我“錯(cuò)”在哪兒了

邊小明+邊巨星

在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，有一種有趣的現(xiàn)象：學(xué)了后續(xù)的知識(shí)，卻對(duì)先前學(xué)習(xí)的知識(shí)識(shí)記造成了干擾，心理學(xué)中叫做“后攝抑制”。筆者在教學(xué)《商不變性質(zhì)》后的練習(xí)中，就遇上了這種典型的心理現(xiàn)象。

課堂回放：

教師出示練習(xí)：

860÷40=（）……（）

我在學(xué)生中間巡視的時(shí)候，驚奇地發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生是如下列算式的：

稍后我與他們校對(duì)結(jié)果，竟然有一半是這樣做的。

師：現(xiàn)在出現(xiàn)了兩種結(jié)果：21……20和21……2，哪一種是正確的？如何驗(yàn)證？

生：我們可以用除數(shù)乘商，然后加上余數(shù)，看看結(jié)果是不是860。

師：行，請(qǐng)同學(xué)們把自己的結(jié)果驗(yàn)算一下。

生1：驗(yàn)算后21……20是正確的。

生2：按這樣的驗(yàn)算方法，我的結(jié)果（21……2）好像不對(duì)。但是我又對(duì)我的豎式也進(jìn)行了重新驗(yàn)算，21……2也是正確的?。。ㄋ匦聦徱暳俗约旱呢Q式）我錯(cuò)在哪里了呢？

該生一臉的茫然。

師：說說你計(jì)算這道題的過程。

生2：因?yàn)?60÷40這個(gè)算式中，被除數(shù)與除數(shù)都是整百、整十?dāng)?shù)，所以我就分別去掉一個(gè)零后計(jì)算。

師：（適時(shí)介入）你這樣做的理由能說一下嗎？

生2：我是運(yùn)用商不變性質(zhì)，就是被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小10倍，商不變。

師：請(qǐng)繼續(xù)說你的計(jì)算過程。

生2：這樣就變成了86÷4=21……2。我算了好幾遍都是這樣的結(jié)果。

師：我把你的思考過程寫下來，大家一起來交流，問題在哪里？

板書：860÷40=86÷4=21 ……2

觀察并討論：我錯(cuò)在哪里了？

生：（紛紛）第一步到第二步是對(duì)的，第二步到第三步也是對(duì)的，為什么結(jié)果卻是錯(cuò)的呢？真奇怪。（急切地）老師快告訴我們，到底錯(cuò)在哪里了？

師：這里運(yùn)用了商不變性質(zhì)，它告訴我們商不變，有沒有說余數(shù)也不變？

生：沒有。

師：我們學(xué)習(xí)的除法算式中，余數(shù)和誰的關(guān)系密切？

生：和除數(shù)有關(guān)，余數(shù)不能比除數(shù)大。

師：對(duì)，看看從第一步到第二步，雖然是相等的，但是除數(shù)卻？

生：縮小了10倍。

師：是的，對(duì)比一下正確的結(jié)果和這個(gè)算式，大膽猜一下，余數(shù)會(huì)怎么變？

生（思考后）試探著說：也縮小10倍嗎？

師：30÷20與3÷2，對(duì)比一下商與余數(shù)。

生3：商相同，余數(shù)縮小十倍。

生4：哦，我有點(diǎn)明白了，運(yùn)用商不變性質(zhì)計(jì)算有余數(shù)的除法，不變的只是商，余數(shù)是有變化的。

生5：而且余數(shù)的變化倍數(shù)是和除數(shù)、被除數(shù)的變化倍數(shù)相同的。

師：同學(xué)們說的都很好，其實(shí)以后我們就會(huì)知道，這個(gè)算式并沒有“錯(cuò)”。

（略微停頓，學(xué)生都感到很好奇，明明不對(duì)，還說沒有“錯(cuò)”？）

師：我們現(xiàn)在學(xué)到：兩個(gè)數(shù)相除，正好能平均分，得到結(jié)果用整數(shù)表示，如果不能恰好分完，就用余數(shù)表示。以后我們還會(huì)學(xué)到：不能恰好分完的情況，還能用另外的數(shù)表示。

生（個(gè)別學(xué)生）：我知道，可以用小數(shù)和分?jǐn)?shù)。

師：對(duì)，這兩個(gè)結(jié)果其實(shí)可以用同一個(gè)數(shù)來表示，我們以后會(huì)再學(xué)習(xí)。

生：哈，這個(gè)可真有趣，好神奇。

……

860÷40=()……( )，如果在學(xué)習(xí)“商不變性質(zhì)”前讓學(xué)生做，他們會(huì)進(jìn)行正常的計(jì)算多半不會(huì)出現(xiàn)疑惑。而在學(xué)習(xí)了“商不變性質(zhì)”之后，卻產(chǎn)生了有趣而典型的“后攝抑制”現(xiàn)象，形成了學(xué)習(xí)干擾。這種現(xiàn)象是一種邂逅還是不可避免？如何順勢(shì)引導(dǎo)讓學(xué)生解開心中之惑？這可以給我們的教學(xué)以怎樣的啟示？筆者經(jīng)歷了課堂實(shí)踐后有了更深的感受。

一、 “錯(cuò)”可以避免嗎？不妨順?biāo)浦?/p>

心理學(xué)研究表明，后攝抑制作為一種思維活動(dòng)現(xiàn)象，它是學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的一種思維遷移，不可避免。學(xué)習(xí)材料相似性越大，就越容易發(fā)生。所以，當(dāng)學(xué)生熟練掌握了商不變性質(zhì)并運(yùn)用在計(jì)算過程中時(shí)，“因?yàn)?60÷40這個(gè)算式中，被除數(shù)與除數(shù)都是整十?dāng)?shù)，所以我就各去掉一個(gè)零后計(jì)算”，錯(cuò)得順理成章。而且他們對(duì)商不變性質(zhì)的理解程度越高，出錯(cuò)的概率也就越大，這是由于相似學(xué)習(xí)材料中，如果后學(xué)習(xí)材料的掌握程度越牢固，對(duì)先前知識(shí)的干擾就越強(qiáng)。如果明白這一點(diǎn)，教師就能理解學(xué)生錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，而且筆者認(rèn)為教師需要“有意識(shí)”地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由這種負(fù)遷移而產(chǎn)生的錯(cuò)誤?！秾W(xué)記》云“君子知至學(xué)之難易而知其美惡，然后能博喻”。高明的教師應(yīng)該洞察學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，善于制造思維矛盾，挑起學(xué)生的自我認(rèn)知分歧，然后站在一旁欣賞學(xué)生在辨析思考中慢慢邁上前行的路途。這樣的教學(xué)更加有利于學(xué)生分辨學(xué)習(xí)材料的異同，這種錯(cuò)誤更加有助于學(xué)生進(jìn)行自我反思，有助于學(xué)生更好地理解與掌握知識(shí)，從而培養(yǎng)其思維的深刻性。

二、 “講”還是“不講”？理應(yīng)撥云見日

學(xué)生理解等式具有傳遞性，即若A=B,B=C,則A=C。而在此讓他們思考860÷40=86÷4，86÷4=21 ……2，但是860÷40≠21 ……2，這是為什么？學(xué)生能想通嗎？這種情形下教師“講”還是“不講”？若不講，學(xué)生始終會(huì)在“茫然之中”問“我錯(cuò)在哪里了？”以后還會(huì)再次陷入錯(cuò)誤。所以筆者以為理應(yīng)讓學(xué)生對(duì)“錯(cuò)在哪里”有所感悟。那么如何讓學(xué)生以可以理解和接受的方式來進(jìn)行教學(xué)引導(dǎo)呢？經(jīng)驗(yàn)學(xué)的觀點(diǎn)告訴我們，學(xué)生的思考多是按自己的直觀經(jīng)驗(yàn)邏輯，不是按大自然的科學(xué)邏輯。按他們的邏輯與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，引導(dǎo)他們到科學(xué)的大道上來，是我們教師的任務(wù)。鑒于此，在教學(xué)中，筆者從“商不變性質(zhì)，它告訴我們商不變，有沒有說余數(shù)也不變？”入手，引導(dǎo)學(xué)生觀察“被除數(shù)與除數(shù)變化的同時(shí)，余數(shù)如何變化”，引導(dǎo)學(xué)生猜想，驗(yàn)證自己的想象與得出結(jié)論，從而明白“運(yùn)用商不變性質(zhì)計(jì)算有余數(shù)的除法，不變的只是商，余數(shù)是有變化的”，“而且余數(shù)的變化倍數(shù)是和除數(shù)、被除數(shù)的變化倍數(shù)相同的”這樣的數(shù)學(xué)事實(shí)，雖然是淺嘗即止，但是卻讓學(xué)生對(duì)“有余數(shù)的除法不能輕易用商不變性質(zhì)來運(yùn)算”有了深刻的領(lǐng)悟和感受。

三、 如何把握“深度”？可以未雨綢繆

當(dāng)然，出現(xiàn)這種錯(cuò)誤除了“后攝抑制”的影響，還有學(xué)生知識(shí)認(rèn)知層次的局限性。兩個(gè)數(shù)相除當(dāng)出現(xiàn)結(jié)果不是整數(shù)的時(shí)候，在四年級(jí)階段只能以“商……余數(shù)”的形式表示，這是結(jié)果表達(dá)的一種特殊形式。只有當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了“除法與分?jǐn)?shù)”的關(guān)系以及“約分”的知識(shí)后，學(xué)生才會(huì)明白：任何除法計(jì)算都可以用分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)相除的結(jié)果，而這個(gè)結(jié)果雖然表達(dá)的形式會(huì)有所不同，但是其實(shí)質(zhì)是相同的。如把860÷40的結(jié)果表示成，86÷4的結(jié)果表示成，形異而質(zhì)同。但這個(gè)道理若讓四年級(jí)學(xué)生有深刻的理解，顯然力所不逮。所以筆者選擇“其實(shí)以后我們就會(huì)知道，這個(gè)算式并沒有‘錯(cuò)”。從而激起學(xué)生的好奇心與興趣，而后指明“我們現(xiàn)在學(xué)到：兩個(gè)數(shù)相除，正好能平均分，得到結(jié)果用整數(shù)表示，如果不能恰好分完，就用余數(shù)表示。以后我們還會(huì)學(xué)到：不能恰好分完的情況，還能用另外的數(shù)表示?！奔纫龑?dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的奇特魅力又未雨綢繆地為學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí)做了有力的鋪墊。

其實(shí)，只要教師對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤有清醒的認(rèn)識(shí)，并能加以科學(xué)引導(dǎo)，這種經(jīng)歷何嘗不是幫助他們積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和發(fā)展數(shù)學(xué)思考的一種途徑呢？

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】

在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，有一種有趣的現(xiàn)象：學(xué)了后續(xù)的知識(shí)，卻對(duì)先前學(xué)習(xí)的知識(shí)識(shí)記造成了干擾，心理學(xué)中叫做“后攝抑制”。筆者在教學(xué)《商不變性質(zhì)》后的練習(xí)中，就遇上了這種典型的心理現(xiàn)象。

課堂回放：

教師出示練習(xí)：

860÷40=（）……（）

我在學(xué)生中間巡視的時(shí)候，驚奇地發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生是如下列算式的：

稍后我與他們校對(duì)結(jié)果，竟然有一半是這樣做的。

師：現(xiàn)在出現(xiàn)了兩種結(jié)果：21……20和21……2，哪一種是正確的？如何驗(yàn)證？

生：我們可以用除數(shù)乘商，然后加上余數(shù)，看看結(jié)果是不是860。

師：行，請(qǐng)同學(xué)們把自己的結(jié)果驗(yàn)算一下。

生1：驗(yàn)算后21……20是正確的。

生2：按這樣的驗(yàn)算方法，我的結(jié)果（21……2）好像不對(duì)。但是我又對(duì)我的豎式也進(jìn)行了重新驗(yàn)算，21……2也是正確的啊?。ㄋ匦聦徱暳俗约旱呢Q式）我錯(cuò)在哪里了呢？

該生一臉的茫然。

師：說說你計(jì)算這道題的過程。

生2：因?yàn)?60÷40這個(gè)算式中，被除數(shù)與除數(shù)都是整百、整十?dāng)?shù)，所以我就分別去掉一個(gè)零后計(jì)算。

師：（適時(shí)介入）你這樣做的理由能說一下嗎？

生2：我是運(yùn)用商不變性質(zhì)，就是被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小10倍，商不變。

師：請(qǐng)繼續(xù)說你的計(jì)算過程。

生2：這樣就變成了86÷4=21……2。我算了好幾遍都是這樣的結(jié)果。

師：我把你的思考過程寫下來，大家一起來交流，問題在哪里？

板書：860÷40=86÷4=21 ……2

觀察并討論：我錯(cuò)在哪里了？

生：（紛紛）第一步到第二步是對(duì)的，第二步到第三步也是對(duì)的，為什么結(jié)果卻是錯(cuò)的呢？真奇怪。（急切地）老師快告訴我們，到底錯(cuò)在哪里了？

師：這里運(yùn)用了商不變性質(zhì)，它告訴我們商不變，有沒有說余數(shù)也不變？

生：沒有。

師：我們學(xué)習(xí)的除法算式中，余數(shù)和誰的關(guān)系密切？

生：和除數(shù)有關(guān)，余數(shù)不能比除數(shù)大。

師：對(duì)，看看從第一步到第二步，雖然是相等的，但是除數(shù)卻？

生：縮小了10倍。

師：是的，對(duì)比一下正確的結(jié)果和這個(gè)算式，大膽猜一下，余數(shù)會(huì)怎么變？

生（思考后）試探著說：也縮小10倍嗎？

師：30÷20與3÷2，對(duì)比一下商與余數(shù)。

生3：商相同，余數(shù)縮小十倍。

生4：哦，我有點(diǎn)明白了，運(yùn)用商不變性質(zhì)計(jì)算有余數(shù)的除法，不變的只是商，余數(shù)是有變化的。

生5：而且余數(shù)的變化倍數(shù)是和除數(shù)、被除數(shù)的變化倍數(shù)相同的。

師：同學(xué)們說的都很好，其實(shí)以后我們就會(huì)知道，這個(gè)算式并沒有“錯(cuò)”。

（略微停頓，學(xué)生都感到很好奇，明明不對(duì)，還說沒有“錯(cuò)”？）

師：我們現(xiàn)在學(xué)到：兩個(gè)數(shù)相除，正好能平均分，得到結(jié)果用整數(shù)表示，如果不能恰好分完，就用余數(shù)表示。以后我們還會(huì)學(xué)到：不能恰好分完的情況，還能用另外的數(shù)表示。

生（個(gè)別學(xué)生）：我知道，可以用小數(shù)和分?jǐn)?shù)。

師：對(duì)，這兩個(gè)結(jié)果其實(shí)可以用同一個(gè)數(shù)來表示，我們以后會(huì)再學(xué)習(xí)。

生：哈，這個(gè)可真有趣，好神奇。

……

860÷40=()……( )，如果在學(xué)習(xí)“商不變性質(zhì)”前讓學(xué)生做，他們會(huì)進(jìn)行正常的計(jì)算多半不會(huì)出現(xiàn)疑惑。而在學(xué)習(xí)了“商不變性質(zhì)”之后，卻產(chǎn)生了有趣而典型的“后攝抑制”現(xiàn)象，形成了學(xué)習(xí)干擾。這種現(xiàn)象是一種邂逅還是不可避免？如何順勢(shì)引導(dǎo)讓學(xué)生解開心中之惑？這可以給我們的教學(xué)以怎樣的啟示？筆者經(jīng)歷了課堂實(shí)踐后有了更深的感受。

一、 “錯(cuò)”可以避免嗎？不妨順?biāo)浦?/p>

心理學(xué)研究表明，后攝抑制作為一種思維活動(dòng)現(xiàn)象，它是學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的一種思維遷移，不可避免。學(xué)習(xí)材料相似性越大，就越容易發(fā)生。所以，當(dāng)學(xué)生熟練掌握了商不變性質(zhì)并運(yùn)用在計(jì)算過程中時(shí)，“因?yàn)?60÷40這個(gè)算式中，被除數(shù)與除數(shù)都是整十?dāng)?shù)，所以我就各去掉一個(gè)零后計(jì)算”，錯(cuò)得順理成章。而且他們對(duì)商不變性質(zhì)的理解程度越高，出錯(cuò)的概率也就越大，這是由于相似學(xué)習(xí)材料中，如果后學(xué)習(xí)材料的掌握程度越牢固，對(duì)先前知識(shí)的干擾就越強(qiáng)。如果明白這一點(diǎn)，教師就能理解學(xué)生錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，而且筆者認(rèn)為教師需要“有意識(shí)”地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由這種負(fù)遷移而產(chǎn)生的錯(cuò)誤。《學(xué)記》云“君子知至學(xué)之難易而知其美惡，然后能博喻”。高明的教師應(yīng)該洞察學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，善于制造思維矛盾，挑起學(xué)生的自我認(rèn)知分歧，然后站在一旁欣賞學(xué)生在辨析思考中慢慢邁上前行的路途。這樣的教學(xué)更加有利于學(xué)生分辨學(xué)習(xí)材料的異同，這種錯(cuò)誤更加有助于學(xué)生進(jìn)行自我反思，有助于學(xué)生更好地理解與掌握知識(shí)，從而培養(yǎng)其思維的深刻性。

二、 “講”還是“不講”？理應(yīng)撥云見日

學(xué)生理解等式具有傳遞性，即若A=B,B=C,則A=C。而在此讓他們思考860÷40=86÷4，86÷4=21 ……2，但是860÷40≠21 ……2，這是為什么？學(xué)生能想通嗎？這種情形下教師“講”還是“不講”？若不講，學(xué)生始終會(huì)在“茫然之中”問“我錯(cuò)在哪里了？”以后還會(huì)再次陷入錯(cuò)誤。所以筆者以為理應(yīng)讓學(xué)生對(duì)“錯(cuò)在哪里”有所感悟。那么如何讓學(xué)生以可以理解和接受的方式來進(jìn)行教學(xué)引導(dǎo)呢？經(jīng)驗(yàn)學(xué)的觀點(diǎn)告訴我們，學(xué)生的思考多是按自己的直觀經(jīng)驗(yàn)邏輯，不是按大自然的科學(xué)邏輯。按他們的邏輯與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，引導(dǎo)他們到科學(xué)的大道上來，是我們教師的任務(wù)。鑒于此，在教學(xué)中，筆者從“商不變性質(zhì)，它告訴我們商不變，有沒有說余數(shù)也不變？”入手，引導(dǎo)學(xué)生觀察“被除數(shù)與除數(shù)變化的同時(shí)，余數(shù)如何變化”，引導(dǎo)學(xué)生猜想，驗(yàn)證自己的想象與得出結(jié)論，從而明白“運(yùn)用商不變性質(zhì)計(jì)算有余數(shù)的除法，不變的只是商，余數(shù)是有變化的”，“而且余數(shù)的變化倍數(shù)是和除數(shù)、被除數(shù)的變化倍數(shù)相同的”這樣的數(shù)學(xué)事實(shí)，雖然是淺嘗即止，但是卻讓學(xué)生對(duì)“有余數(shù)的除法不能輕易用商不變性質(zhì)來運(yùn)算”有了深刻的領(lǐng)悟和感受。

三、 如何把握“深度”？可以未雨綢繆

當(dāng)然，出現(xiàn)這種錯(cuò)誤除了“后攝抑制”的影響，還有學(xué)生知識(shí)認(rèn)知層次的局限性。兩個(gè)數(shù)相除當(dāng)出現(xiàn)結(jié)果不是整數(shù)的時(shí)候，在四年級(jí)階段只能以“商……余數(shù)”的形式表示，這是結(jié)果表達(dá)的一種特殊形式。只有當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了“除法與分?jǐn)?shù)”的關(guān)系以及“約分”的知識(shí)后，學(xué)生才會(huì)明白：任何除法計(jì)算都可以用分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)相除的結(jié)果，而這個(gè)結(jié)果雖然表達(dá)的形式會(huì)有所不同，但是其實(shí)質(zhì)是相同的。如把860÷40的結(jié)果表示成，86÷4的結(jié)果表示成，形異而質(zhì)同。但這個(gè)道理若讓四年級(jí)學(xué)生有深刻的理解，顯然力所不逮。所以筆者選擇“其實(shí)以后我們就會(huì)知道，這個(gè)算式并沒有‘錯(cuò)”。從而激起學(xué)生的好奇心與興趣，而后指明“我們現(xiàn)在學(xué)到：兩個(gè)數(shù)相除，正好能平均分，得到結(jié)果用整數(shù)表示，如果不能恰好分完，就用余數(shù)表示。以后我們還會(huì)學(xué)到：不能恰好分完的情況，還能用另外的數(shù)表示?！奔纫龑?dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的奇特魅力又未雨綢繆地為學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí)做了有力的鋪墊。

其實(shí)，只要教師對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤有清醒的認(rèn)識(shí)，并能加以科學(xué)引導(dǎo)，這種經(jīng)歷何嘗不是幫助他們積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和發(fā)展數(shù)學(xué)思考的一種途徑呢？

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】

在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，有一種有趣的現(xiàn)象：學(xué)了后續(xù)的知識(shí)，卻對(duì)先前學(xué)習(xí)的知識(shí)識(shí)記造成了干擾，心理學(xué)中叫做“后攝抑制”。筆者在教學(xué)《商不變性質(zhì)》后的練習(xí)中，就遇上了這種典型的心理現(xiàn)象。

課堂回放：

教師出示練習(xí)：

860÷40=（）……（）

我在學(xué)生中間巡視的時(shí)候，驚奇地發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生是如下列算式的：

稍后我與他們校對(duì)結(jié)果，竟然有一半是這樣做的。

師：現(xiàn)在出現(xiàn)了兩種結(jié)果：21……20和21……2，哪一種是正確的？如何驗(yàn)證？

生：我們可以用除數(shù)乘商，然后加上余數(shù)，看看結(jié)果是不是860。

師：行，請(qǐng)同學(xué)們把自己的結(jié)果驗(yàn)算一下。

生1：驗(yàn)算后21……20是正確的。

生2：按這樣的驗(yàn)算方法，我的結(jié)果（21……2）好像不對(duì)。但是我又對(duì)我的豎式也進(jìn)行了重新驗(yàn)算，21……2也是正確的啊?。ㄋ匦聦徱暳俗约旱呢Q式）我錯(cuò)在哪里了呢？

該生一臉的茫然。

師：說說你計(jì)算這道題的過程。

生2：因?yàn)?60÷40這個(gè)算式中，被除數(shù)與除數(shù)都是整百、整十?dāng)?shù)，所以我就分別去掉一個(gè)零后計(jì)算。

師：（適時(shí)介入）你這樣做的理由能說一下嗎？

生2：我是運(yùn)用商不變性質(zhì)，就是被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小10倍，商不變。

師：請(qǐng)繼續(xù)說你的計(jì)算過程。

生2：這樣就變成了86÷4=21……2。我算了好幾遍都是這樣的結(jié)果。

師：我把你的思考過程寫下來，大家一起來交流，問題在哪里？

板書：860÷40=86÷4=21 ……2

觀察并討論：我錯(cuò)在哪里了？

生：（紛紛）第一步到第二步是對(duì)的，第二步到第三步也是對(duì)的，為什么結(jié)果卻是錯(cuò)的呢？真奇怪。（急切地）老師快告訴我們，到底錯(cuò)在哪里了？

師：這里運(yùn)用了商不變性質(zhì)，它告訴我們商不變，有沒有說余數(shù)也不變？

生：沒有。

師：我們學(xué)習(xí)的除法算式中，余數(shù)和誰的關(guān)系密切？

生：和除數(shù)有關(guān)，余數(shù)不能比除數(shù)大。

師：對(duì)，看看從第一步到第二步，雖然是相等的，但是除數(shù)卻？

生：縮小了10倍。

師：是的，對(duì)比一下正確的結(jié)果和這個(gè)算式，大膽猜一下，余數(shù)會(huì)怎么變？

生（思考后）試探著說：也縮小10倍嗎？

師：30÷20與3÷2，對(duì)比一下商與余數(shù)。

生3：商相同，余數(shù)縮小十倍。

生4：哦，我有點(diǎn)明白了，運(yùn)用商不變性質(zhì)計(jì)算有余數(shù)的除法，不變的只是商，余數(shù)是有變化的。

生5：而且余數(shù)的變化倍數(shù)是和除數(shù)、被除數(shù)的變化倍數(shù)相同的。

師：同學(xué)們說的都很好，其實(shí)以后我們就會(huì)知道，這個(gè)算式并沒有“錯(cuò)”。

（略微停頓，學(xué)生都感到很好奇，明明不對(duì)，還說沒有“錯(cuò)”？）

師：我們現(xiàn)在學(xué)到：兩個(gè)數(shù)相除，正好能平均分，得到結(jié)果用整數(shù)表示，如果不能恰好分完，就用余數(shù)表示。以后我們還會(huì)學(xué)到：不能恰好分完的情況，還能用另外的數(shù)表示。

生（個(gè)別學(xué)生）：我知道，可以用小數(shù)和分?jǐn)?shù)。

師：對(duì)，這兩個(gè)結(jié)果其實(shí)可以用同一個(gè)數(shù)來表示，我們以后會(huì)再學(xué)習(xí)。

生：哈，這個(gè)可真有趣，好神奇。

……

860÷40=()……( )，如果在學(xué)習(xí)“商不變性質(zhì)”前讓學(xué)生做，他們會(huì)進(jìn)行正常的計(jì)算多半不會(huì)出現(xiàn)疑惑。而在學(xué)習(xí)了“商不變性質(zhì)”之后，卻產(chǎn)生了有趣而典型的“后攝抑制”現(xiàn)象，形成了學(xué)習(xí)干擾。這種現(xiàn)象是一種邂逅還是不可避免？如何順勢(shì)引導(dǎo)讓學(xué)生解開心中之惑？這可以給我們的教學(xué)以怎樣的啟示？筆者經(jīng)歷了課堂實(shí)踐后有了更深的感受。

一、 “錯(cuò)”可以避免嗎？不妨順?biāo)浦?/p>

心理學(xué)研究表明，后攝抑制作為一種思維活動(dòng)現(xiàn)象，它是學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的一種思維遷移，不可避免。學(xué)習(xí)材料相似性越大，就越容易發(fā)生。所以，當(dāng)學(xué)生熟練掌握了商不變性質(zhì)并運(yùn)用在計(jì)算過程中時(shí)，“因?yàn)?60÷40這個(gè)算式中，被除數(shù)與除數(shù)都是整十?dāng)?shù)，所以我就各去掉一個(gè)零后計(jì)算”，錯(cuò)得順理成章。而且他們對(duì)商不變性質(zhì)的理解程度越高，出錯(cuò)的概率也就越大，這是由于相似學(xué)習(xí)材料中，如果后學(xué)習(xí)材料的掌握程度越牢固，對(duì)先前知識(shí)的干擾就越強(qiáng)。如果明白這一點(diǎn)，教師就能理解學(xué)生錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，而且筆者認(rèn)為教師需要“有意識(shí)”地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由這種負(fù)遷移而產(chǎn)生的錯(cuò)誤。《學(xué)記》云“君子知至學(xué)之難易而知其美惡，然后能博喻”。高明的教師應(yīng)該洞察學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，善于制造思維矛盾，挑起學(xué)生的自我認(rèn)知分歧，然后站在一旁欣賞學(xué)生在辨析思考中慢慢邁上前行的路途。這樣的教學(xué)更加有利于學(xué)生分辨學(xué)習(xí)材料的異同，這種錯(cuò)誤更加有助于學(xué)生進(jìn)行自我反思，有助于學(xué)生更好地理解與掌握知識(shí)，從而培養(yǎng)其思維的深刻性。

二、 “講”還是“不講”？理應(yīng)撥云見日

學(xué)生理解等式具有傳遞性，即若A=B,B=C,則A=C。而在此讓他們思考860÷40=86÷4，86÷4=21 ……2，但是860÷40≠21 ……2，這是為什么？學(xué)生能想通嗎？這種情形下教師“講”還是“不講”？若不講，學(xué)生始終會(huì)在“茫然之中”問“我錯(cuò)在哪里了？”以后還會(huì)再次陷入錯(cuò)誤。所以筆者以為理應(yīng)讓學(xué)生對(duì)“錯(cuò)在哪里”有所感悟。那么如何讓學(xué)生以可以理解和接受的方式來進(jìn)行教學(xué)引導(dǎo)呢？經(jīng)驗(yàn)學(xué)的觀點(diǎn)告訴我們，學(xué)生的思考多是按自己的直觀經(jīng)驗(yàn)邏輯，不是按大自然的科學(xué)邏輯。按他們的邏輯與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，引導(dǎo)他們到科學(xué)的大道上來，是我們教師的任務(wù)。鑒于此，在教學(xué)中，筆者從“商不變性質(zhì)，它告訴我們商不變，有沒有說余數(shù)也不變？”入手，引導(dǎo)學(xué)生觀察“被除數(shù)與除數(shù)變化的同時(shí)，余數(shù)如何變化”，引導(dǎo)學(xué)生猜想，驗(yàn)證自己的想象與得出結(jié)論，從而明白“運(yùn)用商不變性質(zhì)計(jì)算有余數(shù)的除法，不變的只是商，余數(shù)是有變化的”，“而且余數(shù)的變化倍數(shù)是和除數(shù)、被除數(shù)的變化倍數(shù)相同的”這樣的數(shù)學(xué)事實(shí)，雖然是淺嘗即止，但是卻讓學(xué)生對(duì)“有余數(shù)的除法不能輕易用商不變性質(zhì)來運(yùn)算”有了深刻的領(lǐng)悟和感受。

三、 如何把握“深度”？可以未雨綢繆

當(dāng)然，出現(xiàn)這種錯(cuò)誤除了“后攝抑制”的影響，還有學(xué)生知識(shí)認(rèn)知層次的局限性。兩個(gè)數(shù)相除當(dāng)出現(xiàn)結(jié)果不是整數(shù)的時(shí)候，在四年級(jí)階段只能以“商……余數(shù)”的形式表示，這是結(jié)果表達(dá)的一種特殊形式。只有當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了“除法與分?jǐn)?shù)”的關(guān)系以及“約分”的知識(shí)后，學(xué)生才會(huì)明白：任何除法計(jì)算都可以用分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)相除的結(jié)果，而這個(gè)結(jié)果雖然表達(dá)的形式會(huì)有所不同，但是其實(shí)質(zhì)是相同的。如把860÷40的結(jié)果表示成，86÷4的結(jié)果表示成，形異而質(zhì)同。但這個(gè)道理若讓四年級(jí)學(xué)生有深刻的理解，顯然力所不逮。所以筆者選擇“其實(shí)以后我們就會(huì)知道，這個(gè)算式并沒有‘錯(cuò)”。從而激起學(xué)生的好奇心與興趣，而后指明“我們現(xiàn)在學(xué)到：兩個(gè)數(shù)相除，正好能平均分，得到結(jié)果用整數(shù)表示，如果不能恰好分完，就用余數(shù)表示。以后我們還會(huì)學(xué)到：不能恰好分完的情況，還能用另外的數(shù)表示。”既引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的奇特魅力又未雨綢繆地為學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí)做了有力的鋪墊。

其實(shí)，只要教師對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤有清醒的認(rèn)識(shí)，并能加以科學(xué)引導(dǎo)，這種經(jīng)歷何嘗不是幫助他們積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和發(fā)展數(shù)學(xué)思考的一種途徑呢？

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】