APOS案例教學法在高等數(shù)學教學中的初探

楊立芬

【摘 要】APOS案例教學法指學生在教師的指導下經(jīng)過Action（操作或活動階段）、Process（過程階段）、Object （對象階段）、Scheme（模型階段）四個階段對問題進行探討的教學方法。在高等數(shù)學教學過程中使用APOS案例教學法，不僅分析了高等數(shù)學概念的邏輯結構，又分析了學生在學習過程中的思維過程。這種方法有利于促使學生形成相對穩(wěn)定的數(shù)學概念心理圖式，為學生能夠運用數(shù)學解決實際問題奠定了基礎。

【關鍵詞】APOS理論；高等數(shù)學教學

目前，多數(shù)高職院?！耙詰脼槟康模员匦?、夠用為目的”的原則，采取壓縮公共基礎課課時、增大專業(yè)課實習實訓的措施。在這種情況下，多數(shù)高職教師在高數(shù)課堂上弱化基本概念的教學、偏面強調(diào)數(shù)學的應用，把高等數(shù)學的教學變成了講例題、做練習題、答考題的應試教學模式?；靖拍畹慕虒W是高等數(shù)學教學的根本，是提煉數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神的平臺。筆者認為教師采用APOS案例教學法講授數(shù)學概念，能夠很好地解決了高職數(shù)學教師所面臨的問題，提高學生運用數(shù)學的能力。

一、APOS理論概述

APOS理論是個體學習數(shù)學的學習理論，該理論闡述了：個體認知數(shù)學概念的過程對于數(shù)學學習有指導性的作用?；顒?、過程、對象和圖式是個體對數(shù)學概念的認知的四個階段，具體涵義如下：

“活動”（action）是個體對數(shù)學“對象”進行變形，這種變形在外部刺激的條件下，通過學習動作指示來獲得，這種獲得有時顯而易見，有時來自記憶。當重復并反省“活動”時，個體能夠形成內(nèi)部構造，此時“活動”就內(nèi)化為“過程”（process），具體表現(xiàn)為個體能夠從逆向推到數(shù)學概念，同時構造更復雜的“活動”。個體將“過程”（process）看作整體，同時可以對概念進行變形，這時“過程”就凝聚成“對象”（object），進而個體頭腦中形成一個協(xié)調(diào)的網(wǎng)絡，即數(shù)學概念的“圖式”（skema）。這個協(xié)調(diào)的網(wǎng)絡在某種意義上能明確地或隱含地決定哪些現(xiàn)象是“圖式”的范圍。

二、APOS案例教學法

APOS理論對學生的概念理解作出了分層分析的基礎上，可以預測學生對概念作出的心理建構。筆者在APOS理論的指導下，對案例教學法進行了完善。

1.概念引入

在教學中，針對不同的數(shù)學概念以實際生活或專業(yè)應用為背景引入概念，讓學生親身體驗、感受概念的直觀背景，并通過組織整理、分析歸納接觸到的實例來直觀地幫助學生形成定義，在引入概念時要充分考慮學生的認知規(guī)律，引例要遵循直觀性、可接受性原則。因此，引例的選取非常重要。在高等數(shù)學教學中要有些經(jīng)典引例，例如“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”、劉徽的“割圓術”、變速指點的瞬時速度、曲線的切線斜率、曲邊梯形的面積、變速質(zhì)點的位移。引例分析能使學生親身體驗數(shù)學概念的背景，引導其對背景分析歸納，抽象共性，直觀地幫助學生形成定義，實現(xiàn)從具體到抽象，為概念表述做準備?？傊盎顒印彪A段，有利于激發(fā)學生的學習興趣和強烈的求知欲及創(chuàng)造力，還有利于激發(fā)學生去構建新理論的信心和內(nèi)在驅動力。

2.概括表述

概念、方法的概括，是一種邏輯方法，即用已知數(shù)學知識、方法明確另一個概念、方法內(nèi)涵。在教學中要貫徹發(fā)現(xiàn)法的教學原則，充分發(fā)揮學生的主題能動性，為學生營造一個再造心智活動過程。美國微積分教學的“四原則”為概念、方法的表述提供了借鑒，即在數(shù)學對象闡明過程中要盡量使用圖像、數(shù)值、符號和語言。用多元表征方式展現(xiàn)概念、方法，不僅符合學生個體認知規(guī)律，又有利于其理解。比如在對極限概念的表述過程中不僅要用自然的定性描述語言，也要用數(shù)學語言描述，同時還要用數(shù)學符號進行描述，最好再用數(shù)值化列表作圖逼近的方法，具體形象地體現(xiàn)自變量趨于一個值時，函數(shù)值逼近某一具體值得趨近過程。培養(yǎng)學生用標準數(shù)學語言來表述概念，對概念表述時特別注重精確性。

3.分析解剖

當概念進入對象狀態(tài)時，便呈現(xiàn)出一種靜態(tài)結構關系，有利于從整體把握其性質(zhì)。“對象”狀態(tài)是通過前面的活動和抽象，個體認識了概念的本質(zhì)，并賦予概念定義和符號，令其達到精致，從而成為一個具體的對象，在以后的學習中用此具體對象開展新的活動。在此過程中，對象轉變?yōu)榧磳⒈徊僮鞯摹皩嶓w”。所以，在教學實踐中要特別注重對數(shù)學概念表達形式中的精煉語言和所使用的符號的涵義分析解剖。分析概念所適用的條件和范圍時，要從多角度和多方位來考慮。在教學中對數(shù)學概念的含義作更深入的分析解剖，具體表現(xiàn)在對其內(nèi)涵、外延的進一步說明，比如與其他概念的聯(lián)系與比較等，努力揭示抽象概念的“本原”意義，闡明隱藏在形式符號后的數(shù)學思想方法。一個完整的數(shù)學概念真正成型，必須要正確把握概念的內(nèi)涵和外延。在高等數(shù)學教學過程中，教師要有意識地引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學思維過程中概念的矛盾運動和發(fā)展變化，揭示出數(shù)學概念之間的關系。數(shù)學教師就是幫助學生發(fā)現(xiàn)隱藏在“冰冷的形式”背后的“火熱的思考”。例如講解多元函數(shù)微積分時要把該知識與一元函數(shù)微積分相應的概念進行歸納比較，突顯出其內(nèi)在關聯(lián)與區(qū)別。事實上，在整個高等數(shù)學的學習過程中貫穿對數(shù)學概念的分析解剖，能夠促使個體對數(shù)學概念的強化補充，建立內(nèi)在統(tǒng)一的概念網(wǎng)絡，同時有利于學生形成并發(fā)展主題的數(shù)學思維能力。

4.形成穩(wěn)定的心理圖式

此時的數(shù)學概念已經(jīng)在頭腦中形成總和心理圖式，該圖式含有具體實例、抽象過程、完整定義乃至和其他概念的區(qū)別與聯(lián)系。教學中要在概念的應用中加深對所學概念的理解和把握，從而形成數(shù)學意識以及分析解決實際問題的能力。要努力揭示概念的客觀背景和在解決實際問題中的意義，盡可能給出幾何解釋、物理解釋和其他聯(lián)系實際意義的解釋。既要闡釋概念的實際應用又要闡釋數(shù)學應用，舉一些和實際生活相關的例子，也要把所講概念運用于解決數(shù)學問題。經(jīng)過長期的學習活動，“模型”階段才能不斷完善。在學習過程中教師應該深刻地揭示數(shù)學概念的矛盾運動和辯證發(fā)展，長期反復，循序漸進，螺旋上升直至建立和形成較穩(wěn)定的數(shù)學概念心理圖式，個體在心理圖式形成的過程中逐漸具備運用數(shù)學解決實際問題的能力。

在高等數(shù)學教學過程中運用APOS案例教學，不僅有利于教師有效組織課堂教學，還有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，提高學生運用數(shù)學解決實際問題的能力。

（作者單位：石家莊財經(jīng)職業(yè)學院）