基于彎曲內(nèi)力函數(shù)的數(shù)學(xué)分析

馮 麗

（大連海洋大學(xué)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，遼寧 大連 116300）

0.引言

“高等教育的任務(wù)是培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的高級(jí)專門人才，發(fā)展科學(xué)技術(shù)文化，促進(jìn)社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)”。高等教育正朝著多樣化方向發(fā)展，從單一結(jié)構(gòu)向多種結(jié)構(gòu)演化，這是當(dāng)今世界高等教育改革的重要態(tài)勢(shì)之一。而現(xiàn)代科技與生產(chǎn)的發(fā)展，是以綜合化為基本特征的，反映到高等教育中就是課程的綜合化。所謂課程的綜合化，就是使基礎(chǔ)教育和專業(yè)教育、應(yīng)用研究和開發(fā)研究相互滲透、交叉進(jìn)行，目的在于培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的需要和具有解決復(fù)雜課題的技能。

目前，學(xué)科教育不利于人才培養(yǎng)，如在高等數(shù)學(xué)的函數(shù)教學(xué)中，函數(shù)表達(dá)式模型脫離專業(yè)課程，學(xué)生學(xué)習(xí)無的放矢，而在專業(yè)教學(xué)中對(duì)建立函數(shù)模型又缺乏有力的數(shù)學(xué)分析，造成基礎(chǔ)課與專業(yè)課既分層又分家。下面以材料力學(xué)的彎曲變形為例，淺議彎曲內(nèi)力函數(shù)的數(shù)學(xué)分析。

1.彎曲內(nèi)力方程與數(shù)學(xué)函數(shù)

1.1 彎曲內(nèi)力函數(shù)定義

在通常情況下，材料力學(xué)彎曲變形梁橫截面上的內(nèi)力是隨著橫截面的位置變化而變化的。設(shè)橫截面沿梁軸線的位置用水平坐標(biāo)表示，則梁各截面上的剪刀和彎矩可表示為坐標(biāo)的函數(shù)，即

式（1）和式（2）分別稱為剪力方程和彎矩方程。坐標(biāo)x的原點(diǎn)一般取在梁的端面處，坐標(biāo)x軸線平行于梁軸線。當(dāng)梁上有多種載荷同時(shí)作用時(shí)，載荷發(fā)生變化的起訖點(diǎn)稱為界點(diǎn)。如集中力的和集中力偶的作用點(diǎn)，均布載荷的起訖點(diǎn)和梁的支撐點(diǎn)等。界點(diǎn)之間的距離簡(jiǎn)稱“段”，當(dāng)梁上各段的剪力或彎矩不能用同一個(gè)方程表示時(shí)，則應(yīng)該分別寫出各段梁的剪力方程或彎矩方程。其中每段又可稱為梁的一個(gè)力區(qū)。

為了表明梁上各截面的剪力和彎矩沿軸線的變化情況，通常繪出梁的剪力圖和彎矩圖，在數(shù)學(xué)分析中稱為函數(shù)圖象。以橫截面上的剪力或彎矩值用縱坐標(biāo)表示，以橫截面位置為橫坐標(biāo)用x表示，能繪出FQ或M（x）的函數(shù)圖象，此圖形稱為剪力圖和彎矩圖。正值剪力和彎矩畫在x軸上側(cè)，負(fù)值剪力和彎矩畫在x軸下側(cè)。另外，通過截面法不難確定：某截面上剪力等于截面任意一側(cè)所有垂直軸線外力的代數(shù)和，約定繞截面順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正值，反之為負(fù)值；某截面上的彎矩等于截面任意一側(cè)所有外力對(duì)該截面力矩的代數(shù)和，約定使軸線產(chǎn)生變形∪為正力矩，使軸線產(chǎn)生變形∩為負(fù)力矩。

1.2 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類

在高等數(shù)學(xué)中，分段函數(shù)界點(diǎn)上存在第一類間斷點(diǎn)，即跳躍間斷點(diǎn)或可去間斷點(diǎn)；第二類間斷點(diǎn)，即無窮間斷點(diǎn)或振蕩間斷點(diǎn)。

關(guān)于間斷點(diǎn)定義：設(shè)函數(shù) f（x）在 U（x^0，δ）內(nèi)有定義（在點(diǎn) x0處可以無定義），如果函數(shù) f（x）在點(diǎn) x0處不連續(xù)，則稱點(diǎn) x0為函數(shù)f（x）的一個(gè)間斷點(diǎn)（或不連續(xù)點(diǎn)）。

關(guān)于間斷點(diǎn)的分類：設(shè) x0為函數(shù) f（x）的一個(gè)間斷點(diǎn)，第一類間斷點(diǎn) f（x0-0）、f（x0+0）都存在，（1）若f（x0-0）=f（x0+0），即f（x）存在，此類間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)。 函數(shù) f（x）在點(diǎn) x0無定義，函數(shù) f（x）在點(diǎn)x0有定義，但f（x）≠f（x0）。 （2）若 f（x0-0）≠f（x0+0），即f（x）不存在，此類間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)。第二類間斷點(diǎn)，f（x0-0）與 f（x0+0）中至少有一個(gè)不存在。 其中有兩類特殊的間斷點(diǎn)：無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。

2.彎曲內(nèi)力函數(shù)的數(shù)學(xué)分析

上述彎曲內(nèi)力方程與數(shù)學(xué)函數(shù)存在一致性，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)相互滲透，即在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入內(nèi)力函數(shù)，在力學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化數(shù)學(xué)分析，達(dá)到知識(shí)整合的目的。如圖-1（a）所示外伸梁，在C點(diǎn)作用有集中力偶，CD段受均布載荷，D點(diǎn)有集中力F，尺寸如圖-1（a）所示。已知M=16kN.m，F(xiàn)=2kN，q=2kN/m。試?yán)L制該梁的剪力圖和彎矩圖。

圖-1梁外力、內(nèi)力圖

2.1 外力分析

根據(jù)靜力學(xué)平面力系的平衡條件，不難求出外伸梁A、B處約束反力，即

求出約束反力分別為 FA＝7.2kN，F(xiàn)B＝14.8kN.

2.2 建立剪力、彎矩函數(shù)方程

因?yàn)槿涸贏、C、B和D點(diǎn)處發(fā)生載荷變化。出現(xiàn)四個(gè)界點(diǎn)，需要分三個(gè)區(qū)段列出剪力方程和彎矩方程：

根據(jù)上述內(nèi)力函數(shù)方程不難畫出剪力圖和彎矩圖，如圖-1（a）、（b）所示。

2.3 對(duì)剪力、彎矩方程的數(shù)學(xué)分析

式（1）為水平線剪力方程，區(qū)段界點(diǎn)是第一類跳躍間斷點(diǎn)，符合 f（x0-0）≠f（x0+0），即f（x）不存在；式（2）為斜直線彎矩方程，區(qū)段界點(diǎn)是第一類可去間斷點(diǎn)，符合 f（x0-0）=f（x0+0），即f（x）存在；式（4）、（6）為拋物線彎矩方程，區(qū)段界點(diǎn)是第一類間斷點(diǎn)，只有式（4）左端為跳躍間斷點(diǎn)，符合 f（x0-0）≠f（x0+0），其余符合 f（x0-0）=f（x0+0），即f（x）存在，因拋物線彎矩方程二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值，故拋物線開口向下，如圖-1（c）所示。

梁在 CB段內(nèi)彎矩存在極值，應(yīng)通過對(duì)式（4）求出導(dǎo)數(shù)等于零，即=7.2-2（x2-2）=0，便求出彎矩極值位置x2=5.6m，再回代式（4），得彎矩極值大彎矩值為11.4kN.m，如圖-1（c）所示。綜合考慮微分關(guān)系，可得到下述作剪力、彎矩圖規(guī)律。

（1）對(duì)剪力圖，有均布荷載 q就有斜直線，當(dāng) q↓時(shí)，剪力 FQ（x）斜線為（），當(dāng) q↑時(shí)，剪力 FQ（x）的斜線（/），有集中力就有突變，突變值等于集中力，有集中力偶，在集中力偶作用處其剪力值不變。

（2）對(duì)彎曲矩圖，有均布荷載就有拋物線，當(dāng)q↓時(shí)，彎矩（M）的圖形∩，當(dāng)q↑時(shí)，M圖形為∪，有集中力就有轉(zhuǎn)折點(diǎn)，集中力處兩側(cè)的彎矩值不變，有集中力偶矩就有突變，突變值等于集中力偶矩。

（3）剪力等零處，彎矩圖有極值。綜合利用這些關(guān)系和規(guī)律，不僅可以快捷地檢驗(yàn)繪出的FQ（x）和M（x）圖正確與否，如熟練掌握后還可以直接繪制FQ（x）和M（x）圖。這一方法在工程實(shí)際中廣泛應(yīng)用。

3.結(jié)語

整合課程教學(xué)有利于復(fù)合型人才的培養(yǎng)，高等數(shù)學(xué)與工程力學(xué)這兩門課程，分層不能分家，上述教學(xué)實(shí)踐，已經(jīng)證明效果良好。當(dāng)今，高等教育課程的綜合化已為許多國(guó)家所重視，由于采取了一系列行之有效的舉措，高等教育在課程改革方面已取得了顯著成效。

［1］孫訓(xùn)方，方孝淑.材料力學(xué)（第四版）［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［2］哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［3］鄭長(zhǎng)波.高等數(shù)學(xué)［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，2004.

［4］劉文順.彈性介質(zhì)上變截面壓桿的穩(wěn)定分析［J］.焦作大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，21（1）：86－91.