超混沌Lü系統(tǒng)的同步控制

潘 紅

(山西工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，山西太原030002)

1 引言

混沌控制及其應(yīng)用現(xiàn)已成為非線性科學(xué)中的前沿?zé)衢T(mén)課題之一，混沌同步則是混沌控制領(lǐng)域中非常重要的一部分.自從 Pecora和Carmn首次發(fā)現(xiàn)現(xiàn)了混沌同步后，人們對(duì)混沌同步的做了很多深入的研究.這些研究成果為混沌控制在實(shí)際生活的應(yīng)用提供了重要的理論基礎(chǔ)。

超混沌系統(tǒng)是具有兩個(gè)以上的正的李雅普諾夫指數(shù)的混沌系統(tǒng)，它的動(dòng)力學(xué)行為比一般的混沌系統(tǒng)更加復(fù)雜，所以在信號(hào)加密中應(yīng)用超混沌系統(tǒng)加密的信號(hào)很難被破譯，具有很高的安全性。因此，為了使超混沌同步控制在實(shí)際中的應(yīng)用更加的廣泛，那么對(duì)超混沌系統(tǒng)同步控制的深入的研究就更為重要。在本文中給出了設(shè)計(jì)超混沌同步控制的一種新方法，然后用超混沌Lü系統(tǒng)理論證明了這個(gè)方法的可行性，并用數(shù)值仿真說(shuō)明其正確性和有效性，為超混沌同步控制研究提供有力理論依據(jù)。

2 超混沌Lü系統(tǒng)

超混沌Lü系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為:

系統(tǒng)參數(shù) a=10，b=5，c=3，d=0.5 時(shí)，系統(tǒng)的兩個(gè)正Lyapunov指數(shù)分別為1.0596，0.1285，因此系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。對(duì)應(yīng)的超混沌Lü系統(tǒng)吸引子在各平面上的投影如圖1所示。

3 超混沌Lü系統(tǒng)同步控制

3.1 超混沌同步控制方法

超混沌系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

其中x(t)∈Rn，f(·)為n維非線性函數(shù)，設(shè)y(t)∈Rn，為參考信號(hào)，若在(2)式中加控制器:

式(3)中K為控制參數(shù)，則響應(yīng)混沌系統(tǒng)為

圖1 系統(tǒng)的超混沌Lü系統(tǒng)吸引子

3.2 超混沌Lü系統(tǒng)同步控制

(1)式超混沌Lü系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，以(y1，y2，y3，y4)為參考信號(hào)，由(3)式所得的控制器如下

得到響應(yīng)系統(tǒng)為

用(6)式和(1)式做差得誤差系統(tǒng):

誤差信號(hào)為 ei(t)=yi-xi(i=1，2，3，…n)，設(shè) vi(i=1，2，3，4)，如下所示:

將(8)式代入(7)式，整理得誤差系統(tǒng)為

(8)式中的 vi(i=1，2，3，4)是關(guān)于誤差變量 ei(i=1，2，3，4)函數(shù)的控制輸入信號(hào)，即 vi=Aei，其中A是4×4的實(shí)常數(shù)矩陣，我們?nèi)?/p>

4 數(shù)值模擬仿真

應(yīng)用matlab軟件和四階龍格-庫(kù)塔法，步長(zhǎng)取0.001，K 取值 1000，初值取 x1(0)=0，x2(0)=1，x3(0)=1，x4(0)=-0.3;y1(0)=1.1，y2(0)=1.05，y3(0)=1.4，y4(0)=0;得到超混沌同步系統(tǒng)的同步誤差曲線如圖2所示。

圖2 誤差演化曲線圖

5 結(jié)論

文中提出的超混沌同步控制方法通過(guò)理論分析和仿真試驗(yàn)都驗(yàn)證期有效性，說(shuō)明在初值不同的情況下，超混沌系統(tǒng)是可以達(dá)到同步的，并且當(dāng)控制參數(shù)K的越大，超混沌系統(tǒng)同步的所需時(shí)間越短。

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［6］劉揚(yáng)正.超混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)［J］.物理學(xué)報(bào)，2008，(3).