增材制造橢圓錐齒輪的齒面與齒距誤差分析

林 超，樊 宇，張正文，才立忠，李忠華

(重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，400030重慶)

橢圓錐齒輪機(jī)構(gòu)是現(xiàn)代機(jī)械中的一種新型傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，用于傳遞相交軸之間的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力，主要特點(diǎn)是傳動(dòng)比為變傳動(dòng)比傳動(dòng).橢圓錐齒輪的發(fā)展主要受限于加工制造.相比于普通錐齒輪，橢圓錐齒輪節(jié)曲線為非圓形，各個(gè)齒廓不盡相同，故加工較為困難，且加工精度也低于普通錐齒輪.傳統(tǒng)加工橢圓錐齒輪的方法有:數(shù)控機(jī)床加工、線切割加工等.增材制造［1-3］(additive manufacturing，AM)被譽(yù)為顛覆傳統(tǒng)加工技術(shù)的一項(xiàng)新技術(shù)，增材制造能夠?qū)崿F(xiàn)橢圓錐齒輪的快速成型，使其成為制造業(yè)的研究熱點(diǎn)之一，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究.如Sears［4］對(duì)SLM和EBM兩種方法進(jìn)行了對(duì)比研究.Murr等［5］對(duì)銅、鈦6AL-4V合金、鎳基超合金、鈷基超合金和17-4 PH不銹鋼等材料在SLM和EBM中的預(yù)合金化和霧化前體粉末進(jìn)行了研究.Hao等［6］針對(duì)增材制造的基本材料和工藝進(jìn)行了研究.Chen 等［7］和 Rosen［8］對(duì)增材制造的蜂窩結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)做了研究.

本文將橢圓錐齒輪與增材制造相結(jié)合，探討增材制造法加工橢圓錐齒輪的可行性.國(guó)內(nèi)外還沒有增材制造加工橢圓錐齒輪的報(bào)道，因此該方法加工的橢圓錐齒輪能否應(yīng)用于實(shí)際還需實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.本文運(yùn)用超景深三維顯微系統(tǒng)和三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)該齒輪進(jìn)行檢測(cè)，得到齒面誤差和齒距誤差，并提出若干改進(jìn)方法，提高該方法的加工質(zhì)量.

1 基本原理

1.1 齒輪副傳動(dòng)原理

橢圓錐齒輪副在嚙合傳動(dòng)時(shí)，主動(dòng)輪橢圓節(jié)錐面與從動(dòng)輪橢圓節(jié)錐面在同一球面上做純滾動(dòng).主、從動(dòng)輪的節(jié)錐角分別為Ψ1、Ψ2，球面半徑為R，軸間夾角為90°.基于直齒圓柱齒輪及圓錐齒輪的嚙合原理，建立橢圓錐齒輪傳動(dòng)副的空間球面嚙合坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系由一個(gè)定坐標(biāo)系O(x，y，z) 和 兩 個(gè) 動(dòng) 坐 標(biāo) 系O1(x1，y1，z1)、O2(x2，y2，z2)組成，如圖1 所示．

圖1 橢圓錐齒輪副嚙合原理圖

齒輪副要實(shí)現(xiàn)的傳動(dòng)比函數(shù)［7-9］為

式中:k為橢圓錐齒輪的偏心率;n為橢圓錐齒輪的階數(shù)，n≥2;φ1為橢圓錐齒輪的轉(zhuǎn)角.

軸間夾角θ=ψ1+ψ2=90°，代入式(1)可得齒輪副的節(jié)曲線方程為

式中:φ1為橢圓錐齒輪主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角，φ2為橢圓錐齒輪從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角.

如圖1所示，齒輪1轉(zhuǎn)過周向角φ1，相應(yīng)的齒輪2轉(zhuǎn)過周向角φ2．由空間坐標(biāo)變換公式可求得動(dòng)參考標(biāo)架O1變換到固定坐標(biāo)系O的變換矩陣M01及固定坐標(biāo)系O變換到動(dòng)參考標(biāo)架O2的變換矩陣M02為

由以上坐標(biāo)變換矩陣可得到固定坐標(biāo)系與兩個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.

1.2 增材制造原理

增材制造技術(shù)是采用材料逐層累加方法制造實(shí)體零件的技術(shù)，相對(duì)于傳統(tǒng)的材料去除技術(shù)，是一種“自下而上”材料累加的制造方法(見圖2).增材制造技術(shù)不需要傳統(tǒng)的刀具、夾具及多道加工工序，利用三維設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)在一臺(tái)設(shè)備上，可快速而精確地制造出任意復(fù)雜形狀的零件，而只需傳統(tǒng)加工方法的10%～30%的工時(shí)和20%～35%的成本［10］，從而實(shí)現(xiàn)“自由制造”，解決許多過去難以制造的復(fù)雜結(jié)構(gòu)零件的成形問題.這項(xiàng)新技術(shù)給橢圓錐齒輪的加工制造，提出了一種新的制造方法.

圖2 傳統(tǒng)加工與增材制造對(duì)比

EOS M280粉末激光打印機(jī)，采用選擇性激光燒結(jié)(direct metal laser sintering，DMLS)的加工模式，其基本原理為:采用激光有選擇地分層燒結(jié)固體粉末，并使燒結(jié)成型的固化層層疊加生成所需形狀的零件.其整個(gè)工藝過程包括CAD模型的建立及數(shù)據(jù)處理、鋪粉、燒結(jié)以及后處理等.DMLS技術(shù)的增材制造系統(tǒng)工作原理如圖3所示.

1.3 制造前處理

在加工前，需要準(zhǔn)備好加工所需的數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)的類型是CAD模型的STL數(shù)據(jù)格式.Pro/E、UG、Catia、Cimatio、Solid Edge、MDT 等大型軟件都提供了這種能夠被DMLS制造系統(tǒng)中切片軟件識(shí)別的STL數(shù)據(jù)格式.STL數(shù)據(jù)格式的使命是將三維實(shí)體的表面三角網(wǎng)格化，表面的三角剖分之后使3D模型呈現(xiàn)多面體狀，如圖4(a)所示.

只將數(shù)據(jù)導(dǎo)成STL格式是無法進(jìn)行加工的，需要在此基礎(chǔ)上修復(fù)模型以及添加支撐結(jié)構(gòu).在應(yīng)用中，最常用的是將模型分割成三角網(wǎng)格模型.此外，還需要對(duì)導(dǎo)入加工系統(tǒng)中的模型進(jìn)行修復(fù)以及增加支撐，如圖4(b)所示.

圖3 激光選區(qū)熔化增材制造的原理示意圖

圖4 橢圓錐齒輪制造前處理

以上工作完成之后，就可以在切片軟件中進(jìn)行加工模擬.即用切片軟件，沿成型的高度方向，每隔一定的間隔進(jìn)行切片處理，以便提取界面的輪廓，分析模型有無缺陷，支撐添加是否正確.間隔的大小根據(jù)被成型件精度和生產(chǎn)率的要求來選定.間隔愈小，精度愈高，但成型時(shí)間愈長(zhǎng);否則反之.間隔一般為0.1～0.3 mm，常用0.2 mm左右，在此取值下，能得到比較光滑的成型曲面.切片間隔選定后，成型時(shí)每層燒結(jié)材料粒度應(yīng)與其相適應(yīng).顯然，層厚不能小于燒結(jié)材料的粒度.

2 快速成型加工

2.1 快速成型機(jī)

選用德國(guó)EOS M280快速成型機(jī)加工橢圓錐齒輪，其工作部分結(jié)構(gòu)如圖5所示，基本參數(shù)見表1.在M280中，共有4個(gè)數(shù)控軸實(shí)現(xiàn)增材制造的加工，其運(yùn)動(dòng)軸可以分為工件運(yùn)動(dòng)軸、刮刀運(yùn)動(dòng)軸以及振鏡運(yùn)動(dòng)軸.工件運(yùn)動(dòng)軸包括沿Z軸方向的平移運(yùn)動(dòng)Zt;刮刀運(yùn)動(dòng)軸包括沿Y軸方向的平移運(yùn)動(dòng)Yt;振鏡運(yùn)動(dòng)軸包括沿X軸方向的平移運(yùn)動(dòng)Xt以及繞X軸方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)Xr．

圖5 快速成型機(jī)加工坐標(biāo)系

表1 快速成型機(jī)M280基本參數(shù)表

2.2 加工坐標(biāo)系

建立成型機(jī)的固定坐標(biāo)系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)、工 件 坐 標(biāo) 系OJ1(xJ1，yJ1，zJ1)、 刮 刀 坐 標(biāo) 系OJ2(xJ2，yJ2，zJ2)、振鏡坐標(biāo)系OJ3(xJ3，yJ3，zJ3)，其中工件坐標(biāo)系與工件固定連接．加工開始后，工件坐 標(biāo) 系OJ1(xJ1，yJ1，zJ1) 在 固 定 坐 標(biāo) 系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)中移動(dòng)的距離為z，即工件在快速成型機(jī)坐標(biāo)系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)中平移的坐標(biāo)為(0，0，z)．刮刀坐標(biāo)系OJ2(xJ2，yJ2，zJ2)在固定坐標(biāo)系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)中移動(dòng)的距離為y，即刮刀在快速成型機(jī)坐標(biāo)系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)中平移的坐標(biāo)為(0，y，0)．同時(shí)，由于振鏡的旋轉(zhuǎn)，振鏡坐標(biāo)系OJ3(xJ3，yJ3，zJ3)先繞其XJ3軸旋轉(zhuǎn)角度γ，再沿著XJ3方向平移，平移距離為Xt．

通過以上分析，可得工件坐標(biāo)系變換到快速成型機(jī)坐標(biāo)系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)的變換矩陣為

刮刀坐標(biāo)系變換到固定坐標(biāo)系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)的變換矩陣為

振鏡在固定坐標(biāo)系OJ0(xJ0，yJ0，zJ0)的變換矩陣為

由以上的坐標(biāo)變換關(guān)系，可以建立快速成型機(jī)加工時(shí)振鏡與工件之間的位置變化關(guān)系.

2.3 增材加工過程

加工開始時(shí)，加工平臺(tái)移動(dòng)到初始位置，并且在平臺(tái)底層鋪一層金屬粉末.然后向成形艙通入適當(dāng)?shù)亩栊詺怏w，當(dāng)成形艙的氧含量低于規(guī)定的限值，則自動(dòng)開始加工.通過用計(jì)算機(jī)控制的激光束照射金屬粉末，使得凝固的金屬粉末與零件的幾何模型吻合.此后，加工平臺(tái)降低一個(gè)層的厚度，再鋪上一層金屬粉末，重復(fù)上述過程.最終，就可得到所需的零件.

橢圓錐齒輪總體積為53717.811 56 mm3，建造速度選用6 mm3/s，則總建造時(shí)間約為2.49 h.目前實(shí)驗(yàn)室有不銹鋼、模具鋼、鈦合金、高溫鎳合金4種粉末，考慮模具鋼具有高的硬度、強(qiáng)度、耐磨性，足夠的韌性等特點(diǎn)，故選用模具鋼作為加工材料.加工該齒輪選用的層厚為20 μm，齒輪總高度為38.18 mm，總層數(shù)為1 909.各典型狀態(tài)采用solidworks模擬如圖6所示.

圖6 solidworks模擬增材制造加工

3 誤差分析

3.1 誤差模型

用DMLS方法加工橢圓錐齒輪，會(huì)存在臺(tái)階效應(yīng)［11-15］，如圖7所示.根據(jù)橢圓錐齒輪節(jié)曲線的性質(zhì)可知，長(zhǎng)軸端齒頂延長(zhǎng)線與中心線的夾角最大，在其他地方的夾角都要小于長(zhǎng)軸端處夾角.由臺(tái)階效應(yīng)得知，傾角會(huì)對(duì)粗糙度產(chǎn)生直接影響，傾角越小，表面粗糙度越大.

圖7 分層模型

由圖7可得，每層邊界輪廓誤差為

式中:h為層厚，ψ1為橢圓錐齒輪錐角.

齒頂法線方向的高度差為

X、Y方向的誤差分別為

式中:η為檢測(cè)線在X-Y平面的投影與X軸的夾角，由式(3)和(4)可得每層邊界輪廓實(shí)際坐標(biāo)為

3.2 檢測(cè)模型

本文采用超景深三維顯微系統(tǒng)對(duì)齒面質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè).利用該設(shè)備截面輪廓檢測(cè)功能，可以分析橢圓錐齒輪齒頂面的粗糙度，進(jìn)而評(píng)價(jià)增材制造技術(shù)加工橢圓錐齒輪的加工質(zhì)量.

利用超景深三維顯微系統(tǒng)可對(duì)橢圓錐齒輪單齒齒頂面進(jìn)行三維合成.通過傾斜校正功能，使測(cè)量平面與系統(tǒng)坐標(biāo)系平面平行，本實(shí)驗(yàn)主要研究表面高度問題，即與系統(tǒng)坐標(biāo)系Z方向有關(guān)，與X、Y坐標(biāo)無關(guān)，故完成傾斜校正，就完成了系統(tǒng)定位．利用系統(tǒng)自帶的分析軟件，可對(duì)齒面的齒廓截面進(jìn)行分析，通過多個(gè)截面的分析，可以較為準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)該齒面的加工質(zhì)量.由于增材制造是直接成型加工，理論誤差模型適用于齒輪的各個(gè)表面.齒頂表面較齒面表面更易測(cè)量及數(shù)據(jù)分析，且未經(jīng)后處理的齒輪，齒頂與齒面的理論誤差接近，故本文采用齒頂誤差分析去評(píng)定齒輪表面質(zhì)量.

3.3 數(shù)據(jù)處理與誤差分析

利用超景深三維顯微系統(tǒng)完成單齒齒面三維合成后，可以得到齒面輪廓截面的數(shù)據(jù).本文采用以下的方法評(píng)價(jià)齒面質(zhì)量.

在單齒檢測(cè)模型中，采用5條均勻的橫線對(duì)被采集的區(qū)域進(jìn)行分割，這5條橫線代表該齒面的5個(gè)輪廓截面，對(duì)這5個(gè)輪廓截面進(jìn)行數(shù)據(jù)提取，繪制曲線，即可得知該齒面的質(zhì)量情況.在每一個(gè)齒面輪廓截面中，用高度差來反映該截面的粗糙度，即提取該組數(shù)據(jù)中的最高點(diǎn)和最低點(diǎn).

理論高度差計(jì)算見式(2).理論截面高度為

式中hmin為截面的最低點(diǎn)的高度值.

根據(jù)超景深三維顯微系統(tǒng)檢測(cè)采集的數(shù)據(jù)，經(jīng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析及處理，可繪制出齒1～4采集面的截面曲線.再與理論截面高度進(jìn)行對(duì)比，得到理論值與實(shí)測(cè)值截面高度誤差曲線對(duì)比，如圖8所示.

圖8 理論值與實(shí)測(cè)值截面高度誤差曲線對(duì)比圖

相對(duì)誤差計(jì)算公式為

式中h為實(shí)際截面高度.

將齒1～4每一段截面均勻提取出13個(gè)點(diǎn)，計(jì)算出每一點(diǎn)的相對(duì)誤差，可以繪制出5×13的齒頂面相對(duì)誤差空間網(wǎng)格圖，可直觀反映出齒頂面的表面誤差情況，如圖9所示.

圖9 齒頂面相對(duì)誤差空間網(wǎng)格圖

由圖8中齒1～4各個(gè)截面曲線與理論曲線進(jìn)行對(duì)比，可得實(shí)際誤差與理論誤差近似吻合.

齒1區(qū)域，最高點(diǎn)為52.867 μm，最低點(diǎn)為12.429 μm，高度差為 40.438 μm，理論高度差為15.717 μm;齒2 區(qū)域，最高點(diǎn)高度為57.560 μm，最低點(diǎn)高度為27.722 μm，高度差為29.738 μm，理論高度差為15.532 μm;齒3區(qū)域，最高點(diǎn)高度為50.025 μm，最低點(diǎn)高度為 14.427 μm，高度差為35.602 μm，理論高度差為 15.782 μm;齒 4 區(qū)域，最高點(diǎn)高度為112.362 μm，最低點(diǎn)高度為55.825 μm，高度差為 56.537 μm，理論高度差為14.703 μm.

由以上分析可知，區(qū)域上，理論高度差和實(shí)際高度差相差偏大.由于誤差較大，改進(jìn)方法主要為提高該加工方法的加工工藝.

3.4 齒距偏差

本文用三坐標(biāo)測(cè)量法檢測(cè)橢圓錐齒輪的齒距偏差．球面節(jié)曲線的長(zhǎng)度［16］為

節(jié)曲線坐標(biāo)方程為

聯(lián)立式(5)和(6)，可求得橢圓錐齒輪大端節(jié)曲線上同側(cè)齒面的單個(gè)齒距．查閱文獻(xiàn)［17］可得，其單齒標(biāo)準(zhǔn)齒距fp2=5.143 032 mm．而單齒距偏差Δfp2等于實(shí)際齒距與理論齒距的代數(shù)差，即

式中:i為橢圓錐齒輪階數(shù);Fpi為橢圓錐齒輪測(cè)量齒距．

如圖10為單齒距偏差的柱狀圖，由圖可以得出，單齒齒距偏差在±0.8 mm范圍內(nèi)波動(dòng).單個(gè)齒距誤差可以直接反映出傳動(dòng)比的波動(dòng).

圖10 單齒齒距偏差柱狀圖

由單齒齒距偏差可以分析求得該齒輪的齒距累計(jì)誤差，如圖11所示.

圖11 齒距累計(jì)偏差曲線

由圖11分析可得，該齒輪的單齒齒距曲線在其標(biāo)準(zhǔn)齒距線上下波動(dòng)，計(jì)算可得該齒最大齒距累計(jì)偏差ΔFp2=1.021 933 179 mm，它反映出單齒齒距偏差的總幅值以及齒輪旋轉(zhuǎn)一周傳動(dòng)比的變化，因此該參數(shù)影響齒輪傳遞運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)確性.由以上測(cè)試計(jì)算結(jié)果可以得出，通過增材制造法加工得到的橢圓錐齒輪具有較好的運(yùn)動(dòng)傳遞精度.

在增材制造加工中，除了理論誤差對(duì)加工質(zhì)量存在影響外，以下因素也會(huì)對(duì)表面質(zhì)量產(chǎn)生影響:

1)STL模型處理.在前處理階段，即數(shù)據(jù)處理階段，對(duì)三維模型的三角化處理精度不夠高，導(dǎo)致金屬粉末加工系統(tǒng)中的模型和設(shè)計(jì)模型不完全一致;其次，由于處理軟件還不夠完美，導(dǎo)入的STL模型可能會(huì)出現(xiàn)多余線條或者平面不完整的情況，如果對(duì)模型修復(fù)不到位，都會(huì)影響到加工精度.

2)支撐結(jié)構(gòu).在金屬粉末激光燒結(jié)過程中，對(duì)于水平伸出＞1 mm以及與水平夾角＜40°的部位，必須建立支撐結(jié)構(gòu)，否則，金屬粉末的粘接力會(huì)因?yàn)闊o法承受自身重力而發(fā)生彎曲變形.加工平臺(tái)對(duì)模型自動(dòng)建立的支撐結(jié)構(gòu)往往還不夠完善，因此，研究人員對(duì)模型支撐結(jié)構(gòu)的優(yōu)化程度，將會(huì)影響模型最終的加工質(zhì)量.

3)金屬粉末直徑.金屬粉末直徑的大小不僅會(huì)直接影響表面質(zhì)量.加工工藝中層厚主要取決于金屬粉末直徑的大小，而層厚又決定了理論誤差對(duì)零件加工的影響程度.

4)激光半徑.掃描激光束存在半徑，如果以激光束圓心繞著模型邊界掃描，那么加工尺寸會(huì)偏大.因此，對(duì)掃描路徑的優(yōu)化程度，將會(huì)影響到零件的尺寸誤差.

5)熱效應(yīng).加工過程中，激光的高溫導(dǎo)致了成型過程中很明顯的熱效應(yīng)，熱脹冷縮會(huì)影響零件的尺寸誤差.

針對(duì)以上分析，提出改進(jìn)意見如下:在計(jì)算機(jī)計(jì)算能力范圍內(nèi)，盡量提高模型三角化精度，提高處理軟件修復(fù)模型的能力;合理建立支撐結(jié)構(gòu);提高金屬粉末加工工藝，減小金屬粉末半徑;優(yōu)化掃描路徑，減小激光半徑對(duì)尺寸誤差的影響;研究找出金屬粉末的熱膨脹系數(shù)，對(duì)加工路徑做出合理的修改.

4 結(jié)論

1)將增材制造法運(yùn)用于橢圓錐齒輪加工，結(jié)合齒輪嚙合原理的基本方法和增材制造的基本原理，建立了增材制造加工模型，并完成了增材制造過程分析.

2)運(yùn)用超景深三維顯微系統(tǒng)和三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)檢測(cè)該齒輪的齒面誤差及齒距誤差.建立了橢圓錐齒輪的誤差模型，分析了理論誤差，并與實(shí)際齒面誤差作比較.

3)由實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與理論誤差之間的對(duì)比分析可知，增材制造法加工的橢圓錐齒輪誤差偏大.該方法原理較為簡(jiǎn)單，計(jì)算容易，從齒形與齒距方面綜合評(píng)價(jià)了該齒輪，為增材制造加工質(zhì)量的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ).

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