大學(xué)數(shù)學(xué)的思想方法和教學(xué)

呂敬亮　焦勁松

[摘 要]數(shù)學(xué)思想方法在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的地位。數(shù)學(xué)思想是指，現(xiàn)實(shí)的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。它將數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、理論化，指導(dǎo)人們在數(shù)學(xué)活動中確立正確的觀念。注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，使學(xué)生更好的掌握數(shù)學(xué)知識；注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力；注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)思想 數(shù)學(xué)方法 教學(xué)

[中圖分類號] O13 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2014）16-0068-03

一、引言

數(shù)學(xué)是一門工具性很強(qiáng)的學(xué)科，與其他學(xué)科相比具有較高的抽象性。為此怎樣將抽象的知識傳授給學(xué)生，在數(shù)學(xué)教學(xué)中顯得尤為重要。本文通過多年的工作經(jīng)驗(yàn)與課堂實(shí)踐，從思想與方法出發(fā)，增加實(shí)際應(yīng)用的內(nèi)容，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力，使學(xué)生適應(yīng)新世紀(jì)對數(shù)學(xué)人才的要求。

二、數(shù)學(xué)思想的含義

所謂數(shù)學(xué)思想是指，現(xiàn)實(shí)的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。它將數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、理論化，指導(dǎo)人們在數(shù)學(xué)活動中確立正確的觀念。數(shù)學(xué)思想有很多，下面僅介紹三種。

（一）轉(zhuǎn)化的思想

轉(zhuǎn)化的思想是將復(fù)雜的轉(zhuǎn)化成簡單的，將不熟悉的轉(zhuǎn)化成熟悉的。例如在高階矩陣計(jì)算中，矩陣分塊就是一種實(shí)用的轉(zhuǎn)化思想。

例1[3]：設(shè)D=■，A、B分別為k、r階可逆矩陣，C為r×k矩陣，0是k×r零陣，求D-1。

解：因?yàn)镈=AB，A，B可逆，則D也可逆。設(shè)D-1=■，X1、X4分別為k、r階方陣，因?yàn)?/p>

DD-1=■■=■=■，

Ik、Ir分別為k、r階單位陣，根據(jù)分塊相等的運(yùn)算，得X1=A-1，X2=0，X3=-B-1CA-1，X4=B-1。因此D-1= A-1 0-B-1CA-1 B-1。

（二）數(shù)形結(jié)合的思想

在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，面對抽象的數(shù)學(xué)知識，我們要努力將其具體化。數(shù)形結(jié)合的思想就是一個很好的橋梁。例如在解決三維幾何向量空間中點(diǎn)的坐標(biāo)變換問題時，就可以運(yùn)用這種思想。

例2：{O'；e'1，e'2，e'3}與{O；e1，e2，e3}是新、舊兩個坐標(biāo)系（如圖1）。點(diǎn)P的新、舊坐標(biāo)分別為（x'，y'，z'）T與（x，y，z）T，問新舊坐標(biāo)之間有何聯(lián)系?！?/p>

圖1

解：設(shè)O'點(diǎn)在{O；e1，e2，e3}下的坐標(biāo)是（x0，y0，z0）T，即■=x0e1+y0e2+z0e3=（e1，e2，e3）x0y0z0，若（e'1，e'2，e'3）=（e1，e2，e3）A，則■=■+■，即

（e1，e2，e3）xyz=（e1，e2，e3）x0y0z0+（e'1，e'2，e'3）x'y'z'

=（e1，e2，e3）x0y0z0+（e1，e2，e3）Ax'y'z'

=（e1，e2，e3）x0y0z0Ax'y'z'+x0y0z0

由坐標(biāo)的唯一性可知，xyz=Ax'y'z'+x0y0z0。

（三）數(shù)學(xué)的辯證思想

數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容本身具有辯證性，這種辯證性主要是通過數(shù)學(xué)中的相互對立統(tǒng)一的矛盾體現(xiàn)出來的。正式由于這種辯證性，在教學(xué)過程中辯證思想也非常重要。例如在工科數(shù)學(xué)分析中，有些定理的證明，就運(yùn)用了辯證的思想。

例3：定理1設(shè)■f（x）=A，■g（x）=B。

（i）若A0，使得當(dāng)0

（ii）若有δ>0，使得當(dāng)0

證明：（i）對ε=■>0，由于■f（x）=A，存在δ1>0，使得當(dāng)0

■

而由■g（x）=B，存在δ2>0，使得當(dāng)0

■

取δ=min{δ1，δ2}，則當(dāng)0

（ii）若不然，設(shè)A>B，則由（i）知在x0的去心鄰域內(nèi)恒有f（x）>g（x），與假設(shè)矛盾。

在上面的例子中，第二部分的證明就運(yùn)用了辯證的思想，對于這種思想，法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪給出了概括：這種思想在于表明，若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾。

總的來說，數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)觀念。除了上述三種思想外還有結(jié)構(gòu)的思想、方程與函數(shù)的思想、分類討論的思想、以退求進(jìn)的思想等。運(yùn)用這些思想的同時，與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法應(yīng)運(yùn)而生。

三、數(shù)學(xué)方法的含義

數(shù)學(xué)方法是在數(shù)學(xué)活動中解決數(shù)學(xué)問題的具體途徑和手段的總稱。它的精神實(shí)質(zhì)和理論基礎(chǔ)就是前面所述的數(shù)學(xué)思想。接下來，談?wù)劸唧w的數(shù)學(xué)方法。

（一）公理化方法

所謂公理化方法，就是能系統(tǒng)地總結(jié)數(shù)學(xué)知識、清楚地揭示數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的方法。恩格斯說過：數(shù)學(xué)上的所謂公理，是數(shù)學(xué)需要用作自己出發(fā)點(diǎn)的少數(shù)思想上的規(guī)定?，F(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的基本特點(diǎn)之一，就是科學(xué)理論的數(shù)學(xué)化，而公理化是科學(xué)理論數(shù)學(xué)化的一個主要特征。公理化方法不僅在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中廣泛應(yīng)用，而且已經(jīng)滲透到其它自然科學(xué)領(lǐng)域。例如20世紀(jì)40年代偉大數(shù)學(xué)家巴拿赫曾完成了理論力學(xué)的公理化。

（二）建立模型法

建立模型法就是數(shù)學(xué)建模，具體來說就是用數(shù)學(xué)符號、式子、程序、圖形等對實(shí)際問題本質(zhì)的簡潔刻畫，它能解釋某些客觀現(xiàn)象，能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種最優(yōu)策略。這種方法應(yīng)用非常廣泛，例如高校選課問題。

例4：某校新學(xué)期選課的規(guī)定如下，必修課程一門（2學(xué)分），限選課程8門，任選課程10門。學(xué)分設(shè)置情況及課程間的關(guān)系如表1所示。

（1）所選課程總學(xué)分（包括2個必修學(xué)分）不能少于20個學(xué)分；

（2）學(xué)生每學(xué)期選修任選課的比例不能少于所修總學(xué)分（包括2個必修學(xué)分）的1 / 6，也不能超過所修總學(xué)分的1 / 3；

（3）課號為5，6，7，8的課程必須至少選一門；

表1 課程學(xué)分及選修要求

■

按如上的規(guī)定，學(xué)生選課時會思考如下問題。

（1）“為達(dá)到要求，本學(xué)期最少應(yīng)該選擇幾門課？選哪幾門課？”

（2）“在選修最少學(xué)分（即20學(xué)分）的情況下，最多可以選修多少門課？哪幾門課？”

解：針對上述情況建立0-1規(guī)劃模型，具體如下。

（1）用xi表示是否選修的課程i（i=1，2，…，18）；用xi=1表示該課程被選修；xi=0表示該課程未被選修；

（2）若選修課程i時必須同時選修課程j，用xj-xi≥0表示；

（3）限選課5，6，7，8必須至少選一門，用■xi≥1表示；

（4）用變量y1，y2分別表示選修的限選課、任選課的學(xué)分?jǐn)?shù)；y表示總的學(xué)分（包括2個必修學(xué)分）。

對問題（1）建立0-1規(guī)劃模型如下

min■xi

■

利用Lingo軟件求解以上0-1規(guī)劃，運(yùn)行結(jié)果為：x1=x4=x6=x10=x11=1，其它xi=0，y1=12，y2=6，y=20。即至少要選修5門課，編號為1，4，6，10，11。該整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解不唯一。下面通過對變量的約束進(jìn)行隱枚舉給出多組解，得到選課方案見表2。

表2 最優(yōu)選課方案

■

如上所得最優(yōu)選課方案有3種，這3種方案所得學(xué)分恰好是20。為了得到20學(xué)分選5門課程即可。這些結(jié)果反映了課程1，2，4，6，10，11，14比較優(yōu)先考慮。

通過建立相似的數(shù)學(xué)模型，問題（2）同樣可以解決，這里就不詳細(xì)給出了。

除了上述兩種方法之外，在數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的方法還有很多。如分析綜合法、類比法、參數(shù)法、配方法等。針對不同的問題選取合適的方法，對大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)意義重大。

四、數(shù)學(xué)思想方法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

通過上面對數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法地闡述，可清晰地發(fā)現(xiàn)，由于一定的數(shù)學(xué)思想總是通過某種數(shù)學(xué)方法來實(shí)現(xiàn)，而具體的某種數(shù)學(xué)方法又總是反映一定的數(shù)學(xué)思想，因此數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法沒有嚴(yán)格的界限，從而在數(shù)學(xué)教學(xué)中，人們可以將這兩種概念統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、鍛煉各種能力會起到積極的作用，以下從三個方面談一談。

（一）注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，使學(xué)生更好的掌握數(shù)學(xué)知識

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)以數(shù)學(xué)知識為載體，結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，按照認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行整體策劃，分階段、有步驟地進(jìn)行滲透。同時，在教材的知識結(jié)構(gòu)和教學(xué)設(shè)計(jì)上不斷完善數(shù)學(xué)思想方法的理念，使數(shù)學(xué)知識與思想方法有機(jī)結(jié)合起來，形成完整的系統(tǒng)。教師通過教學(xué)實(shí)踐，加深對“數(shù)學(xué)思想方法”的理解，以便在教學(xué)過程中更好地把握教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生動手實(shí)驗(yàn)，探索發(fā)現(xiàn)，合理歸納，揭示出數(shù)學(xué)概念、原理、規(guī)律的本質(zhì)，從而有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)。

（二）注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)好概念的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)的規(guī)律。以數(shù)學(xué)知識為主線，以發(fā)掘數(shù)學(xué)思想方法為羽翼，師生合作互動。在這個過程中，通過學(xué)生探索與思考、觀察與分析，使學(xué)生始終處于最佳學(xué)習(xí)狀態(tài)，保證施教活動的有效性，使學(xué)生自然地達(dá)到對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟，這樣能從根本上培養(yǎng)其認(rèn)知能力和創(chuàng)新能力。

（三）注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣

學(xué)生通過數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)和訓(xùn)練，可以看到活生生的數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，掌握具體的內(nèi)容，而且也能領(lǐng)會、運(yùn)用內(nèi)在的思想方法，從而形成自己的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，符合當(dāng)前大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展趨勢。正如波利亞強(qiáng)調(diào)：在數(shù)學(xué)教學(xué)中“有益的思考方式、應(yīng)有的思維習(xí)慣”應(yīng)放在教學(xué)的首位。加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，必然對提高大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量起到積極的作用。

五、總結(jié)

本文通過教學(xué)中的實(shí)際例子，介紹了數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位?？偨Y(jié)了教學(xué)中運(yùn)用到的具體的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，通過闡述數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生的學(xué)習(xí)和能力培養(yǎng)的過程中起到的重要作用，進(jìn)一步地說明了在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重?cái)?shù)學(xué)的思想和方法所具有的深遠(yuǎn)意義。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2002.

[2] 陳紀(jì)修.數(shù)學(xué)分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3] 鄭寶東.線性代數(shù)與空間解析幾何[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2000.

[責(zé)任編輯：林志恒]