數(shù)值方法中Runge-Kutta方法改進(jìn)的探討

趙 學(xué) 杰

(德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 德州 253023)

數(shù)值方法中Runge-Kutta方法改進(jìn)的探討

趙 學(xué) 杰

(德州學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 德州 253023)

根據(jù)一階常微分方程數(shù)值解的收斂性與穩(wěn)定性，從固步長的Runge-Kutta法出發(fā)，考慮變步長的Runge-Kutta法，討論了3種改進(jìn)算法，即折半步長Runge-Kutta法、Runge-Kutta-Fehlberg法和Zadunaisky方法.并且分別討論了3種變步長的Runge-Kutta法的精度及效率.

數(shù)值解；Runge-Kutta法；變步長的Runge-Kutta法；自適應(yīng)

這是固定步長的Runge-Kutta法在不考慮步長變化下常用的一種方法，如果考慮步長h的變化呢?

考慮到計(jì)算的簡(jiǎn)便與精度，一般不考慮步長h的變化，如經(jīng)典4階 Runge-Kutta法，因?yàn)橐龅胶侠磉x擇步長h的大小是一種比較復(fù)雜的問題，它與問題本身及所選用的數(shù)值方法都有關(guān)系，單從每一步看，步長越小，截?cái)嗾`差就越?。坏S著步長的縮小，在一定求解范圍內(nèi)所要完成的步數(shù)就增加了. 步數(shù)的增加不但引起計(jì)算量的增大[1]，而且可能導(dǎo)致舍入誤差的嚴(yán)重積累.采取固定步長只是計(jì)算上的簡(jiǎn)便，在計(jì)算精度與效率上有較大的缺陷，在選擇步長時(shí)，怎樣衡量和檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的精度？如何依據(jù)所獲得的精度處理步長[2]？

1 三種改進(jìn)算法

考慮到如下兩個(gè)問題：1) 步長h取的太小，便增加了許多不必要的計(jì)算量.2) 步長h取得太大，其計(jì)算度很難得以保證.因此，考慮給定一個(gè)數(shù)值解與精確解的誤差容限，由這個(gè)誤差容限缺點(diǎn)數(shù)值計(jì)算中步長的選擇，在實(shí)際應(yīng)用中，精確解是未知的，可以考慮從另一角度入手，即每走一步進(jìn)程中，采取兩個(gè)不同的方式，通過比較結(jié)果決定選取步長h.

自適應(yīng)(即變步長h)的 Runge-Kutta方法有很多種，這里只討論 3種：折半步長 Runge-Kutta法、Runge-Kutta-Fehlberg法和Zadunaisky方法.

1.1 折半步長Runge-Kutta法：

由(1)式與(2)式有：

因此，我們得到變步長的Runge-Kutta方法的終止準(zhǔn)則：

1.2 R-K-F(Range-Kutta-Fehlberg法)

Fehlberg于1970年提出用5階Runge-Kutta法：

去估計(jì)4階Runge-Kutta法：

其中：

稱之為R-K-F法.

(3)式的局部截?cái)嗾`差為 o(h6)，即：.

(4)式的局部截?cái)嗾`差為 o(h5)，即：.

un+1的誤差階數(shù)比yn+1誤差階數(shù)高，因此，有可計(jì)算的誤差估計(jì)：

于是，據(jù)(5)式及(6)式有：

利用 (8) 估計(jì)式選取合適的步長h，在 (7) 式中以qh代替h，其中q為正數(shù)，但不能太接近與0，再由(8)式有.假設(shè)誤差容限TOL為給定的，則可選取q，使有：, 即：.實(shí)際使用時(shí)，常取

由于假定un=yn，(3)減去(4)得：

1.3 Zadunaisky方法

這種方法為Zadunaisky于1976年給出的一個(gè)技巧，它可以附屬于任何一種p階時(shí)間步進(jìn)方法：

這種方法采取了另一種比較方式，即采用了p次插值多項(xiàng)式與4階Runge-Kutta的結(jié)合，現(xiàn)在我們用數(shù)值求解常微分方程

假定已知p+1個(gè)值 yn-p,yn-p+1,… yn，它們不必為等距點(diǎn)上的值，構(gòu)造一個(gè) p次插值多項(xiàng)式 p(ti)滿足p(ti)=yi(i = n - p,n - p + 1,… n)，并考慮常微分方程組

以下指出兩個(gè)很重要事實(shí)：

1) 常微分方程組(11)只是原始方程組的一個(gè)小擾動(dòng)，由于數(shù)值方法中為p階， p(ti)為p+1個(gè)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式，因此有 p(t) = y(t) + o(hp+1)，所以只要f充分光滑，則：

2) 常微分方程組(12)的是精確解為z=p，通過代換即得證.

利用相應(yīng)的數(shù)值方法去逼近常微分方程組的解在zn+1的值，用的恰好是在計(jì)算yn+1使用到的條件：相同的初始值，相同的解非線性方程組的方法，相同的終止條件，結(jié)果為：

其中 g(t,z) = f(t,z) + [p'(t) - f(t,p(t)]，由于g≈f，可以假設(shè)zn+1的誤差類似于yn+1的誤差，得到估計(jì)式.

考慮p=4時(shí)的情況：開始時(shí)，只有一個(gè)初始條件，因此可考慮先用4階Runge-Kutta法算出前4個(gè)點(diǎn)，再考慮使用Zadunaisky法.

存在常數(shù)k，使 τn+1= kh4, 即

假定誤差容限TOL確定，則可由q來確定步長h的選擇：

則可取q=1， y(tn+1)≈ yn+1，且下一步仍用這個(gè)h; 若

若不取yn+1，而是將步長縮小，為了確定步長縮小到不至于無限循環(huán)下去，我們給出了一個(gè)步長的下限，如hmin，若 h＜hmin，則終止計(jì)算，并給出終止的信號(hào)，當(dāng)過小時(shí)，比TOL小到一定的程度時(shí)，則增大步長h.

2 結(jié)語

通過對(duì)上述問題的研究探討，引入了3種變步長的Runge-Kutta法的計(jì)算方法，同時(shí)給出了精度及效率，作為妥協(xié)，如果能在計(jì)算過程中實(shí)時(shí)控制步長的大小，就可以在獲得較高的計(jì)算速度的同時(shí)，保證較高的精度.

[1] 關(guān)治,陸金甫.數(shù)值分析基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,1998:428-445.

[2] 李慶揚(yáng),王能超,易大義.數(shù)值分析[M]. 4版.武漢:華中科技大學(xué)出版社,2006:112-120.

[3] 諸梅芳,屈興華,鄧乃惠,等.計(jì)算方法[M].北京:北京工業(yè)大學(xué)出版,1988:215-219.

[4] 袁慰平,孫志忠,吳宏偉,等.計(jì)算方法與實(shí)習(xí)[M]. 4版.北京:清華大學(xué)出版社,2005:167-173.

[5] GERALD C F, WHEATLEY P O.應(yīng)用數(shù)值分析[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006:277-283.

(責(zé)任編校：李建明英文校對(duì)：李玉玲)

Discussion on Improving Runge-Kutta Methods in Numerical Analysis

ZHAO Xue-jie
(School of Mathematical Sciences, Dezhou University, Dezhou, Shandong 253023, China)

Based on the convergence and stability of the numerical solution of a differential equation, from a solid step Runge-Kutta method, it has considered variable step Runge-Kutta method. Three modified algorithm are discussed. They are step reduced by half Runge-Kutta method, Runge-Kutta-Fehlberg method and Zadunaisky method. At the same time, the accuracy and efficiency of variable step Runge-Kutta method are discussed.

numerical solution; Runge-Kutta Method; variable step Runge-Kutta method; self-adaption

O241.8

A

1673-2065(2014)04-0023-04

10.3969/j.issn.1673-2065.2014.04.006

2014-04-25

山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2010Al019);山東省優(yōu)秀中青年科學(xué)家科研獎(jiǎng)勵(lì)基金項(xiàng)目(BS2013HZ026)

趙學(xué)杰(1978-),男,河北棗強(qiáng)人,德州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院講師,理學(xué)碩士.