力的分解與求作三角形

王子洲

眾所周知，力的合成與分解遵循平行四邊形定則，并由此衍生出三角形法則。即：

1力的三角形法則

兩個分力及其合力組成三角形的三條邊。兩個分力首尾相接。從起點直接到終點的有向線段表示合力的大小和方向。如圖示：

既然兩個分力與合力恰好組成三角形，那么我們可以把力的分解問題看成是求作三角形的問題。

2 幾何中確定三角形的條件

至少知道三個量，且三個量中至少有一個是邊。我們在初中幾何中學過，三角形有六個要素，即三個角和三條邊。要作一個三角形，至少要知道三個要素，且三個要素中至少有一個是邊。 例如：已知三角形的兩邊及其夾角，我們就可以根據(jù)“邊角邊判定定理”判定能且僅能作一個三角形。又如：已知三角形的一條邊及兩個角，我們就可以根據(jù)“角邊角判定定理” 判定能且僅能作一個三角形。

3 力的矢量三角形與幾何中三角形邊和角的對應(yīng)關(guān)系

我們先明白兩個基本知識：①力的大小對應(yīng)三角形的邊長，即知道一個力的大小就知道三角形的一條邊。②兩個力的方向確定三角形的一個角。即：在兩個分力及其合力三個量中，知道任兩個力的方向就相當于知道了該兩個力的夾角。

4 求分力的解法

由于兩個分力及其合力組成三角形，所以在求一個力的分力時,一般地，能作幾個三角形就有幾種分解方法。下面我們舉例來說明一下。

例1：已知一個力F及其一個分力F1求另一個分力F2。問有幾種分解方法（有幾個解）？分析：題中給的條件是知道合力F及F1就相當于知道了F、F1的大小和方向。即知道了三角形的兩條邊F、F1，同時由于也知道他們的方向。故又給出了三角形該兩邊的夾角。根據(jù)“邊角邊全等定理〈SAS〉”知由題中所給的條件可得到一個固定的三角形。故分解方法僅有一種即F2僅有一解。如圖一。

例2：已知力F及其兩個分力的方向。求兩個分力。分析：已知力F就同時知其大小和方向。不難看出本題設(shè)給出了的矢量三角形的一條邊和三個角。由全等定理ASA或推論AAS可知能且僅能作出一個三角形。故本題僅有一種分解方法。如圖二。

圖一 圖二

例3：已知力F及兩個分力的大小，求兩個分力。分析：從題設(shè)可以看出本題給了三角形的三條邊。由SSS知，能且僅能作出一個三角形。但考慮到三角形的矢量性，我們將兩個分力F1、F2的方向交換一下便又得一個三角形。在幾何上兩個三角形全等。但考慮到矢量性，我們知道是兩種解法。故本題有兩解。如圖：

從上面的例子我們可以看出，把力的分解轉(zhuǎn)化成求作三角形的問題，可以把一些問題簡單化、明了化。使問題的思路清晰可見，起到化繁為簡，化抽象為具體，化難為易的作用。我們再看下面的例子：

例4 已知力F及一個分力F1的方向和另一個分力F2大小，問有幾種分解方法。分析：本題等于給了三角形的兩邊和其中一條邊的對角。不滿足“角角邊”所以能作幾個三角形并不固定。我們先畫出力F和力F1的夾角，設(shè)它們的夾角為θ如圖示：由幾何知，

（1）若 F2=F·Sinθ時，恰能作一個三角形。故只有一解。如圖示：

（2）若F>F2≥F·Sinθ時，可作兩個三角形，故有兩個解。如圖示：

（3）若 F2≥F時，只能作一個三角形。故只有一解。如圖示

（4）若 F2≤F·Sinθ時，不能作三角形。故無解。圖略

小結(jié)：綜上所述，由于兩個分力與合力恰好組成三角形，我們可以把力的分解問題轉(zhuǎn)變?yōu)槌踔袔缀沃械娜切螁栴}，使問題更簡單化。力的分解問題其實就是作三角形和解三角形的問題。一般地，根據(jù)題中條件，能作幾個三角形就能有幾種分解方法。但我們還要根據(jù)幾何中的純線段三角形與力的矢量三角形的不同而具體情況具體區(qū)別。

注意：本節(jié)所講的規(guī)律只適用于不在一條直線上的力的分解。同一條直線上的力的分解由于不能組成三角形故不適用于本規(guī)律。

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眾所周知，力的合成與分解遵循平行四邊形定則，并由此衍生出三角形法則。即：

1力的三角形法則

兩個分力及其合力組成三角形的三條邊。兩個分力首尾相接。從起點直接到終點的有向線段表示合力的大小和方向。如圖示：

既然兩個分力與合力恰好組成三角形，那么我們可以把力的分解問題看成是求作三角形的問題。

2 幾何中確定三角形的條件

至少知道三個量，且三個量中至少有一個是邊。我們在初中幾何中學過，三角形有六個要素，即三個角和三條邊。要作一個三角形，至少要知道三個要素，且三個要素中至少有一個是邊。 例如：已知三角形的兩邊及其夾角，我們就可以根據(jù)“邊角邊判定定理”判定能且僅能作一個三角形。又如：已知三角形的一條邊及兩個角，我們就可以根據(jù)“角邊角判定定理” 判定能且僅能作一個三角形。

3 力的矢量三角形與幾何中三角形邊和角的對應(yīng)關(guān)系

我們先明白兩個基本知識：①力的大小對應(yīng)三角形的邊長，即知道一個力的大小就知道三角形的一條邊。②兩個力的方向確定三角形的一個角。即：在兩個分力及其合力三個量中，知道任兩個力的方向就相當于知道了該兩個力的夾角。

4 求分力的解法

由于兩個分力及其合力組成三角形，所以在求一個力的分力時,一般地，能作幾個三角形就有幾種分解方法。下面我們舉例來說明一下。

例1：已知一個力F及其一個分力F1求另一個分力F2。問有幾種分解方法（有幾個解）？分析：題中給的條件是知道合力F及F1就相當于知道了F、F1的大小和方向。即知道了三角形的兩條邊F、F1，同時由于也知道他們的方向。故又給出了三角形該兩邊的夾角。根據(jù)“邊角邊全等定理〈SAS〉”知由題中所給的條件可得到一個固定的三角形。故分解方法僅有一種即F2僅有一解。如圖一。

例2：已知力F及其兩個分力的方向。求兩個分力。分析：已知力F就同時知其大小和方向。不難看出本題設(shè)給出了的矢量三角形的一條邊和三個角。由全等定理ASA或推論AAS可知能且僅能作出一個三角形。故本題僅有一種分解方法。如圖二。

圖一 圖二

例3：已知力F及兩個分力的大小，求兩個分力。分析：從題設(shè)可以看出本題給了三角形的三條邊。由SSS知，能且僅能作出一個三角形。但考慮到三角形的矢量性，我們將兩個分力F1、F2的方向交換一下便又得一個三角形。在幾何上兩個三角形全等。但考慮到矢量性，我們知道是兩種解法。故本題有兩解。如圖：

從上面的例子我們可以看出，把力的分解轉(zhuǎn)化成求作三角形的問題，可以把一些問題簡單化、明了化。使問題的思路清晰可見，起到化繁為簡，化抽象為具體，化難為易的作用。我們再看下面的例子：

例4 已知力F及一個分力F1的方向和另一個分力F2大小，問有幾種分解方法。分析：本題等于給了三角形的兩邊和其中一條邊的對角。不滿足“角角邊”所以能作幾個三角形并不固定。我們先畫出力F和力F1的夾角，設(shè)它們的夾角為θ如圖示：由幾何知，

（1）若 F2=F·Sinθ時，恰能作一個三角形。故只有一解。如圖示：

（2）若F>F2≥F·Sinθ時，可作兩個三角形，故有兩個解。如圖示：

（3）若 F2≥F時，只能作一個三角形。故只有一解。如圖示

（4）若 F2≤F·Sinθ時，不能作三角形。故無解。圖略

小結(jié)：綜上所述，由于兩個分力與合力恰好組成三角形，我們可以把力的分解問題轉(zhuǎn)變?yōu)槌踔袔缀沃械娜切螁栴}，使問題更簡單化。力的分解問題其實就是作三角形和解三角形的問題。一般地，根據(jù)題中條件，能作幾個三角形就能有幾種分解方法。但我們還要根據(jù)幾何中的純線段三角形與力的矢量三角形的不同而具體情況具體區(qū)別。

注意：本節(jié)所講的規(guī)律只適用于不在一條直線上的力的分解。同一條直線上的力的分解由于不能組成三角形故不適用于本規(guī)律。

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眾所周知，力的合成與分解遵循平行四邊形定則，并由此衍生出三角形法則。即：

1力的三角形法則

兩個分力及其合力組成三角形的三條邊。兩個分力首尾相接。從起點直接到終點的有向線段表示合力的大小和方向。如圖示：

既然兩個分力與合力恰好組成三角形，那么我們可以把力的分解問題看成是求作三角形的問題。

2 幾何中確定三角形的條件

至少知道三個量，且三個量中至少有一個是邊。我們在初中幾何中學過，三角形有六個要素，即三個角和三條邊。要作一個三角形，至少要知道三個要素，且三個要素中至少有一個是邊。 例如：已知三角形的兩邊及其夾角，我們就可以根據(jù)“邊角邊判定定理”判定能且僅能作一個三角形。又如：已知三角形的一條邊及兩個角，我們就可以根據(jù)“角邊角判定定理” 判定能且僅能作一個三角形。

3 力的矢量三角形與幾何中三角形邊和角的對應(yīng)關(guān)系

我們先明白兩個基本知識：①力的大小對應(yīng)三角形的邊長，即知道一個力的大小就知道三角形的一條邊。②兩個力的方向確定三角形的一個角。即：在兩個分力及其合力三個量中，知道任兩個力的方向就相當于知道了該兩個力的夾角。

4 求分力的解法

由于兩個分力及其合力組成三角形，所以在求一個力的分力時,一般地，能作幾個三角形就有幾種分解方法。下面我們舉例來說明一下。

例1：已知一個力F及其一個分力F1求另一個分力F2。問有幾種分解方法（有幾個解）？分析：題中給的條件是知道合力F及F1就相當于知道了F、F1的大小和方向。即知道了三角形的兩條邊F、F1，同時由于也知道他們的方向。故又給出了三角形該兩邊的夾角。根據(jù)“邊角邊全等定理〈SAS〉”知由題中所給的條件可得到一個固定的三角形。故分解方法僅有一種即F2僅有一解。如圖一。

例2：已知力F及其兩個分力的方向。求兩個分力。分析：已知力F就同時知其大小和方向。不難看出本題設(shè)給出了的矢量三角形的一條邊和三個角。由全等定理ASA或推論AAS可知能且僅能作出一個三角形。故本題僅有一種分解方法。如圖二。

圖一 圖二

例3：已知力F及兩個分力的大小，求兩個分力。分析：從題設(shè)可以看出本題給了三角形的三條邊。由SSS知，能且僅能作出一個三角形。但考慮到三角形的矢量性，我們將兩個分力F1、F2的方向交換一下便又得一個三角形。在幾何上兩個三角形全等。但考慮到矢量性，我們知道是兩種解法。故本題有兩解。如圖：

從上面的例子我們可以看出，把力的分解轉(zhuǎn)化成求作三角形的問題，可以把一些問題簡單化、明了化。使問題的思路清晰可見，起到化繁為簡，化抽象為具體，化難為易的作用。我們再看下面的例子：

例4 已知力F及一個分力F1的方向和另一個分力F2大小，問有幾種分解方法。分析：本題等于給了三角形的兩邊和其中一條邊的對角。不滿足“角角邊”所以能作幾個三角形并不固定。我們先畫出力F和力F1的夾角，設(shè)它們的夾角為θ如圖示：由幾何知，

（1）若 F2=F·Sinθ時，恰能作一個三角形。故只有一解。如圖示：

（2）若F>F2≥F·Sinθ時，可作兩個三角形，故有兩個解。如圖示：

（3）若 F2≥F時，只能作一個三角形。故只有一解。如圖示

（4）若 F2≤F·Sinθ時，不能作三角形。故無解。圖略

小結(jié)：綜上所述，由于兩個分力與合力恰好組成三角形，我們可以把力的分解問題轉(zhuǎn)變?yōu)槌踔袔缀沃械娜切螁栴}，使問題更簡單化。力的分解問題其實就是作三角形和解三角形的問題。一般地，根據(jù)題中條件，能作幾個三角形就能有幾種分解方法。但我們還要根據(jù)幾何中的純線段三角形與力的矢量三角形的不同而具體情況具體區(qū)別。

注意：本節(jié)所講的規(guī)律只適用于不在一條直線上的力的分解。同一條直線上的力的分解由于不能組成三角形故不適用于本規(guī)律。

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