分裂導(dǎo)線次檔距振蕩研究

李 黎，王騰飛，陳元坤

（1．華中科技大學(xué) 土木工程與力學(xué)學(xué)院，武漢 430074；2華中科技大學(xué) 控制結(jié)構(gòu)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074；3．中南建筑設(shè)計(jì)院股份有限公司，武漢 430071）

次檔距振蕩是一種由迎風(fēng)側(cè)子導(dǎo)線的尾流誘發(fā)背風(fēng)側(cè)子導(dǎo)線振動(dòng)的現(xiàn)象，是分裂導(dǎo)線的特有振動(dòng)現(xiàn)象，它屬于氣動(dòng)不穩(wěn)定引起的振動(dòng)。次檔距振蕩的振動(dòng)頻率約為1～3 Hz，振幅為0．1～0．5 m，振動(dòng)軌跡呈水平扁長(zhǎng)橢圓，會(huì)造成子導(dǎo)線間的相互碰撞和鞭擊，磨損導(dǎo)線，且較大的振幅也使間隔棒線夾處導(dǎo)線的動(dòng)彎應(yīng)變?cè)龃?，?dǎo)致導(dǎo)線疲勞斷股。次檔距振蕩涉及到復(fù)雜的流固耦合和空氣動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。加上子導(dǎo)線和間隔棒之間的相互作用，使得該問(wèn)題的研究難度比較大。Simp-son［1－2］與 Cooper［3－4］利用準(zhǔn)定常線性馳振理論，預(yù)測(cè)特定條件下馳振發(fā)生的邊界條件，并在試驗(yàn)條件下證明這些不穩(wěn)定。Tsui等［5－6］利用準(zhǔn)定常理論研究了亞臨界與超臨界流體范圍內(nèi)處在固定導(dǎo)線尾流中的背風(fēng)面子導(dǎo)線的二維馳振穩(wěn)定問(wèn)題。Price［7］同時(shí)利用準(zhǔn)定常線性馳振理論與無(wú)阻尼理論分析尾流馳振發(fā)生的條件，結(jié)果表明兩種理論都證明背風(fēng)面導(dǎo)線的固有頻率對(duì)尾流馳振的發(fā)生十分重要，并通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果證明了該結(jié)論。葉志雄［8］給出了控制次檔距振蕩的阻尼間隔棒最大安裝距離的計(jì)算方法。馮學(xué)斌［9］對(duì)多分裂導(dǎo)線次檔距的優(yōu)化布置進(jìn)行了研究。相對(duì)來(lái)說(shuō)，國(guó)內(nèi)對(duì)分裂導(dǎo)線的次檔距研究不夠深入，集中于對(duì)次檔距振蕩控制的研究，缺少計(jì)算分裂導(dǎo)線次檔距振蕩成熟的數(shù)學(xué)模型與理論分析，因此有必要對(duì)分裂導(dǎo)線的尾流馳振機(jī)理進(jìn)行深入研究。本文將在 Simpson［10］、Tsui等［5］研究的基礎(chǔ)上基于準(zhǔn)定常理論建立分裂導(dǎo)線次檔距振蕩的二自由度振子模型振動(dòng)方程，利用穩(wěn)定性理論對(duì)振子模型初始平衡位置的進(jìn)行分析，得到次檔距振蕩發(fā)生的臨界條件，并研究了其參數(shù)敏感性，對(duì)次檔距振蕩的控制給出了建議。

1 次檔距振蕩的模型

研究表明上游迎風(fēng)側(cè)子導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)對(duì)下游子導(dǎo)線的運(yùn)動(dòng)影響很小，可假定上游子導(dǎo)線為固定靜止?fàn)顟B(tài)［11］，重點(diǎn)研究其尾流中背風(fēng)下游子導(dǎo)線的馳振現(xiàn)象。大量研究表明二維模型能反映尾流馳振的基本現(xiàn)象，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 背風(fēng)導(dǎo)線二維振子模型Fig．1 Two-dimensional oscillator model of the leeward wire

振子模型的非線性主要局限于氣動(dòng)力模型，結(jié)構(gòu)模型是線性。為方便建立數(shù)學(xué)模型，作用在下游子導(dǎo)線上的氣動(dòng)力為F，假設(shè)下游子導(dǎo)線的質(zhì)量為m，直徑為d，只考慮尾流中下游子導(dǎo)線的平面運(yùn)動(dòng)，且其支撐于正交的彈簧阻尼系統(tǒng)，x與z向的剛度分別為Kx、Kz，且其傾角為φ。阻尼比分別為ζx、ζz。沿x與z向的諧振頻率分別為fx、fz。令其在平衡位置的坐標(biāo)為（x0，z0），受擾動(dòng)后新的位置為（x0＋x，z0＋z）。

根據(jù)牛頓第二定律，可建立尾流中下游背風(fēng)側(cè)子導(dǎo)線的振動(dòng)方程為：

式中：Fx，F(xiàn)z分別是作用在尾流中下游子導(dǎo)線的氣動(dòng)升阻力在兩個(gè)主軸方向的分力，kxx，kzz是導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的軸向剛度，其與正交彈性支撐系統(tǒng)的剛度Kx、Kz存在如下關(guān)系：

大量研究表明，尾流馳振是由描述平均的氣動(dòng)力現(xiàn)象的參數(shù)所決定的，而這些參數(shù)可以在物體固定不動(dòng)時(shí)測(cè)得［12］。當(dāng)圓柱處于另一圓柱的尾流中時(shí)，考慮尾流的屏蔽效應(yīng)后，作用到其上的來(lái)流速度Vl不同于自由均勻來(lái)流速度V0，為簡(jiǎn)化分析，尾流速度Vl的方向假定為與V0一致。下游子導(dǎo)線相對(duì)于尾流速度Vl的氣動(dòng)力系數(shù)分別為槇CL、槇CD和槇Cm，由于導(dǎo)線是圓截面，不考慮扭矩系數(shù)。而相對(duì)于自由均勻來(lái)流的氣動(dòng)力系數(shù)可分別表示為CL、CD。其關(guān)系如式（3）所示：

尾流中的速度Vl可表達(dá)成式（4）：

但若下游子導(dǎo)線在自由來(lái)流下的阻力系數(shù)為CD∞，Vl則可近似表示為：

式中：b＝（CD／CD∞）1／2，且通常取 CD∞＝1．2。

下游子導(dǎo)線支撐于兩正交且平行于主軸的彈簧阻尼系統(tǒng)。在這種情形下，子導(dǎo)線可以在平衡位置振動(dòng)。則作用在尾流中的背風(fēng)子導(dǎo)線的氣動(dòng)力可表示為：

式中：ρ為空氣密度，取值為 1．22 kg／m3。

圖2 氣動(dòng)力與速度矢量分解圖Fig．2 Resolved components of aerodynamic and velocity vector

參考圖2可知，兩軸向分力Fx、Fz與氣動(dòng)升阻力有如下關(guān)系：

式中：α為尾流速度與y軸所成的角度，且其滿足如下關(guān)系：

綜合式（3）～式（8）可得到作用在尾流中下游子導(dǎo)線的氣動(dòng)力，并代入到振動(dòng)方程（1）中可得到二自由度振子模型完整的振動(dòng)方程為：

式中：q＝1／2ρd為氣壓，氣動(dòng)升阻力系數(shù) CL與 CD是尾流中相對(duì)位置的函數(shù)。本文利用上節(jié)中通過(guò)CFD仿真并利用多項(xiàng)式擬合得到的表達(dá)式進(jìn)行后續(xù)分析。下節(jié)中將討論該振動(dòng)方程組的穩(wěn)定性問(wèn)題以研究尾流中的背風(fēng)側(cè)子導(dǎo)線發(fā)生次檔距振蕩的臨界條件。

2 次檔距振蕩穩(wěn)定性分析

本節(jié)從穩(wěn)定性理論出發(fā)揭示分裂導(dǎo)線的次檔距振蕩的機(jī)理。而穩(wěn)定性分析方法歸結(jié)為對(duì)振動(dòng)微分方程的初值穩(wěn)定性問(wèn)題，通過(guò)臨界狀態(tài)計(jì)算確定次檔距振蕩發(fā)生的臨界風(fēng)速。首先將非線性振動(dòng)微分方程線性化，根據(jù)系統(tǒng)的特征值分析來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若系統(tǒng)的特征根均為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)則系統(tǒng)初值穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。對(duì)于直接求解特征值工作量很大的系統(tǒng)，通常采用代數(shù)判據(jù)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，常用的判據(jù)有：Routh穩(wěn)定判據(jù)與Nyquist穩(wěn)定判據(jù)。本文將采用Routh穩(wěn)定判據(jù)，其本質(zhì)是通過(guò)系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得出全部根具有負(fù)實(shí)部的條件，從而判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是一種時(shí)域判據(jù)，其計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，應(yīng)用廣泛。

為簡(jiǎn)化穩(wěn)定性分析，假定背風(fēng)子導(dǎo)線的初始平衡位置為（x0，z0），只考慮子導(dǎo)線圍繞平衡位置的小幅振動(dòng)，且將非線性氣動(dòng)力線性化。將非線性氣動(dòng)力表達(dá)式通過(guò)泰勒公式在初始平衡位置為（x0，z0）處展開(kāi)可得：

式中：CD0與CL0是平衡位置處的氣動(dòng)力系數(shù)CD（x0，z0）與 CL（x0，z0）的簡(jiǎn)寫(xiě)。

尾流的相對(duì)速度Vr平方形式可表示為：

由于x與z相對(duì)較小，因此傾角α較小，可得到：

并引入無(wú)量綱坐標(biāo)X＝x／d與Z＝z／d，定義無(wú)量綱導(dǎo)數(shù)，同樣 C、C、C有類似的表DzLxLz達(dá)式，且忽略高階項(xiàng)。

令＝X－X0，＝Z－Z0，并將上述線性化的氣動(dòng)力代入到振動(dòng)方程（9）中，可得到最終的線性化的振動(dòng)方程為：

合并與及它們的導(dǎo)數(shù)，用矩陣形式表達(dá)可得到下式：

式中為無(wú)量綱位移向量；質(zhì)量矩陣MSTR；結(jié)構(gòu)剛度矩陣為；氣動(dòng)剛度矩陣為；結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣為；氣動(dòng)阻尼矩陣為，平衡位置處的氣動(dòng)力為 F＝Aer

為研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性，假定方程（13）解的形式為：

將上式代入到振動(dòng)方程中可得到線性齊次方程為：

式中，Ur為縮減速度。

上述方程有非零解的必要條件是其系數(shù)行列式D＝0，從而可得到關(guān)于λ的特征方程為：

其中多項(xiàng)式的系數(shù)表達(dá)式如下：

系統(tǒng)的特征方程為四次方程式，可根據(jù)勞斯（Routh）判據(jù)進(jìn)行穩(wěn)定分析，為保證下游子導(dǎo)線處于穩(wěn)定狀態(tài)，必須滿足如下不等式：

上述各項(xiàng)計(jì)算利用MATLAB編程來(lái)完成，根據(jù)各實(shí)際參數(shù)，計(jì)算出h0～h4，并按Routh判據(jù)作出穩(wěn)定性判斷，根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定臨界條件可求得分裂導(dǎo)線發(fā)生次檔距振蕩的臨界風(fēng)速。

當(dāng)導(dǎo)線系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，其有兩種可能導(dǎo)致子導(dǎo)線會(huì)偏離平衡位置，即當(dāng)h0＝0時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生靜態(tài)分岔；當(dāng)h1h2h3－－h(huán)0＝0或h3＝0或h2h3－h(huán)1＝0時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生Hopf動(dòng)態(tài)分岔。靜態(tài)分岔是針對(duì)平衡點(diǎn)的分岔問(wèn)題；而Hopf動(dòng)態(tài)分岔指參數(shù)變化且經(jīng)過(guò)分岔值時(shí)，從平衡狀態(tài)產(chǎn)生的孤立的周期運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象，也即從中心型平衡點(diǎn)產(chǎn)生的極限環(huán)的現(xiàn)象。為簡(jiǎn)化穩(wěn)定性分析，在下文分析中假定正交彈簧的傾角φ＝0；且忽略系統(tǒng)的阻尼作用。

2．1 Hopf動(dòng)態(tài)分岔

由于下游子導(dǎo)線的平均阻力系數(shù)CD＞0，則h3恒大于零。對(duì)于導(dǎo)線次檔距振蕩問(wèn)題，h2h3－h(huán)1也總大于零。因此發(fā)生Hopf動(dòng)態(tài)分岔的臨界條件是：

將各參數(shù)代入，式（19）可以寫(xiě)成以下形式：

式中：

當(dāng)縮減速度Ur存在正實(shí)根時(shí)，就會(huì)發(fā)生Hopf動(dòng)態(tài)分岔。在此條件下，下游子導(dǎo)線將偏離其平衡位置而處于不穩(wěn)定狀態(tài)，即導(dǎo)線系統(tǒng)發(fā)生次檔距振蕩。方程（20）中Ur有正實(shí)根必須滿足如下條件：

將 A1、A2、A3代入上式中，可得：

式中

在上游子導(dǎo)線尾流區(qū)的大部分位置均能滿足此條件。且質(zhì)量參數(shù)a必須滿足：

式中：

由上述條件可知，導(dǎo)線的質(zhì)量參數(shù)影響其穩(wěn)定性。通過(guò)求解方程（20）的根可得到導(dǎo)線系統(tǒng)失去穩(wěn)定狀態(tài)的臨界縮減速度為：

2．2 Hopf靜態(tài)分岔

由方程（17）可知，當(dāng)h0＝0時(shí)，其中一個(gè)特征根為零。此即為靜態(tài)分岔的臨界條件。這可利用振動(dòng)原理來(lái)理解，通過(guò)振動(dòng)方程（14）可看出，導(dǎo)線系統(tǒng)的氣動(dòng)剛度與－／2成正比，當(dāng)均勻來(lái)流風(fēng)速V0增大到一定的程度時(shí)，氣動(dòng)剛度將大于彈性剛度，使整個(gè)系統(tǒng)出現(xiàn)負(fù)剛度而導(dǎo)致其偏離平衡位置失去穩(wěn)定狀態(tài)。由h0＝0可求得靜態(tài)分岔的臨界縮減風(fēng)速為：

3 數(shù)值算例

振動(dòng)系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定與其無(wú)量綱質(zhì)量參數(shù)a有關(guān)，由于空氣的密度很小，典型架空輸電線路工程中的分裂導(dǎo)線的無(wú)量綱質(zhì)量參數(shù)a約為2×10－4。取導(dǎo)線直徑d為30 mm，平均升阻力系數(shù)曲線取文獻(xiàn)［6］結(jié)果，利用上述系統(tǒng)穩(wěn)定性理論對(duì)處于上游子導(dǎo)線尾流區(qū)域中不同位置的下游子導(dǎo)線進(jìn)行穩(wěn)定性分析。計(jì)算工況選取無(wú)量綱坐標(biāo) X＝7、10、20、25，Z＝－4、－2、0、2、4，經(jīng)MATLAB程序計(jì)算得到馳振臨界風(fēng)速Vcr隨頻率比f(wàn)z／fx變化的規(guī)律，計(jì)算得出不同工況下的變化規(guī)律相似。當(dāng)尾流中下游子導(dǎo)線相對(duì)上游子導(dǎo)線的坐標(biāo)為X＝10、Z＝2時(shí)，下游子導(dǎo)線發(fā)生馳振的臨界風(fēng)速Vcr的Hopf分岔邊界與靜態(tài)分岔邊界如圖3所示。

圖3 兩種分岔理論對(duì)應(yīng)的臨界風(fēng)速Vcr隨頻率比 fz／fx的變化Fig．3 The critical wind speed Vcr with the frequency ratio fz／fx changes under the two bifurcation theory

由圖3可看出，對(duì)于分裂導(dǎo)線這種無(wú)量綱質(zhì)量參數(shù)a非常小的情形，只有當(dāng)來(lái)流風(fēng)速V0增大到氣動(dòng)剛度大于彈性剛度時(shí)，才會(huì)發(fā)生靜態(tài)分岔，而在此之前尾流中的下游子導(dǎo)線已通過(guò)Hopf動(dòng)態(tài)分岔方式失穩(wěn)，發(fā)生尾流馳振，后者即為分裂導(dǎo)線中處于尾流中的下游子導(dǎo)線失穩(wěn)機(jī)理。同時(shí)還可看出，頻率比f(wàn)z／fx的增大會(huì)提高導(dǎo)線系統(tǒng)發(fā)生尾流馳振的臨界風(fēng)速Vcr，工程中一般采用合理間隔棒的型號(hào)與布置位置來(lái)調(diào)諧不同方向的頻率比，以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

阻尼參數(shù)是導(dǎo)線振動(dòng)系統(tǒng)的重要參數(shù)，通過(guò)計(jì)算研究阻尼參數(shù)的敏感性。計(jì)算工況選取為兩子導(dǎo)線的相對(duì)坐標(biāo)為X＝12、Z＝1．5，對(duì)振子模型中兩方向的阻尼比 ζx、ζz均分別取 0、0．5%、1%、3%時(shí)，進(jìn)行穩(wěn)定性分析，可得到不同阻尼比下其馳振臨界風(fēng)速Vcr隨頻率比變化的規(guī)律如圖3所示

圖4 不同阻尼比對(duì)應(yīng)的臨界風(fēng)速Vcr隨頻率比 fz／fx的變化Fig．4 The critical wind speed Vcr with the frequency ratio fz／fx changes under the damping ratio

由圖4可看出，當(dāng)阻尼比ζ從0增加到0．5%時(shí)，最小臨界風(fēng)速Vmincr僅增大2%。這說(shuō)明阻尼比較小時(shí)對(duì)馳振臨界風(fēng)速邊界區(qū)域的影響較小。當(dāng)阻尼比ζ增大到一定的程度時(shí)，其會(huì)改變發(fā)生馳振邊界區(qū)域，提高導(dǎo)線系統(tǒng)發(fā)生尾流馳振的最小臨界風(fēng)速Vmincr與臨界頻率比Rfcr＝fz／fx（小于該臨界頻率比將不發(fā)生尾流馳振），從而會(huì)減少其馳振區(qū)域，提高導(dǎo)線系統(tǒng)的穩(wěn)定性。導(dǎo)線系統(tǒng)的阻尼主要是依靠其自身的阻尼效應(yīng)，通過(guò)安裝阻尼間隔棒只能局部改變系統(tǒng)的阻尼，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的阻尼提高比較小。從阻尼貢獻(xiàn)抑制次檔距振蕩的角度看，安裝阻尼間隔棒并不是控制與防治導(dǎo)線尾流馳振的有效措施。較為有效的措施是縮短次檔距長(zhǎng)度，優(yōu)化阻尼間隔棒的安裝間距，以產(chǎn)生較大的能量耗散，從而把次檔距振蕩抑制在安全限度內(nèi)。

4 結(jié) 論

本文應(yīng)用準(zhǔn)定常理論，建立了分裂導(dǎo)線次檔距振蕩的振子模型，運(yùn)用穩(wěn)定性理論，推導(dǎo)了振蕩發(fā)生臨界風(fēng)速的計(jì)算公式，并研究了不同參數(shù)情況下臨界風(fēng)速的變化曲線，主要結(jié)論如下：

（1）對(duì)于分裂導(dǎo)線的次檔距振蕩，尾流中的下游子導(dǎo)線首先是通過(guò)Hopf動(dòng)態(tài)分岔方式失穩(wěn)，從而發(fā)生尾流馳振。

（2）頻率比的增大會(huì)提高導(dǎo)線系統(tǒng)發(fā)生尾流馳振的臨界風(fēng)速，工程中一般采用阻尼間隔棒，不等次檔距安裝，將間隔棒布置在接近振動(dòng)的波峰而遠(yuǎn)離波節(jié)點(diǎn)的地方，充分發(fā)揮其振動(dòng)阻尼作用，來(lái)調(diào)諧不同方向的頻率比，以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

（3）阻尼比較小時(shí)對(duì)馳振臨界風(fēng)速邊界區(qū)域的影響較小，當(dāng)阻尼比增大到一定的程度時(shí)，其會(huì)提高導(dǎo)線系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

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