曲徑通幽之“幾何直觀”微探

紀(jì)梅

相較于實驗稿的《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，２０１１版中增加了幾何直觀、運(yùn)算能力、模型思想、創(chuàng)新意識這四個核心詞。這預(yù)示著，對學(xué)生幾何直觀等能力的培養(yǎng)將成為數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的新的關(guān)注點。

課程標(biāo)準(zhǔn)中對“幾何直觀”的解釋是這樣的：“幾何直觀主要是指利用圖形描述來分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變的簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！?/p>

那么，如何在小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀來解決問題的能力呢？我分別從低中高三個年級出發(fā)針對典型的實例進(jìn)行具體闡述。

一、低年級，動起來——讓幾何直觀在孩子心中萌芽

一年級學(xué)生認(rèn)識完左右之后，有這樣一道題目：有一只雁從前面數(shù)，它排在第６，從后面數(shù)，它排在第３，這一行大雁一共有多少只呢？題目以圖畫的形式呈現(xiàn)，學(xué)生拿到這樣的題目往往會感覺很難，這里面既有前后的知識，還有排第３、排第６這樣的序數(shù)的知識，又有一共有多少只這樣的數(shù)量問題。如何讓學(xué)生由看到問題后的束手無策變?yōu)闂l理清晰呢？肯定還得從他們的心理年齡和認(rèn)知特點開始。于是，我說：“我們也來做大雁好不好？”學(xué)生很感興趣，紛紛站出來扮演大雁，教師可以大聲地喊出：一只大雁往前飛，二只大雁往前飛……六只大雁往前飛。然后教師改變指令從后面飛來一只，再飛來一只。這時肯定還有學(xué)生想往前飛，但是有些學(xué)生就會意識到這時候從后面數(shù)已經(jīng)到第三個，應(yīng)喊停。這時，就依據(jù)到底要不要再飛來一只做討論。教師利用手中準(zhǔn)備好的小圓片來擺一擺這一過程。這時候，我們就會發(fā)現(xiàn)學(xué)生能夠很清晰地理解題意，并有條理地將其表達(dá)出來。接下來，出示類似的問題：鴨媽媽領(lǐng)著自己的孩子在池塘里學(xué)游泳，它前面有４只小鴨子，后面有３只，一共有幾只鴨子？這次沒有信息圖，讓學(xué)生自己嘗試進(jìn)行分析，可以用畫圓圈的方法，借助于直觀幾何圖形，跳出了復(fù)雜的推理，使解決此類有難度的問題變得更加簡單明了。

二、中年級，辯起來——讓幾何直觀在孩子心中成長

畫圖是幫助理解概念定理以及解決問題的有效手段，是幾何直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要體現(xiàn)。但在教學(xué)中，往往會出現(xiàn)這樣的問題：１．畫圖的策略是教師直接給出的；２．為完成教學(xué)任務(wù)過于關(guān)注結(jié)果，不注重畫圖策略的獲得和幾何能力的培養(yǎng)。這樣學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性得不到應(yīng)有的重視，導(dǎo)致學(xué)生只掌握了方法，但能力卻無法提高。那么該如何在教學(xué)中，利用畫圖，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力呢？例如，在教學(xué)相遇問題時，小萍和小明同時從家里去棧橋，經(jīng)過６分鐘兩人在棧橋相遇。他們兩家相距多少米？例題通過文字加直觀圖來描述信息，涉及兩地、同時出發(fā)、相向而行、相遇、速度、時間等，信息量大。如何讓學(xué)生真正理解這些信息，讓學(xué)生在文字描述與直觀圖形之間架起一座貫通的橋梁則是行之有效的方法。先讓兩個學(xué)生示范模擬兩人運(yùn)動的情景，共同提煉相遇問題的四個要素（兩地、同時、相對而行、相遇），拋出問題：你們準(zhǔn)備用什么樣的策略整理如此豐富的信息？學(xué)生想到了畫線段圖和列表整理兩種方法，讓學(xué)生自己去討論爭辯到底哪種方法更加合適。學(xué)生在爭辯的過程中，體驗多元信息的表達(dá)方法，初步凸顯幾何圖形的直觀性。然后優(yōu)化出線段圖以后，再看著圖讓學(xué)生思考：這張完整的線段圖反映出了題中所有的信息嗎？依然是讓學(xué)生經(jīng)歷自主探索、討論或者爭論的過程，體會畫線段圖能簡潔明了地描述所有信息，具有較大的實用價值。當(dāng)學(xué)生感受到線段圖能容納題中所有信息時，例題以圖文呈現(xiàn)的內(nèi)容已是多余，這時可設(shè)問：如果去掉題中文字，只留線段圖和表格，你可以解答該題嗎？對于用畫線段圖的策略解決實際問題，一方面學(xué)生要學(xué)會畫線段圖，能夠根據(jù)實際問題的變化靈活畫圖；另一方面，學(xué)生要進(jìn)一步體會線段圖的應(yīng)用價值，它將動態(tài)的空間的過程演繹為靜態(tài)的平面的幾何圖形，讓問題變得更加直觀，可操作性更強(qiáng)。這就是幾何直觀的真正意義與價值所在。

三、高年級，靜下來——讓幾何直觀在孩子心中結(jié)果

小學(xué)高年級階段，前期教學(xué)的扎實訓(xùn)練，使學(xué)生能夠自主把幾何圖形作為解題策略的首選。在“圓柱體積”一課中，就充分體現(xiàn)了幾何直觀與空間想象能力的相互促進(jìn)。對于求圓柱的體積，最難以理解的就是圓柱的展開，因為圓柱是一種含有曲面的幾何體，學(xué)生會將圓展開，那么圓柱如何展開呢？通過觀察、設(shè)疑、猜想、驗證，經(jīng)歷圓柱體積的轉(zhuǎn)化過程，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和空間想象能力。學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)圓柱中含有曲面和圓面的特點，再進(jìn)行設(shè)疑：圓柱體積大小可能與什么有關(guān)？此時學(xué)生在心中回顧以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，進(jìn)行知識遷移，再進(jìn)行大膽的猜想，然后，再讓學(xué)生自主操作學(xué)具，切一切圓柱的實物等操作，讓學(xué)生感受圓柱體可以轉(zhuǎn)化成近似的長方體，再由教師進(jìn)行多媒體演示，更加直觀地展示圓柱的轉(zhuǎn)化過程。這樣既培養(yǎng)了學(xué)生幾何直觀的思維方式，又提高了學(xué)生的觀察能力和動手操作能力。利用幾何直觀來記憶基礎(chǔ)知識，加強(qiáng)對概念、公式等的理解，學(xué)生就能很清楚地把握知識的脈絡(luò)。

以上是針對小學(xué)階段不同學(xué)段談了幾點對幾何直觀的的粗淺思考，但在事實上，對于幾何直觀這個《標(biāo)準(zhǔn)》中新提的名詞，本人也和大多數(shù)數(shù)學(xué)教師一樣，除了文中談及的幾點之外，還有很多的不明之處、疑惑之處。比如幾何直觀與數(shù)形結(jié)合在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，是否是相同的解決問題的手段？培養(yǎng)幾何直觀能力到底有哪些可以借鑒的有效的策略？對幾何直觀等核心概念的不斷思考與摸索仍然存在著無限的探究空間等待著我們?nèi)ヌ剿鳌?/p>

（責(zé)編羅艷）

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