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      求解二維半線性微分方程多解問題的間斷Galerkin有限元方法*

      2014-10-10 07:32:56
      關(guān)鍵詞:農(nóng)業(yè)大學(xué)插值線性

      楊 婧

      (湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410128)

      求解二維半線性微分方程多解問題的間斷Galerkin有限元方法*

      楊 婧

      (湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410128)

      結(jié)合間斷Galerkin有限元和插值系數(shù)有限元方法計(jì)算二維半線性多解問題,并通過數(shù)值例子證實(shí)了方法的有效性.

      半線性微分方程;多解;間斷Galerkin有限元;插值系數(shù)有限元

      在科學(xué)和工程計(jì)算中半線性微分方程非常常見,它們往往有多個(gè)甚至無窮多個(gè)解.對(duì)于這些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的解,尤其是非穩(wěn)定解,用數(shù)值方法進(jìn)行求解,是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的重要課題.陳傳淼等[1]提出了一種用于計(jì)算多解的搜索延拓法,理論上能計(jì)算出任意高M(jìn)orse指標(biāo)的解,但實(shí)際上,當(dāng)Morse指標(biāo)很大時(shí),解的圖形中含有很多陡峭的峰,數(shù)值解容易振蕩.

      近三十年來,在橢圓方程、對(duì)流擴(kuò)散方程、Hamilton方程、Maxwell方程等問題上取得卓越成效的間斷有限元方法[2,3],在解決含有振蕩現(xiàn)象的問題中發(fā)揮著巨大的作用.間斷有限元方法既能保持傳統(tǒng)有限元方法的優(yōu)勢(shì),又能克服其不適于間斷問題的缺點(diǎn),對(duì)于求解含邊界峰和內(nèi)部峰的解是一個(gè)有效的方法[4],所以本文結(jié)合插值系數(shù)有限元,采用間斷有限元方法計(jì)算半線性微分方程多解問題.

      1 半線性橢圓問題的間斷有限元

      我們?cè)趨^(qū)域Ω=(0,π)×(0,π)上討論以下Dirichlet問題

      令q=▽u,可將方程(1)改寫為

      取試探函數(shù)v∈L2(Ω),r∈L2(Ω)2,分別與方程(2)中的前兩個(gè)方程相乘,然后在每個(gè)單元上進(jìn)行分部積分,可得(2)的弱解形式

      其中nk是邊界上的外法向向量.

      記s(k)為對(duì)Ω剖分成的矩形網(wǎng)格T上的雙線性分片多項(xiàng)式空間,定義有限元空間MN={q∈L2(Ω)2:q|k∈s(k)2,?k∈T},VN={u∈L2(Ω):u|k∈s(k),?k∈T},則有限元解qN∈MN,uN∈VN滿足弱解形式,且對(duì)任意的v∈VN,r∈MN有其中G為五對(duì)角塊陣,D為對(duì)角塊陣,U為未知向量.

      2 數(shù)值例子

      我們用前面敘述的間斷有限元和插值系數(shù)有限元方法實(shí)際計(jì)算半線性問題(1),最終轉(zhuǎn)化為用牛頓法求解一個(gè)非線性方程組(5),故有必要討論初值的選取.

      圖1 λ11對(duì)應(yīng)的解,N=32

      圖2 λ22對(duì)應(yīng)的解,N=32

      圖3 λ12對(duì)應(yīng)的解,N=32

      圖4 λ21對(duì)應(yīng)的解,N=32

      從圖中可以看出,間斷有限元處理多解問題仍能體現(xiàn)出它的優(yōu)點(diǎn),它所計(jì)算出來的解沒有任何振蕩.但間斷有限元的缺點(diǎn)是計(jì)算量偏大,故可以考慮采用并行算法進(jìn)行運(yùn)算.

      [1]陳傳淼,謝資清.非線性微分方程多解計(jì)算的搜索延拓法[M].北京:科學(xué)出版社,2005.

      [2]Cockburn B,Shu C.The local discontinuous Galerkin method for time-dependent convection-diffusion systems[J].SIAM Journal on Numerical Analysis,1998,(6):2440-2463.

      [3]張作政.對(duì)流擴(kuò)散方程間斷有限元方法的后驗(yàn)誤差估計(jì)指[J].長(zhǎng)沙大學(xué)學(xué)報(bào),2012,(2):1-2.

      [4]Xie Z,Zhang Z,Zhang Z.A numerical study of uniformsuperconvergence of LDGmethod for solving singularly perturbed problems[J]. Journal of Computational Mathematics,2009,(2-3):280-289.

      [5]Xie Z,Chen C.The interpolated coefficient FEM and its application in computing the multiple solutions of semilinear elliptic problems[J].International Journal of Numerical Analysis and Modeling,2005,(1):97-106.

      (責(zé)任編校:晴川)

      The DG M ethod for Solving M ultip le Solutions of Two-dimensional Sem ilinear Differential Equations

      YANG Jing
      (College of Science,Hunan Agricultural University,Changsha Hunan 410128,China)

      In this paper,discontinuous Galerkin finite elementmethod and interpolated coefficient finite elementmethod are combined to solve two-dimensional semilinear problem with multiple solutions.Numerical results are presented to show the efficiency of the method.

      semilinear differential equation;mutiple solutions;DGFEM;ICFEM

      O241.81

      A

      1008-4681(2014)05-0001-02

      2014-07-09

      湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)青年科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):12QN28)資助項(xiàng)目.

      楊婧(1982-),女,湖南長(zhǎng)沙人,湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院講師,碩士.研究方向:微分方程數(shù)值解.

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