利用二階導(dǎo)數(shù)構(gòu)造的數(shù)值積分公式

陳亞婷，冀德剛，賈鸝，張雅靜

（河北農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院，河北保定 071001）

在工業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)踐中，常常需要計(jì)算大量的積分問題.有些數(shù)值方法，如微分方程和積分方程的求解，也都和積分計(jì)算相聯(lián)系.依據(jù)微積分基本定理，對(duì)于積分只要找到被積函數(shù)f（x）的原函數(shù)F（x），便可利用牛頓－萊布尼茨公式但實(shí)際使用這種求積方法往往有困難，因?yàn)榇罅康谋环e函數(shù)，其原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，故不能用上述公式計(jì)算；有些函數(shù)，即使能求得原函數(shù)的積分有時(shí)計(jì)算也是十分困難.另外，當(dāng)f（x）是由測(cè)量或數(shù)值計(jì)算給出的一張數(shù)據(jù)表，牛頓－萊布尼茨公式也不能直接應(yīng)用.因此有必要研究積分的數(shù)值計(jì)算方法［1－3］.

本文在文獻(xiàn)［4－11］基礎(chǔ)上，利用二階導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造了一種新的具有7次代數(shù)精度的數(shù)值積分公式，并給出了其復(fù)合公式和加速公式，對(duì)于每個(gè)公式也進(jìn)行了余項(xiàng)研究和誤差分析，最后通過幾個(gè)典型的例子驗(yàn)證本文得到的公式的有效性.

1 構(gòu)造公式

首先假定被積函數(shù)f（x）在積分區(qū)間［a，b］上足夠光滑，并且其在［a，b］上每一點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)都可求得.

在積分區(qū)間［a，b］上取其中點(diǎn)設(shè)已知被積函數(shù)f（x）在點(diǎn)上函數(shù)值f（b）和二階導(dǎo)數(shù)值構(gòu)造如下的求積公式：

現(xiàn)需確定公式（1）的待定參數(shù)Ai，Bi（i＝0，1，2），使求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度.令求積公式對(duì)f（x）＝1，x，x2，…，x6精確成立，可解得

于是可得到求積公式

令f（x）＝x7，該公式也精確成立，但是f（x）＝x8時(shí)該公式不精確成立，因此該求積公式具有7次代數(shù)精度.

根據(jù)廣義皮亞諾定理，經(jīng)計(jì)算得余項(xiàng)

2 復(fù)合公式及其加速

將積分區(qū)間［a，b］分成2n等分，記節(jié)點(diǎn)x＝a＋ih，i＝0，1，2，…，2n，其中在每個(gè)小區(qū)間

i

1［x2i－2，x2i］（i＝1，2，…，n）上應(yīng)用公式（2）得

把式（4）整理即可得如下形式：

綜上知，當(dāng)n→∞時(shí)，式（4）右端In收斂于積分即復(fù)合公式（4）收斂.假設(shè)f（x）∈C［8］［a，b］，則復(fù)合求積公式的余項(xiàng)為

然后將積分區(qū)間［a，b］分成4n等分，記節(jié)點(diǎn)xi＝a＋ih1，（i＝0，1，2，…，2n）及＝，（i＝1，2，…，2n）.在每個(gè)小區(qū)間［x，x］和［x，x］（i＝1，2，…，n）上應(yīng)用公式（2）得2i－22i－12i－12i

其余項(xiàng)

由假設(shè)f（x）∈C［8］［a，b］，并假定當(dāng)n充分大時(shí)則有即I≈這里I表示真值.

記

則是比In和I2n更好的接近于I的近似值.其余項(xiàng)為

對(duì)于上述余項(xiàng)的估計(jì)，有如下定理.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

已知真值I＝0.946 083 070 367 18，

本文公式（2）：近似值為0.946 083 069 878 380，誤差為4.888 000 004 754 645×10－10.

本文公式（4）：n＝2時(shí)，近似值為0.946 083 070 365 313，誤差為1.869 542 824 855 863 0×10－12.

n＝4時(shí)，近似值為0.946 083 070 367 176，誤差為7.143 701 047 162 956 5×10－15.

n＝8時(shí)，近似值為0.946 083 070 367 183，誤差為7.274 861 290 056 10×10－17.

本文公式（6）：n＝2時(shí)

可見，如果保留到小數(shù)點(diǎn)后15位，該結(jié)果可以作為精確值的很好的近似.尤其對(duì)式（6），只需用n＝2情形計(jì)算即可達(dá)到很高的精度，計(jì)算量也較小.

已知真值I＝0.785 398 163 397 448，

本文公式（2）：近似值為0.785 439 682 539 683，誤差為4.151 914 223 435×10－5.

本文公式（4）：n＝2時(shí)，近似值為0.785 398 258 555 694，誤差為9.515 824 614 106 20×10－8.

n＝4時(shí)，近似值為0.785 398 163 395 992，誤差為1.456 088 112 965 87×10－12.

n＝8時(shí)，近似值為0.785 398 163 397 447，誤差為3.330 669 073 875 470×10－16.

4 結(jié)論

通過上面的數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明：在計(jì)算數(shù)值積分時(shí)，本文構(gòu)造的數(shù)值積分公式能很好地作為積分值的近似，而且精確程度較高.同時(shí)，所得到的積分公式還易于編程.本文的優(yōu)點(diǎn)在于利用了較少的條件構(gòu)造了一個(gè)高次代數(shù)精度的數(shù)值積分公式，由此用較少的計(jì)算量就可以達(dá)到精度的要求，因而在實(shí)際計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用.

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