淺談三角公式的教學(xué)

徐洪麗

摘 要：在三角公式的教學(xué)中，要力爭使學(xué)生做到：深入領(lǐng)會，準(zhǔn)確記憶，掌握內(nèi)涵，認(rèn)清實質(zhì)，推敲條件，靈活多變。不論是求值問題、化簡問題、還是恒等式證明，都要反復(fù)使用這些公式，既要不斷強化記憶，又要不斷總結(jié)公式的應(yīng)用方法和技巧。

關(guān)鍵詞：透徹領(lǐng)會 準(zhǔn)確記憶 靈活運用

中圖分類號：G4 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）05（b）-0069-02

在三角函數(shù)中，三角公式居于核心的地位。因此，教學(xué)過程中應(yīng)讓學(xué)生做到：了解公式的來龍去脈；熟悉公式的推導(dǎo)過程；把握公式的內(nèi)在聯(lián)系；擅于公式的靈活運用。本文在此談幾點看法。

1 透徹領(lǐng)會三角公式

對三角公式的領(lǐng)會可以從以下幾個方面。

1.1 公式的普遍價值

這是指三角公式在運用方面具有普遍的指導(dǎo)價值。三角公式作為一種特有的形式結(jié)構(gòu)固定下來，凡是符合公式條件的三角問題，都可以用公式運算。例如，對任意角、，公式、

都成立。三角公式具有普適性，就是因為它是從各種具體問題中抽象出來的一般規(guī)律。

1.2 公式的本質(zhì)內(nèi)涵

相對于具有外在美的形式而言，三角公式的本質(zhì)內(nèi)涵同樣重要。例如同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運算關(guān)系，它的關(guān)鍵在“同角”二字上，、等均成立，原因是公式中的角都是“同角”。再如，公式 闡述的事實是：雙倍角的正弦等于單角的正弦和余弦乘積的兩倍，等式兩邊的角是雙倍關(guān)系，，

等都是這一公式的合理變形。準(zhǔn)確把握三角公式的內(nèi)在聯(lián)系，而不被復(fù)雜多變的表面現(xiàn)象所糾結(jié)，是掌握三角公式的關(guān)鍵。沒有對三角公式的透徹領(lǐng)會，就談不上對公式的準(zhǔn)確應(yīng)用。

1.3 公式的適用條件

真理都是相對的，三角公式也只能在某些前提條件下成立。例如是在的前提下成立；

成立的條件是：和、、。假如，，求就不能用和角的正切公式，而應(yīng)該用誘導(dǎo)公式：

1.4 公式的內(nèi)在聯(lián)系

三角公式可以分成幾個系列，每一系列公式之間存在著高度的內(nèi)在聯(lián)系。因此，要善于從總體和聯(lián)系上去把握某一公式的本質(zhì)特點。擒賊先擒王，搞定公式系列中的基礎(chǔ)公式，就可以起到舉一反三的效果。例如，在兩角和與差、倍角、半角系列中，、是基礎(chǔ)公式，由這兩個公式很容易就能推導(dǎo)出兩角差、倍角、半角公式。

推導(dǎo)過程：在 公式

（1）

及公式

（2）

中用代替就得兩角差的正余弦公式

（3）

和

（4）

在公式（1）和（2）中，令就得二倍角的正余弦公式

（5）

和

（6）

利用上面公式（6），由

就可得出半角公式

（7）

和 （8）

再由公式（7）和公式（8）相除就得正切的半角公式

另外，由公式（1）和公式（2）相除得出正切兩角和的公式

（9）

在公式（9）中用代替可得兩角差的正切公式

（10）

在公式（9）中令就得二倍角的正切公式

因此，、既是這一系列的基礎(chǔ)公式，又是核心公式。

2 準(zhǔn)確記憶三角公式

三角公式雖然多，但必須牢記，這是解決三角問題的根本。教師可以通過編口訣、畫圖形、看結(jié)構(gòu)等方法，幫助學(xué)生記憶，下面舉例說明。

2.1 部分常用公式通過口訣幫助記憶

例如，在上述系列中占主要地位的兩角和與差的正弦公式

可以用“余弦中間，正弦兩邊，符號受限，前后不變?！弊鳛橛洃浛谠E；兩角和與差的余弦公式

可以用“余頭正尾，各就各位，符號另類，前后相對?！弊鳛橛洃浛谠E。而三角函數(shù)在第一、二、三、四象限值的正負(fù)可用“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”作為記憶口訣。第一類誘導(dǎo)公式 和第二類誘導(dǎo)公式可用“奇變偶不變，符號看象限”給出口訣式的概括。這里“奇變偶不變”是指角的形式化為后，當(dāng)為奇數(shù)時函數(shù)名稱改變（正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切，余切變正切）；當(dāng)為偶數(shù)時函數(shù)名稱不改變?！胺柨聪笙蕖笔侵腹接叶巳呛瘮?shù)前的正負(fù)號，看公式左端的角（把看作銳角）所在象限的三角函數(shù)值的符號來確定。例如：

，

，

。

2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可用直觀圖來幫助記憶（見圖1）

將、、、、、分別置于正六邊形各頂點上，其中心放上數(shù)值1。這樣正六邊形對角線兩端的函數(shù)之積等于1，例如，，即體現(xiàn)倒數(shù)關(guān)系；正六邊形任意頂點位置上的三角函數(shù)值均等于與它相鄰的兩頂點位置的三角函數(shù)值的乘積，例如，，即體現(xiàn)商數(shù)關(guān)系；在陰影部分的三角形中，三角形上方兩頂點位置的三角函數(shù)值或數(shù)值的平方和，等于下面頂點上三角函數(shù)值的平方，例如：，即體現(xiàn)平方關(guān)系。

2.3 一些公式可根據(jù)其構(gòu)造形式幫助記憶

例如，積化和差公式：

兩個角的不同名函數(shù)（限于正弦、余弦）之積化為正弦的和或差；兩角的余弦之積化為兩余弦之和，兩角的正弦之積則化為兩余弦之差，而右端角、的相對位置是固定的。

3 靈活運用三角公式

三角公式是解決三角函數(shù)問題的基本工具，在準(zhǔn)確記憶的基礎(chǔ)上，還要靈活運用它們。首先公式本身有各種衍生形式，例如半角公式：是它的基本形式，另外還可以演變?yōu)楹偷刃问?。其次，如果問題不具備公式的條件和形態(tài)，可試著變化形式和條件，然后再套用公式。例如將化為積的形式，可將原式化為然后再套用和差化積公式。解題的趣味就在這些變化之中。除此之外，還要教會學(xué)生具備如下幾點。

3.1 辯證的思維

某一角或數(shù)值可以有多種表達形式，例如：，，，等。又如，整數(shù)1在不同的場合可用、、代替，或用、、代替等等。

3.2 逆向的思維

要增強逆用公式的直覺能力，就會有化繁為簡、思路開闊的意外收獲。例如：

等等。

3.3 轉(zhuǎn)化的觀念

三角函數(shù)中的求值、化簡、恒等式證明等問題千變?nèi)f化，歸根結(jié)底是恒等變形，而恒等變形的本質(zhì)意義就是對角、函數(shù)名稱的相互轉(zhuǎn)化，其依據(jù)是一系列的三角公式。按照公式的作用可做如下分類：同角三角函數(shù)關(guān)系式——可達成函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化；誘導(dǎo)公式及和、差、倍角、半角的三角公式——可達成角的形式的轉(zhuǎn)化；和差化積、積化和差可實現(xiàn)運算結(jié)構(gòu)的變化；余弦倍角公式可實現(xiàn)函數(shù)式的升冪或降冪的作用。

3.4 方程的觀念

在求某些角的三角函數(shù)值時，可將該角的函數(shù)值作為未知數(shù)，然后列出方程解決。例如求的值，由二倍角的正弦及三倍角的余弦公式及，可列出式子：

兩邊同除得：

化簡，得：

，

將看作未知量便可求得。

綜上所述，在三角公式的教學(xué)中，要力爭使學(xué)生做到：深入領(lǐng)會，準(zhǔn)確記憶，掌握內(nèi)涵，認(rèn)清實質(zhì)，推敲條件，靈活多變。不論是求值問題、化簡問題、還是恒等式證明問題，都要反復(fù)使用這些公式，既要不斷強化記憶，又要不斷總結(jié)公式的應(yīng)用方法和技巧。

參考文獻

[1] 劉來剛.圖解“第七模塊三角函數(shù)”[J].基礎(chǔ)知識手冊.

[2] 傅榮強.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式[J].三角函數(shù).

[3] 劉錫寶.三角公式及其應(yīng)用[J].基礎(chǔ)知識全解.