巧繪連續(xù)梁的剪力圖——基于分布荷載、剪力、彎矩微分關系

張春玲

（大連海洋大學職業(yè)技術學院，遼寧 大連 116300）

0.引言

在結構力學中，結構的支座反力和各截面的內力不能完全由靜力平衡條件唯一地確定，此類結構就稱為超靜定結構。解決超靜定問題的方法很多，常用有力法、位移法、力矩分配法。而位移法和力矩分配法是先作彎矩圖，后作剪力圖，再作軸力圖。彎矩圖是根據(jù)桿端彎矩和已知荷載分布情況疊加而成，但剪力圖和軸力圖，是通過繁瑣的平衡條件求出桿端內力值，再由內力值與已知荷載分布情況疊加而成。本文探討另外一種作圖方法，即根據(jù)分布荷載 q、剪力 FS（x）、彎矩 M（x）微分關系總結出作圖規(guī)律，直接繪出剪力、軸力圖，達到快、準、易學目的。

1.分布荷載、剪力、彎矩微分關系

如圖-1所示，分布載荷、剪力和彎矩之間存在著一定的關系，根據(jù)單元體的平衡條件可推導出

上式說明，剪力對截面位置坐標x的導數(shù)等于同一截面上的分布載荷集度。就是說，剪力圖上某點切線的斜率等于該點相應截面上的分布載荷集度q（x）。同理可導出

即彎矩對截面位置坐標x的導數(shù)等于同一截面上的剪力。亦即彎矩圖上某點切線的斜率等于該點相應截面上的剪力 FS（x）。 將式（2）對 x 求導，并利用式（1）可得

即彎矩對截面位置坐標x的二階導數(shù)等于梁在該截面的分布載荷集度。亦即彎矩圖斜率的變化與q（x）有關，若 q（x）為正值，即=q（x）>0，M（x）圖為上凸曲線（碗口朝下），反之若q（x）<0，M（x）圖為下凸曲線（碗口朝上）。

上述 q（x）、FS（x）和M（x）之間的微分關系給出了 FS（x）和 M（x）為連續(xù)曲線時三者之間的關系。以上三式就是M（x）和 FS（x）為 連 續(xù)曲 線 時彎矩、剪力和載荷集度之間的微分關系。式中內力符號按前述規(guī)定采用，q（x）取向上為正，x的方向應取向右為正。

圖－1 荷載分布微分圖

綜合微分關系，可得到下述作圖規(guī)律：

（1）對剪力圖，有均布荷載 q就有斜直線，當 q↓時，F(xiàn)S（x）剪力斜線為（），當 q↑時，剪力 FS（x）的斜線（/），有集中力就有突變，突變值等于集中力，有集中力偶，在集中力偶作用處其剪力值不變。

（2）對彎曲矩圖，有均布荷載就有拋物線，當 q↓時，彎矩（M）的圖形∩，當 q↑時，M圖形為∪，有集中力就有轉折點，集中力處兩側的彎矩值不變，有集中力偶矩就有突變，突變值等于集中力偶矩。

（3）當彎矩圖形是斜直線，剪力圖為水平線。當彎矩（M）的圖形（），剪力為正值；當彎矩（M）的圖形（/），剪力為負值；剪力等零處，彎矩圖有極值。綜合利用這些關系和規(guī)律，不僅可以快捷地檢驗繪出的 FS（x）和M（x）圖正確與否，如熟練掌握后還可以直接繪制FS（x）和M（x）圖。這一方法在工程實際中廣泛應用。

2.根據(jù)彎矩圖直接作剪力圖的示例分析

2.1 對彎矩圖進行分段

如圖-2（a）所示多跨連續(xù)梁，由力矩分配法已繪制其彎矩圖，試根據(jù)彎矩圖求作剪力圖和約束反力。圖-2（b）所示彎矩圖，由力界點將彎矩圖分成四段，即 AE、EB、BC、CD 段。

圖－2 連續(xù)梁彎矩圖

2.2 根據(jù)內力圖規(guī)律及微分關系分段作出剪力圖

如圖-3（a）、（c）、（e）所示，AE、EB、CD 段彎矩圖為直線圖，根據(jù)式（1）導數(shù)為常數(shù)，即剪力圖必為水平線，正負由規(guī)律（3）確定，各段剪力值（彎矩圖的斜率）為

各段剪力圖見圖-3（b）、（d）、（f）所示。

圖－3 連續(xù)梁彎矩、剪力分段圖

2.3 分解彎矩圖與疊加剪力圖

如圖-4（a）所示，BC 段彎矩圖是由圖-4（c）梯形直線圖與圖-4（e）拋物曲線疊加而成，剪力圖也應當是圖-4（d）、（f）疊加出來，即圖-4（b）所示。

圖－4 彎矩、剪力疊加分解圖

2.4 繪制全梁剪力圖

將各段剪力圖拼接后，即為整個梁剪力圖，如圖-2（c）所示，掌握上述作圖技巧，能夠快、準地繪制剪力圖。

2.5 直觀確定各支撐處約束反力

根據(jù)作圖規(guī)律，通過圖-2（b）、（c）直觀分析，容易確定各支撐處約束反力，即根據(jù)剪力圖、彎矩圖的突變值得出

3.結語

實踐證明，利用作圖規(guī)律和分布荷載、剪力、彎矩微分關系能快速繪出連續(xù)梁的剪力圖，不用或少用平衡方程，避免解題麻煩，能獲得事半功倍效果，由此也能培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題、解決問題的能力。

［1］劉文順.結構力學［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2007.

［2］姜魯珍，等.復合材料圓管構件的等效模型研究［J］.工程力學，2000，17（3）:71-73.

［3］孫訓方，方孝淑.材料力學（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2001.