一維對(duì)心完全彈性碰撞的速度分析

陳亞蘭

（興義市第五中學(xué)，貴州 興義 562400）

物理學(xué)中所說的碰撞，要比在日常生活中所說的廣泛得多。兩個(gè)或兩個(gè)以上相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體相互靠近時(shí)，無論是否接觸，只要在極短時(shí)間內(nèi)，相互作用力使得它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生明顯的變化，相互交換了動(dòng)量和能量，這過程就稱為碰撞。因此，除了擊球、打樁、鍛鐵外，分子、原子、原子核等微觀粒子之間的某些相互作用過程也可以看成是碰撞。

碰撞過程的特點(diǎn)是相互作用的歷時(shí)極短，相互作用的沖力極大，這時(shí)其他的作用力相對(duì)來說可以不考慮。因此，將相互作用碰撞的物體作為一個(gè)系統(tǒng)，則在碰撞過程中僅有系統(tǒng)內(nèi)力的作用，它就遵從動(dòng)量守恒定律[1]。我們知道，在力學(xué)范圍內(nèi)，動(dòng)量守恒定律是一個(gè)獨(dú)立守恒定律，是以實(shí)驗(yàn)為依據(jù)總結(jié)出來的，適用于任何物體中的任何情況[2，3]，即無論物體系由幾個(gè)物體組成；是高速或是低速；是宏觀物體或是微觀粒子；物體間相互作用力可以是任何性質(zhì)的力或是其他性質(zhì)未知的力；也適用于任何狀態(tài)變化的過程，粘合或是分裂；是同向運(yùn)動(dòng)還是反向運(yùn)動(dòng)；物體之間是相互接觸或是它們隔有一段距離；以及物體相互作用時(shí)間長或是很短促。

1 回顧背景

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（物理，選修3－5）中第18－19頁，彈性碰撞的兩個(gè)物體是系在空間中[2]，如圖1所示。其中兩個(gè)物體是剛球，m1向右運(yùn)動(dòng)和靜止的m2發(fā)生碰撞，根據(jù)動(dòng)量和動(dòng)能守恒，推導(dǎo)兩球碰撞后的速度為

高中物理課本提出的實(shí)驗(yàn)結(jié)論，只是大致比較兩者質(zhì)量不同碰撞后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)度，沒有對(duì)碰撞后的速度進(jìn)行詳細(xì)的說明。

圖1 兩球彈性碰撞

2 對(duì)心完全彈性碰撞

兩個(gè)物體碰撞前后總動(dòng)能沒有變化的碰撞叫做完全彈性碰撞。在此基礎(chǔ)上，如果碰撞前后的速度方向都在一條直線上，這種碰撞叫做一維對(duì)心完全彈性碰撞，簡(jiǎn)稱對(duì)心彈性碰撞。如圖2所示，射兩個(gè)物體的質(zhì)量分別為m1和m2，它們碰撞前的速度分別為v1和v2。

圖2 一維對(duì)心完全彈性碰撞

在圖2中，兩個(gè)物體發(fā)生對(duì)心完全彈性碰撞后的速度為v1和v2。根據(jù)動(dòng)量和機(jī)械能（動(dòng)能）守恒可得[5]

進(jìn)行整理可得到兩個(gè)物體碰撞后的速度

3 討論

如果m1=m2，由（5）式和（6）式可得v′1=v2和v′2=v10。由此表明質(zhì)量相等的兩個(gè)物體發(fā)生對(duì)心完全彈性碰撞后，物體的速度正好交換。

如果m1＜＜m2，則v′1=2v2－v1和v′2=v2。表示小質(zhì)量的物體碰撞后速度會(huì)變化，而大質(zhì)量的物體則“我行我素”。特別是當(dāng)v2=0時(shí)，則v′1=－v1和v′2=0，表示小質(zhì)量的物體碰撞后以同樣大的速率反彈，而大質(zhì)量的物體則“巋然不動(dòng)”。

如果m1碰撞后的速度v′1=0，由（5）式可得m1/m2=1－2（v2/ v1）0。由于m1/m2＞0，所以2v2/v1＜1。如果v1＞0和v2＞0，則v2/v1＞2，即m1碰撞前的速度要大于m2碰撞前速度的2倍才有可能碰撞后靜止，這時(shí)m1是主碰物體，m2是被碰物體。綜合m1/m2=1－2（v2－v1）和（6）式可得v′2=v1－v2，表明m2被碰撞后速度要增加。如果v1＞0和v2＜0，則使2v2/v1＜1恒成立，表示兩個(gè)物體對(duì)碰時(shí)m1可能靜止。

[1]汪昭義；普通物理學(xué)；[M]；華東師范大學(xué)出版社.2013，2：61－65.

[2]全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書；物理1（必修）；[M]；人民教育出版社.2001，4：123－124.

[3]許江勇；在豎直方向上驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律的實(shí)驗(yàn)及分析；[J]；黔西南民族師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào).2008，3：103－105.

[4]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.物理3－5（選修）.山東：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2011，12：18－19.

[5]漆安慎；力學(xué)；[M]；高等教育出版社.2010，1:138－140.