深埋海底隧洞內(nèi)水壓力下飽和土的動力特性

高華喜，聞敏杰

(1.浙江海洋學(xué)院海運(yùn)與港航建筑工程學(xué)院，浙江舟山 316004;2.嘉興職業(yè)技術(shù)學(xué)院生物與環(huán)境分院浙江嘉興 314036;3.上海大學(xué)土木工程系，上海 200072)

由于飽和土中孔隙水的流動特性及襯砌與土體的不同滲透率，飽和土與單相土的動力響應(yīng)存在較大差異［1］。因此，動荷載下具有圓形隧道飽和土的動力學(xué)行為分析熱點成為巖土工程領(lǐng)域研究的熱點之一，它在污水管道、海底管線和軌道交通等方面具有廣泛的應(yīng)用背景。

近年來，許多學(xué)者在飽和土與襯砌系統(tǒng)的動力特性方面進(jìn)行了深入研究。Kumar和Miglani［2］利用Laplace變換等數(shù)學(xué)手段得到了具有深埋圓形隧洞飽和多孔介質(zhì)徑向位移的表達(dá)式，著重討論了沖擊荷載下的封閉形式解答。Senjuntichai和Rajapakse［3］研究了邊界透水情形下飽和土中圓形孔洞的動力響應(yīng)。Lu Jianfei和Jeng dongsheng［4］通過引入位移勢函數(shù)，采用傅立葉變換得到了三維柱坐標(biāo)下具有無限圓形孔洞飽和多孔介質(zhì)的位移、應(yīng)力和孔隙水壓力等的表達(dá)式。Nateghi等［5］通過現(xiàn)場監(jiān)測研究了爆炸波對地下隧道的影響，得到了襯砌結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)力時程曲線。Penzen等［6］將土體和襯砌的連接簡化為彈簧支撐，得到了爆炸荷載作用下襯砌結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計算方法。范鵬賢等［7］采用矩陣力法研究了爆炸地震波作用下襯砌結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。然而，上述研究都認(rèn)為襯砌和土體邊界僅處于透水或不透水狀態(tài)。但是，由于混凝土具有滲透性，實際工程中隧道襯砌結(jié)構(gòu)都處于以上兩種邊界之間，即半封閉狀態(tài)［8-11］。此時，必須要考慮滲流場的分布問題，即襯砌和孔隙水分別承擔(dān)水頭的壓力值。

在此基礎(chǔ)上，考慮土體的慣性效應(yīng)和黏性，基于多孔介質(zhì)理論分別研究了內(nèi)水壓力作用下飽和土中多孔柔性和彈性襯砌結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。采用Darcy定律建立了土體和襯砌部分透水邊界，假定內(nèi)水壓力由孔隙水和襯砌分別承擔(dān)，通過引入應(yīng)力系數(shù)來描述兩者承擔(dān)的壓力值，得到了飽和黏彈性土和襯砌的位移、應(yīng)力和孔隙水壓力表達(dá)式，考察了具有多孔柔性襯砌和彈性襯砌的飽和土徑向位移、孔隙水壓力隨頻率的變化規(guī)律。

1 數(shù)學(xué)模型與控制方程

如圖1，飽和黏彈性土中有襯砌厚度為d、內(nèi)外半徑分別為R1和R2的圓形隧洞，其邊界承受圓頻率為ω的徑向均布內(nèi)水壓力q0eiωt(i2=-1)。假定土骨架和襯砌為小變形，且襯砌和土體完全緊密接觸，即襯砌與飽和土在接觸面上滿足應(yīng)力與位移連續(xù)。根據(jù)飽和多孔介質(zhì)理論［12］，并參考文獻(xiàn)［13］的方程求解和參數(shù)定義，可得極坐標(biāo)下飽和土土骨架的徑向位移為:

圖1 海底圓形隧洞模型Fig.1 Model of under-sea circular tunnel

孔隙流體的徑向位移為:

孔隙水壓力為:

土骨架的有效應(yīng)力:

土體的總應(yīng)力為:

參數(shù)物理意義和字母定義詳見文獻(xiàn)［13］。

2 多孔柔性襯砌條件下表達(dá)式求解

文獻(xiàn)［8］認(rèn)為實際工程中隧道邊界不能單被考慮為透水和不透水兩種極限狀態(tài)，而是處于半封閉狀態(tài)。因此，建立了符合Darcy定律的隧洞邊界部分透水條件，假設(shè)襯砌內(nèi)邊界的水頭為P1，而外邊界的水頭為P2。結(jié)合本文模型，襯砌中流體流量為:

式中:kL為襯砌的滲透系數(shù)。

而飽和黏彈性土和襯砌接觸面處土體中流體流量為

式中:γω為孔隙流體重度，kF為Darcy滲透系數(shù)。

文獻(xiàn)［11］通過定義應(yīng)力系數(shù)δ=1-ηc確定隧洞邊界襯砌和孔隙水分別承擔(dān)的內(nèi)水壓力值。這里ηc為孔隙水壓力作用面積系數(shù)，與土體孔隙率有關(guān)。當(dāng)應(yīng)力系數(shù)δ→0時，內(nèi)水壓力全部由孔隙水承擔(dān)，隧洞邊界上應(yīng)力為0;當(dāng)δ→1時，邊界上內(nèi)水壓力全部由襯砌承擔(dān)。另外，認(rèn)為隧洞邊界上的內(nèi)水壓力無論是作用在內(nèi)邊界還是外邊界對響應(yīng)幅值影響不大。因此，結(jié)合本文實際，利用飽和黏彈性土和柔性襯砌(EL→0)接觸面處應(yīng)力協(xié)調(diào)，可得

假設(shè)土體和襯砌接觸面處滿足連續(xù)性條件，即襯砌中流體流量與飽和土中流體流量相等:

由此，將邊界條件式(8)、式(9)代入式(1)～(5)，可求得待定系數(shù)C1、C2的具體表達(dá)式.從而，可得飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型黏彈性土的動力響應(yīng)解。

3 多孔彈性襯砌條件下表達(dá)式求解

由式(10)可易解得

式中:I1(x)和K1(x)分別為第一類和第二類變形Bessel函數(shù)C5、C6為待定系數(shù)。

于是，可得襯砌徑向應(yīng)力:

式中:

利用土體和襯砌接觸面處應(yīng)力和位移連續(xù)及隧洞部分透水邊界條件求得待定系數(shù)C1、C2、C5、C6的具體表達(dá)式。

在襯砌內(nèi)邊界處(η=1)襯砌徑向應(yīng)力等于內(nèi)水壓力值

襯砌和土體接觸面處應(yīng)力和位移協(xié)調(diào)，

由此，利用邊界條件式(9)、(14)、(15)代入式(11)、(12)和式(1)～(5)可得 C1、C2、C5、C6的表達(dá)式。至此，可得飽和黏彈性土-多孔彈性性襯砌系統(tǒng)的動力響應(yīng)解。

4 算例分析及討論

考察了分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)α、材料參數(shù)比Tσ/Tε、襯砌厚度ξ、應(yīng)力系數(shù)δ以及相對滲透系數(shù)κ對徑向位移U=(［Re(USη)］2+ ［Im(USη)］2)1/2和孔隙水壓力幅值P= ［μS(［Re(P)］2+［Im(P)］2)1/2］/μL的影響。據(jù)文獻(xiàn)［11，13］參數(shù)取值:

圖2和圖3分別表示在η=1.5處襯砌為多孔柔性和彈性條件下階數(shù)α變化對位移幅值U 和孔壓幅值P 的影響。圖2可見，隨著階數(shù)α的增加，位移幅值的峰值逐漸減小，而系統(tǒng)共振效應(yīng)的基頻逐漸增大。當(dāng)階數(shù)α=0和α=1時，分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)模型分別退化為經(jīng)典彈性和經(jīng)典黏彈性本構(gòu)模型，顯然，經(jīng)典彈性飽和土(α=0)時，位移峰值達(dá)到最大值，而經(jīng)典黏彈性飽和土(α=1)時，位移峰值為最小值。另外，由于襯砌為彈性材料條件下的剛度遠(yuǎn)大于柔性條件的剛度，故位移峰值要小。由圖3可見，由于孔隙水承擔(dān)了部分內(nèi)水壓力，故在靜止內(nèi)水壓力作用下孔壓幅值P 不為零。多孔彈性襯砌材料條件下系統(tǒng)動力響應(yīng)產(chǎn)生的孔壓幅值P 的峰值反而比柔性襯砌材料時孔壓峰值要大。

圖2 階數(shù)對徑向位移幅值的影響Fig.2 Influence of order on radial displacement amplitude

圖3 階數(shù)對孔隙水壓力幅值的影響Fig.3 Influence of order on pore water pressure amplitude

圖4和圖5分別表示在η=1.5處材料參數(shù)比Tσ/Tε改變時，位移幅值U 和孔壓幅值P 隨頻率λ的變化曲線。可見，隨著材料參數(shù)比Tσ/Tε的增加，位移幅值U 和孔壓幅值P 都會減小。這是因為土體的阻抗變大引起的。柔性襯砌條件下系統(tǒng)位移幅值U 的峰值比彈性襯砌條件下系統(tǒng)位移峰值要大，而孔壓幅值P 反而要小。

圖4 材料參數(shù)比對徑向位移幅值的影響Fig.4 Influence of material parameter on radial displacement amplitude

圖5 材料參數(shù)比對孔隙水壓力幅值的影響Fig.5 Influence of material parameter on pore water pressure amplitude

圖6和圖7分別表示襯砌厚度d對位移幅值U 和孔壓幅值P 的影響?？梢?，隨著襯砌厚度d的增加，系統(tǒng)響應(yīng)的基頻逐漸增大，這是由于襯砌的剛度增大引起的。顯然，襯砌厚度d增加時，位移幅值U 的峰值逐漸減小，而孔壓幅值P 的峰值卻隨之增加。

圖6 襯砌厚度對徑向位移幅值的影響Fig.6 Influence of lining thickness on radial displacement amplitude

圖7 襯砌厚度對孔隙水壓力幅值的影響Fig.7 Influence of lining thickness on pore water pressure amplitude

圖8和圖9分別為應(yīng)力系數(shù)δ對位移幅值U 和孔壓幅值P 的影響。圖8可見，應(yīng)力系數(shù)δ改變時，系統(tǒng)響應(yīng)的基頻基本不變。多孔彈性襯砌材料時系統(tǒng)的基頻明顯比柔性襯砌材料時的基頻要大。隨著應(yīng)力系數(shù)δ增加，系統(tǒng)響應(yīng)幅值逐漸增大。說明當(dāng)應(yīng)力系數(shù)越接近1時，襯砌承擔(dān)的內(nèi)水壓力值越大，當(dāng)應(yīng)力系數(shù)越接近0時，孔隙水承擔(dān)的內(nèi)水壓力值越大。

圖8 應(yīng)力系數(shù)對徑向位移幅值的影響Fig.8 Influence of stress coefficient on radial displacement amplitude

圖9 應(yīng)力系數(shù)對孔隙水壓力幅值的影響Fig.9 Influence of stress coefficient on pore water pressure amplitude

圖10 相對滲透系數(shù)對徑向位移幅值的影響Fig.10 Influence of relative permeability coefficient on radial displacement amplitude

圖11 相對滲透系數(shù)對孔隙水壓力幅值的影響Fig.11 Influence of relative permeability coefficient on pore water pressure amplitude

5 結(jié)語

采用多孔介質(zhì)理論，將土體和襯砌視為具有分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型本構(gòu)關(guān)系的黏彈性體和多孔柔性/彈性材料，在頻域內(nèi)得到了內(nèi)水壓力作用下飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型黏彈性土-隧洞襯砌系統(tǒng)的動力響應(yīng)。得出如下結(jié)論:

1)飽和分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型黏彈土-隧洞襯砌系統(tǒng)的動力響應(yīng)與飽和彈性土/經(jīng)典黏彈性土-隧洞襯砌系統(tǒng)的動力響應(yīng)存在很大差異。隨著分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)的增加，系統(tǒng)共振效應(yīng)明顯減弱，而基頻反而增大。

2)隨著材料參數(shù)比的增加，系統(tǒng)響應(yīng)減小。

3)當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生共振時，多孔柔性襯砌材料條件下系統(tǒng)的動力響應(yīng)明顯大于彈性襯砌材料條件下系統(tǒng)的動力響應(yīng)。

4)應(yīng)力系數(shù)合理地確定了孔隙水和襯砌分別承擔(dān)的內(nèi)水壓力值。改變應(yīng)力系數(shù)的值對系統(tǒng)共振效應(yīng)的基頻影響不明顯，而對共振效應(yīng)的強(qiáng)弱程度有明顯影響。

5)襯砌和土體的相對滲透系數(shù)對系統(tǒng)動力響應(yīng)的影響很大。襯砌邊界透水和不透水只是反映邊界滲透性的兩種極限狀態(tài)。

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