不同數(shù)值解法對(duì)產(chǎn)水氣井壓降計(jì)算的影響

安全成 張家志 薄婷婷

(1.川慶鉆探工程公司鉆采工程技術(shù)研究院長慶分院，西安 710019;2.長慶油田公司第四采氣廠，西安 710000)

通過井口的壓力、溫度、產(chǎn)量等條件預(yù)測(cè)產(chǎn)水氣井井筒中的壓力分布，通常是將井筒分為若干段，根據(jù)井口條件依次計(jì)算井筒每一段流體的壓力梯度，最終得到井筒壓力分布。目前最為常用的數(shù)值解法是迭代法和龍格庫塔法［1］。為尋求最適宜的數(shù)值解法，有必要分析不同的數(shù)值解法對(duì)計(jì)算精度以及計(jì)算時(shí)間的影響，從而了解其優(yōu)劣，為計(jì)算產(chǎn)水氣井井底壓力提供指導(dǎo)。

1 井筒壓降模型

將井筒中多相管流考慮為穩(wěn)定的一維流動(dòng)問題，管軸作為坐標(biāo)軸z，規(guī)定其正向與流體流動(dòng)方向一致。定義管斜角θ為坐標(biāo)軸z與水平方向的夾角，根據(jù)質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒可得到普適化的壓力梯度方程［2］:

持液率與摩阻系數(shù)是求解上述方程的關(guān)鍵參數(shù)，由于氣液兩相管流機(jī)理復(fù)雜，通常需要通過實(shí)驗(yàn)采用因次分析的方法確定特定流動(dòng)過程中的無因次參數(shù)，進(jìn)而得到不同流型下的持液率和摩阻系數(shù)，本文采用目前工程上最常用的H－B經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停?］，模型中的天然氣黏度采用Lee公式［4］，天然氣偏差系數(shù)采用DAK公式［5］，其他物性公式參照文獻(xiàn)［6］。

2 數(shù)值解法

壓力梯度方程(1)的右端包含了流體物性、運(yùn)動(dòng)參數(shù)及其有關(guān)的無因次變量，難以求其解析解。通常將井筒分為若干段，從井口段開始采用迭代法或龍格庫塔方法逐段計(jì)算下一段壓力。而前一類方法又可分為變管段長度增量法和變壓力增量法。

2.1 迭代法

迭代法通常也叫試錯(cuò)法，先設(shè)定壓力增量Δp或管段長度增量Δz，估計(jì)其對(duì)應(yīng)的管段長度增量Δz′或?qū)?yīng)的壓力增量Δp′，再根據(jù)該段內(nèi)平均壓力、溫度按式(1)計(jì)算出壓力梯度，進(jìn)而由式(2)計(jì)算出壓力增量對(duì)應(yīng)的管段長度增量Δzi(或由式(3)計(jì)算出管段長度增量對(duì)應(yīng)的壓力增量Δpi)，直至計(jì)算的Δzi或 Δpi接近估計(jì)值 Δz′或 Δp′，否則將計(jì)算值作為估計(jì)值重新迭代。

2.2 龍格庫塔法

可將壓力梯度方程(1)處理為常微方程的初值問題，用F(z，p)代替方程(1)的右端，以井口z0處壓力p0作為初值條件，則

這類常微分方程可采用具有較高精度的四階龍格庫塔法值求解，需要先設(shè)定壓力增量Δp，再按式(5)～式(9)求出下部井深zi+1，直至達(dá)到井底深度為止。

式中:pi—第i段上部壓力，Pa;zi、zi+1—分別為第i段上部和下部井深，m。

3 實(shí)例對(duì)比分析

以某井為例分析不同數(shù)值計(jì)算方法對(duì)產(chǎn)水氣井井筒壓力的影響，該井的基本參數(shù)如表1所示，實(shí)測(cè)井底壓力為16.14 MPa。分別采用3種數(shù)值方法計(jì)算其井底壓力，并按表2中所設(shè)定的參數(shù)范圍分析不同數(shù)值解法的迭代次數(shù)與誤差分布，結(jié)果如圖1—3所示。

表1 實(shí)例井基本參數(shù)

表2 數(shù)值方法設(shè)定的參數(shù)范圍

圖1 變管段增量形式迭代法的迭代次數(shù)與誤差

由圖1知，變管段長度增量形式的迭代法在較低壓力增量范圍內(nèi)具有較高精度，但迭代次數(shù)較多;在較高壓力增量范圍內(nèi)雖然迭代次數(shù)較少，但精度降低。當(dāng)壓力增量在0.4～1.2 MPa時(shí)，絕對(duì)誤差為0，而迭代次數(shù)≤50。

圖2 變壓力增量形式迭代法的迭代次數(shù)與誤差

由圖2知，變壓力增量形式的迭代法在管段分段數(shù)較低時(shí)，雖然迭代次數(shù)較少，但精度較低;在管段分段數(shù)較高時(shí)，精度較低，迭代次數(shù)也較多，只有當(dāng)管段分段數(shù)在10～40時(shí)，絕對(duì)誤差為0，迭代次數(shù)≤100。相比而言，變管段增量形式的迭代法比變壓力增量形式的迭代法具有更強(qiáng)的適應(yīng)性，因?yàn)榍罢叩膲毫υ隽枯^低時(shí)能夠一直保持較高精度，而后者的管段分段數(shù)較高或較低均會(huì)影響計(jì)算精度。

圖3 龍格庫塔法迭代次數(shù)與絕對(duì)誤差的關(guān)系

由圖3知，龍格庫塔法無論壓力增量為多少，都能夠保持較高精度，只是在低壓力增量時(shí)迭代次數(shù)較高。將變管段長度增量形式的迭代法同龍格庫塔法進(jìn)行對(duì)比如圖4、圖5所示。結(jié)果表明:龍格庫塔法與迭代法迭代次數(shù)相當(dāng)，但龍格庫塔法在更寬壓力步長范圍內(nèi)比迭代法精度高，當(dāng)壓力增量達(dá)6 MPa時(shí)，絕對(duì)誤差比迭代法計(jì)算的絕對(duì)誤差低了約80%。因此龍格庫塔法性能優(yōu)于迭代法。

圖4 龍格庫塔法與迭代法迭代次數(shù)對(duì)比

5 結(jié)論

(1)變壓力增量形式的迭代法與變管段增量形式的迭代法相比，前者在較低或較高管段分段數(shù)條件下精度均較低，適應(yīng)性不強(qiáng);而后者在較低的壓力增量范圍內(nèi)能夠保持高精度，略優(yōu)于前者，但在高壓力增量范圍內(nèi)精度較低。

圖5 龍格庫塔法與迭代法絕對(duì)誤差對(duì)比

(2)龍格庫塔法相比其他2種方法在較寬的壓力增量范圍內(nèi)均具有最佳的精度，且迭代次數(shù)與變管段增量形式的迭代法相當(dāng)，推薦其為產(chǎn)水氣井井底壓力數(shù)值求解方法。

［1］李穎川.定向井氣液兩相流壓力計(jì)算數(shù)值方法［J］.天然氣工業(yè)，1990，10(2):24-29.

［2］李穎川.采油工程［M］.北京:石油工業(yè)出版社，2009:22.

［3］Hagedorn A R，Brown K E.Experimental Study of Pressure Gradients Occurring During Continuous Two-Phase Flow in Small Diameter Vertical Conduits［J］.Journal of Petroleum Technology，1965，17(4):75-84 .

［4］Lee，Anthony L.Viscosity of Natural Gases［J］.Journal of Petroleum Technology，1966:997.

［5］Dranchuk P M，Abu-Kassem J H.Calculation of Z Factors for Natural Gases Using Equations of State［J］.J.Cdn.Pet.Tech.，1975，14(3):34-36.

［6］李仕倫.天然氣工程［M］.北京:石油工業(yè)出版社，2000:23-47.