妙用類比推理

羅冰

加拿大外交官切斯特·朗寧，出生于湖北襄陽，是喝中國人的奶水長大的。他競選省議員時，反對派多次詆毀他說：“你是喝中國人的奶水長大的，你身上一定有中國人的血統(tǒng)。”朗寧坦然地駁斥道：“你們也喝過牛奶，是不是說你們身上一定也有牛的血統(tǒng)呢？”朗寧的話音一落，聽眾立即報以熱烈的掌聲。朗寧在這次競選中大獲全勝，如愿以償?shù)禺?dāng)上了省議會議員。

在上面的故事中，朗寧由反動派的“喝中國人的奶水長大就有中國人的血統(tǒng)”推理到“喝牛奶長大就有牛的血統(tǒng)”，成功地駁斥了反對派，用的就是一種類比推理的方法。

這種“把類似問題進(jìn)行比較、聯(lián)想，由一個數(shù)學(xué)對象已知的性質(zhì)遷移到另一個數(shù)學(xué)對象上去，從而獲得另一個數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)”的思維方法就是類比推理。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要注意運用類比推理的方法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，在教學(xué)過程中注意把新知識與記憶中結(jié)構(gòu)相類似的舊知識聯(lián)系起來。通過類比推理，從已知對象具有的某種性質(zhì)推出未知對象具有的相應(yīng)性質(zhì)，從而尋找解決問題的途徑。下面僅從類比推理在數(shù)學(xué)概念和解題教學(xué)中的應(yīng)用兩個方面進(jìn)行說明。

一、在概念教學(xué)中巧妙運用類比推理。在教學(xué)中，教師采用類比推理的方法引進(jìn)新的數(shù)學(xué)概念有助于激發(fā)學(xué)生的思維，提高學(xué)生的參與意識，因為學(xué)生一旦發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)概念與過去所學(xué)的概念相似，他們會積極主動地推測新概念與舊概念的相似之處，這也是培養(yǎng)學(xué)生探索能力的有效途徑之一，同時也有效地加強了師生之間的互動。

例如，在學(xué)習(xí)角的內(nèi)容時，學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)線段的知識，由于線段與角在許多方面有相同或相似之處（如線段有大小，可以度量長度，可以比較長短），在教學(xué)中我先設(shè)計一些與線段有關(guān)的題目，讓學(xué)生通過類比推理認(rèn)識到線段與角之間的區(qū)別與聯(lián)系，這樣在后續(xù)知識的學(xué)習(xí)中，他們自然由線段的性質(zhì)聯(lián)想出角的類似性質(zhì)。如此，由舊知識類比推理出新知識的性質(zhì)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使他們敢于猜想，善于挖掘，大膽證實，學(xué)生獲得的知識遠(yuǎn)比教師的講授記憶深刻。當(dāng)然，我們還可以類比分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)分式，類比有理數(shù)學(xué)習(xí)實數(shù)，類比全等三角形學(xué)習(xí)相似三角形，類比同類項學(xué)習(xí)二次根式等。

二、在應(yīng)用題教學(xué)中巧妙引入類比推理。解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。在解題教學(xué)中，教師可運用類比的方法，挖掘教材的潛力，培養(yǎng)學(xué)生的類比能力。在選擇試題、編擬試題等方面有意識地設(shè)計一些可以運用類比方法解決的問題，強化學(xué)生對類比方法的應(yīng)用。

例如，在教學(xué)“實際問題與一元一次方程”時，教師可以出示有一定挑戰(zhàn)性的問題：

問題1：李老師為學(xué)生去買書，他帶的錢正好可買15本語文書或24本數(shù)學(xué)書，如果李老師買了10本語文書后，剩下的錢全部買數(shù)學(xué)書，可以買幾本？

這道題有一定的難度，難點在于，已知條件里沒有告訴李老師的總錢數(shù)，因而也就無法知道每本語文書和數(shù)學(xué)書的價格，不少同學(xué)因此解題“卡殼”。

這時，教師適時引入類比題目，換一種方法對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)。如：

問題2：有一項工作，甲單獨完成要10小時，乙單獨要15小時完成?，F(xiàn)在甲先單獨做2小時，剩下的工作由乙單獨完成，那么乙還需要多長時間才能完成這項工作？

一些思維敏捷的學(xué)生稍加思索，馬上就知道這道題的出題意圖，但仍有一部分學(xué)生不知道這兩道題之間有什么聯(lián)系。這時，可向?qū)W生拋出如下問題：問題1中的總錢數(shù)是多少？問題2中的總工作量是多少？能否把問題1中的總錢數(shù)理解為總工作量？如果可以的話，那么問題1中的“帶的錢可買15本語文書或24本數(shù)學(xué)書”可以怎樣理解？

經(jīng)過這樣的提示，一些學(xué)生通過類比推理，馬上領(lǐng)悟出可以把問題1理解成這樣一道工程問題：

一項工作，甲做15小時完成，乙做24小時完成，現(xiàn)在甲做10小時后，再由乙接著做，還需多長時間才能完成？

這樣思考求解，就簡單多了。

在數(shù)學(xué)解題過程中，當(dāng)我們的思維受阻時，運用類比的方法，將已學(xué)的知識或已掌握的解題方法遷移過來，把這些類似進(jìn)行比較并加以聯(lián)想，往往能實現(xiàn)知識的正遷移，從而“出奇制勝”。

責(zé)任編輯 嚴(yán) 芳