例簡單探討一下利用Excel進(jìn)行多元線性回歸分析輔助進(jìn)行測區(qū)垂線偏差分量的計(jì)算方法。

表4-1 基線端高差和距離與垂線偏差分量ξ的原始數(shù)據(jù)

多元線性回歸的Excel數(shù)據(jù)分析操作方法首先單擊工具欄,在彈出的菜單中選擇加載宏，在彈出的宏加載項(xiàng)中選擇加載分析工具庫，確定后再在工具欄中選擇數(shù)據(jù)分析,在數(shù)據(jù)分析工具的選項(xiàng)框中選中回歸,然后在輸入、輸出選項(xiàng)以及有關(guān)的選項(xiàng)框中進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪x擇,必須注意在進(jìn)行自變量X的輸入時(shí)要按照已經(jīng)確定的各個(gè)自變量的順序把所有自變量的單元格引用范圍一起放在X值的輸入?yún)^(qū)域內(nèi)。具體流程見圖2。

圖2 多元線性回歸分析流程圖

點(diǎn)擊“確定”按鈕,即可得到線性回歸分析的結(jié)果。見圖3。

圖3 垂線偏差線性回歸分析計(jì)算結(jié)果

根據(jù)上圖中的顯示結(jié)果,可直接寫出線性回歸方程：

計(jì)算結(jié)果中，列Significance F對(duì)應(yīng)的是在顯著性水平下的Fα臨界值，其實(shí)等于P值，即棄真概率。所謂“棄真概率”即模型為假的概率，顯然1-P便是模型為真的概率?？梢?，P值越小越好。對(duì)于本例，P=0.00888＜0.01，故置信度達(dá)到99%以上。

利用該式，就可以方便地求得測區(qū)范圍內(nèi)任何地方進(jìn)行的三角高程測量的垂線偏差分量的改正值，而無須再進(jìn)行長時(shí)間的GPS靜態(tài)觀測以求得測線兩端的垂線偏差分量。

5 測區(qū)垂線偏差分量改正應(yīng)用

根據(jù)上一節(jié)中的計(jì)算分析，我們進(jìn)行了單向觀測的試驗(yàn)，試驗(yàn)選擇的直線距離為720m，兩點(diǎn)之間的高差按照二等水準(zhǔn)的測量精度精確求得。根據(jù)計(jì)算得出的測區(qū)平均垂線偏差值為3.3963″，結(jié)合回歸分析的計(jì)算模型計(jì)算得試驗(yàn)距離上垂線偏差值為3.3603″，可以計(jì)算出試驗(yàn)距離垂線偏差的影響約為：

這個(gè)數(shù)值對(duì)于精密三角高程測量來說，是不能不考慮的。試驗(yàn)的結(jié)果經(jīng)大氣折光和垂線偏差以及橢球改正后，精度大為提高，也說明此法的可行性，具有一定的實(shí)用價(jià)值。

6 結(jié)論

如果樣本數(shù)量更多，置信度也許會(huì)更高一些，或者采用非線性回歸分析，會(huì)更符合現(xiàn)場的實(shí)際情況，限于時(shí)間和篇幅，本文暫不做更深入的研究，僅限于提供一種思路和方法。

Excel是Office家族的一個(gè)成員，是功能強(qiáng)大、使用方便的電子表格式數(shù)據(jù)綜合管理與分析系統(tǒng)，可用來記錄和整理試驗(yàn)數(shù)據(jù)。另外，Excel也具備一些統(tǒng)計(jì)運(yùn)算的功能，若能巧妙地使用，也可以解決一些較為復(fù)雜的測量統(tǒng)計(jì)運(yùn)算問題，如多元非線性回歸的問題等。

從本例中可以看出，其實(shí)基線距離S1和S2對(duì)于測區(qū)垂線偏差的影響不顯著，影響較大的是基線兩端的高差。因此，在平原地區(qū)，距離較短、精度要求較低時(shí)可以不考慮垂線偏差的影響，但是遠(yuǎn)距離或在地形起伏較大的山區(qū)進(jìn)行高精度的三角高程測量，就必須要考慮垂線偏差的影響了。

[1]肖榮健，鄒強(qiáng).垂線偏差的確定方法[J].大眾科技，2009（8）.

[2]肖根旺，許提多，周文健，朱順生.高精度三角高程測量的嚴(yán)密公式[J].測繪通報(bào)，2004(10).

[3]李建忠.用GPS測定垂線偏差[J].測繪工程,Vol.8,No.2,1999.

[4]王愛國.大氣折光和垂線偏差影響的三角高程測量的精度分析[J].西部探礦工程2007，3.

[5]龔江，石培春，李春燕.巧用Excel解決多元非線性回歸分析[J].農(nóng)業(yè)網(wǎng)絡(luò)信息，2011（01）.