基于DTCWT和Laplace小波相關(guān)濾波的爆炸復(fù)合結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法

思 悅，張周鎖，成 瑋，何正嘉，孔垂青

（1．西安交通大學(xué) 機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安 710049；2．中國重型機(jī)械研究院股份公司，西安 710032）

爆炸復(fù)合結(jié)構(gòu)已廣泛應(yīng)用于化工、石油、天然氣、航空航天、汽車等行業(yè)和領(lǐng)域［1］，并且有巨大的工程需求。隨著爆炸復(fù)合結(jié)構(gòu)應(yīng)用和需求的增加，對其結(jié)合狀態(tài)（質(zhì)量）的在線檢測和評估的需求也日益迫切，依據(jù)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的變化來識別和評估結(jié)構(gòu)的狀態(tài)和損傷是非常有效的結(jié)構(gòu)在線檢測和評估方法［2］。傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法要求同時測得激勵和響應(yīng)信號。然而在工程實際中，激勵信號的測量往往比較困難，因此，僅根據(jù)結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別的方法得到了發(fā)展［3］。

目前，根據(jù)結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)信號辨識結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的方法有多種，如文獻(xiàn)［3－5］中給出的直接根據(jù)輸出信號識別模態(tài)參數(shù)的方法，但這些方法要求信號是平穩(wěn)、均值為零的高斯分布，而且需要結(jié)合有效的剔除噪聲信號的方法。爆炸復(fù)合結(jié)構(gòu)由于兩種材料結(jié)合面的存在，屬于非均質(zhì)材料結(jié)構(gòu)，因而其動力學(xué)特性具有非線性，其動態(tài)響應(yīng)信號具有非平穩(wěn)性等特點，需要研究適用于非線性、非平穩(wěn)信號的模態(tài)參數(shù)識別方法。Laplace小波是根據(jù)工程實際的需要構(gòu)造出來的，具有與結(jié)構(gòu)沖擊響應(yīng)信號類似的單邊衰減性質(zhì)，能夠在強(qiáng)大噪聲或其他干擾中準(zhǔn)確捕捉到?jīng)_擊響應(yīng)信號，識別結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼比等模態(tài)參數(shù)，對單階模態(tài)具有很好的識別能力［6］。然而，當(dāng)多階模態(tài)混疊到一起時該方法難以精確識別各階模態(tài)參數(shù)。雙樹復(fù)小波變換（DTCWT）的濾波器頻響具有近似解析性，使其具有其他小波變換不具備的抗頻帶混疊特性［7－8］，可以將多模態(tài)混疊響應(yīng)信號以較小的頻帶泄漏分解到各自獨立的頻帶中，得到一組單模態(tài)分量。

本文結(jié)合DTCWT和Laplace小波的優(yōu)勢，提出一種基于DTCWT與Laplace小波相關(guān)濾波相結(jié)合的爆炸復(fù)合結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法。文中首先介紹相關(guān)理論和算法；然后，構(gòu)造仿真信號驗證了DTCWT對多階模態(tài)混疊響應(yīng)信號有效分離的能力；最后，將本文所提方法應(yīng)用于爆炸復(fù)合管模態(tài)參數(shù)提取。

1 模態(tài)參數(shù)識別原理

1．1 DTCWT基本原理［9－10］

經(jīng)典離散小波變換由于存在頻帶混疊效應(yīng)、平移變化性等缺點，限制了其在工程實踐中的應(yīng)用。雙樹復(fù)小波變換（DTCWT）是一種具有抗頻帶混疊和平移不變性等優(yōu)點的小波變換方法。DTCWT的實部和虛部的小波變換分別滿足完全重構(gòu)條件，且實部和虛部的離散小波函數(shù)構(gòu)成近似希爾伯特變換對，若ψh（t）和ψg（t）分別表示實部和虛部的實值小波，則DTCWT的復(fù)小波可表示為：

ψc（t）的頻響特性具有近似解析表達(dá)式，即濾波器頻響上幾乎沒有負(fù)頻率成分，因此，DTCWT能減小頻帶混疊效應(yīng)。

根據(jù)小波分析理論，雙樹復(fù)小波實部的小波系數(shù)與尺度系數(shù)（k）可以用內(nèi)積運(yùn)算表示為：

其中：l為尺度因子，J為分解層數(shù)。同理，可計算得到虛部的小波系數(shù)（k）和尺度系數(shù)m（k）。DTC-WT最終輸出的分解系數(shù)是由實部和虛部各自的運(yùn)算結(jié)果組合而成，如式（3）所示：

對分解后的小波系數(shù)重構(gòu)時，利用式（4）將其他尺度小波系數(shù)置零，可實現(xiàn)對DTCWT分解后某一尺度小波系數(shù)的單支重構(gòu)。

1．2 Laplace小波相關(guān)濾波的模態(tài)識別原理

Laplace小波是由 Freudinger等［11］構(gòu)造出來的一種單邊衰減的復(fù)指數(shù)小波，其解析表達(dá)式為：

將振動響應(yīng)信號x（t）進(jìn)行DTCWT后，得到一組單模態(tài)分量，如式（5）所示：

上式中參數(shù)變量γ＝｛f，ζ，τ｝決定了小波的特性，其中：f∈R＋表示阻尼固有頻率，決定了Laplace小波的振蕩頻率；ζ∈［0，1）R＋為黏滯阻尼比，ζ越大，La-place小波衰減越快；τ∈R為時間參數(shù)；系數(shù)A用來歸一化小波函數(shù)，通常令A(yù)＝1；Ws表示小波緊支區(qū)間的寬度，一般不需顯示表達(dá)。當(dāng) γ＝｛5，0．05，0｝，Ws＝5 s時，ψγ（t）的波形如圖 1所示，可見 Re（ψγ（t））和lm（ψγ（t））與單自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自由衰減響應(yīng)函數(shù)非常相似。

圖1 Laplace小波圖形Fig．1 Laplace wavelet

Laplace小波基函數(shù)庫ψ是由一系列小波原子組成的，其表達(dá)式為：

Laplace小波相關(guān)濾波法對結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的識別，是通過計算小波基函數(shù)庫中小波原子 與待分析響應(yīng)信號x（t）的內(nèi)積，來衡量它們之間的相似性，其內(nèi)積可以定義為：

內(nèi)積越大，兩者越相似，通常用相關(guān)系數(shù)kγ來量化 和之間的相關(guān)程度，即：

其中標(biāo)準(zhǔn)化因子將 kγ限制在0～1之間，kγ越大，表示兩者越相關(guān)，當(dāng) x（t）和 ψγ（t）完全線性相關(guān)時，相關(guān)系數(shù)kγ＝1。相關(guān)系數(shù)最大時刻對應(yīng)的Laplace小波原子的頻率f和阻尼比ζ，即為所分析響應(yīng)信號x（t）的阻尼固有頻率和黏滯阻尼比。

1．3 基于DTCWT和Laplace小波相關(guān)濾波模態(tài)識別原理

將DTCWT進(jìn)行響應(yīng)信號模態(tài)分離和Laplace小波相關(guān)濾波提取模態(tài)參數(shù)的優(yōu)勢相結(jié)合，提取爆炸復(fù)合結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。具體識別流程如圖2所示。

圖2 基于DTCWT和Laplace小波的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別流程Fig．2 The flow chart of structural modal parameter identification based on DTCWT and Laplace wavelet

首先，采用DTCWT對原始響應(yīng)信號 進(jìn)行分解和重構(gòu)，將x（t）中的各階模態(tài)分量分解到各自獨立的頻帶中，如式（5）所示。然后，構(gòu)造Laplace小波基函數(shù)庫，根據(jù)2．2節(jié)所述模態(tài)識別法分別對 dl（t）和 cJ（t）子頻帶信號進(jìn)行Laplace小波相關(guān)濾波，提取各階模態(tài)固有頻率和阻尼比。

由于Laplace小波相關(guān)濾波法是利用基函數(shù)庫中的小波原子逐一與待識別信號進(jìn)行匹配，計算量大。為了提高計算速度，在定義小波基函數(shù)庫時，先根據(jù)待識別信號的頻譜中指示的頻率，將基函數(shù)庫中的頻率因子f鎖定在較小的范圍內(nèi)，再指定范圍和間隔較大的阻尼比因子ζ，初步確定阻尼比大致所處的數(shù)量級。然后在相應(yīng)的數(shù)量級上進(jìn)行設(shè)置，以減少計算量。整個過程需要進(jìn)行二次濾波。

2 DTCWT模態(tài)分離的仿真驗證

為了驗證雙樹復(fù)小波變換對多階模態(tài)混疊響應(yīng)信號模態(tài)分離的能力，構(gòu)造一組多沖擊成分組成的信號y（t），模擬結(jié)構(gòu)的三階模態(tài)響應(yīng)信號。

其中：yi（t）（i＝1，2，3）表示單階模態(tài)沖擊響應(yīng)信號，其表達(dá)式如下所示：

式中：fi（i＝1，2，3）分別為：400 Hz，220 Hz，80 Hz；ζi（i＝1，2，3）分別為：0．004，0．02，0．04；n（t）表示白噪聲信號，沖擊發(fā)生時刻為t＝0．1 s，用1 024 Hz采樣頻率對響應(yīng)信號y（t）離散化，采樣點數(shù)為600。仿真信號y（t）及其組成成分的波形如圖3所示。

圖3 仿真信號及其組成成分Fig．3 The simulation signal and its components

利用DTCWT對此仿真信號進(jìn)行2層分解，得到三個子頻帶信號，對三個子頻帶信號進(jìn)行單支重構(gòu)并做出對應(yīng)的頻譜，如圖4所示?？梢奃TCWT可以很好地分離出各個沖擊響應(yīng)信號，各尺度中沒有產(chǎn)生虛假頻率成分，且受其他尺度能量泄漏影響很小。

利用DB8小波和EMD方法對仿真信號分解結(jié)果如圖5和圖6所示，圖5中，雖然a2尺度中的頻率成分可以分離出來，但是d1和d2尺度中均產(chǎn)生了290 Hz的虛假頻率成分。圖6中，IMF3尺度時域波形失真較嚴(yán)重，且頻譜中各尺度產(chǎn)生58 Hz、175 Hz等較多幅值較大的虛假頻率成分。

圖4 仿真信號的DTCWT分解結(jié)果Fig．4 DTCWT decomposition results of the simulation signal

圖5 仿真信號的DB8分解結(jié)果Fig．5 DB8 decomposition results of the simulation signal

圖6 仿真信號的EMD分解結(jié)果Fig．6 EMD decomposition results of the simulation signal

通過評估三種方法分解后的子帶信號與原始信號相對應(yīng)成分的相關(guān)系數(shù)，評估不同方法對混疊信號的分離能力。采用三種方法分解后的子帶信號與原始信號相對應(yīng)成分的相關(guān)系數(shù)如圖7所示。根據(jù)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，相關(guān)系數(shù)越大表示子頻帶信號與原始信號相對應(yīng)成分越接近。圖7各子頻帶中，利用DTCWT法分解的子帶信號與原始信號相對應(yīng)成分相關(guān)系數(shù)最大，說明分解后的信號失真最小。綜上述分析，由于DB8小波和EMD方法的頻帶混疊現(xiàn)象，產(chǎn)生了大量虛假頻率成分，而DTCWT法具有良好的抗頻帶混疊能力，對多模態(tài)混疊信號的分離能力優(yōu)于DB8小波和EMD等方法。

圖7 子頻帶信號與原始信號相對應(yīng)成分相關(guān)系數(shù)Fig7 Correlation coefficients between Sub-band signals with the components of original signal

3 實驗驗證

3．1 復(fù)合管振動響應(yīng)信號采集

以不銹鋼－碳鋼爆炸復(fù)合管為研究對象，驗證本文所述方法的有效性。搭建如圖8所示的爆炸復(fù)合結(jié)構(gòu)模態(tài)測試實驗臺，復(fù)合管長1 000 mm，外徑89 mm，碳鋼基管壁厚5 mm，不銹鋼襯管壁厚2 mm。復(fù)合管懸掛，采用力錘在管道右端敲擊作為激勵源，用加速度傳感器采集振動響應(yīng)信號。

圖8 爆炸復(fù)合管模態(tài)識別實驗臺Fig．8 Modal identification test bench of explosive cladding pipe

測試中，采樣頻率為10 240 Hz，采樣點數(shù)為10 000，復(fù)合管振動響應(yīng)信號如圖9所示，采用本文所述方法根據(jù)該振動響應(yīng)信號提取復(fù)合管模態(tài)參數(shù)。

圖9 實驗采集復(fù)合管振動響應(yīng)數(shù)據(jù)Fig．9 Experimental vibration response data of the explosive cladding pipe

3．2 復(fù)合管模態(tài)識別

采用DTCWT對該響應(yīng)信號進(jìn)行3層分解，各子頻帶信號及其頻譜如圖10所示，該方法將振動響應(yīng)信號中包含的前四階模態(tài)信號分解到各自獨立的頻帶中，沒有產(chǎn)生虛假頻率成分，只有d2頻帶中有一部分能量泄漏。

圖10 實驗數(shù)據(jù)的DTCWT分解結(jié)果及其頻譜Fig．10 DTCWT decomposition results of experimental data and its spectrum

采用Laplace小波對經(jīng)過DTCWT分解得到的各子頻帶信號進(jìn)行相關(guān)濾波，提取出各階模態(tài)參數(shù)，并與直接對原始信號進(jìn)行Laplace小波相關(guān)濾波的結(jié)果對比，結(jié)果如表1所示。一般地，根據(jù)輸入輸出信號做頻響函數(shù)分析可以精確識別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，本文中采用模態(tài)分析軟件Model Genius對根據(jù)激勵和響應(yīng)信號得到的頻響函數(shù)分析，所得到的模態(tài)參數(shù)作為該復(fù)合管的模態(tài)參數(shù)的參考值。結(jié)果顯示，本文方法識別的固有頻率最大誤差為0．022%，阻尼比最大誤差為2．74%，識別誤差小，精度高，與參考值最接近。直接相關(guān)濾波結(jié)果對固有頻率識別精度較高，最大識別誤差為0．14%，但是對阻尼比識別誤差較大，最大誤差為9．589%。可見，本文所提方法僅根據(jù)響應(yīng)信號便可精確識別爆炸復(fù)合管前四階模態(tài)參數(shù)。

4 工程應(yīng)用

在某不銹鋼－碳鋼爆炸復(fù)合管生產(chǎn)線有兩組編號為1和2的待檢測爆炸復(fù)合管，兩組管道尺寸相同（長度為9 600 mm，外徑114 mm，基管壁厚8 mm，襯管壁厚3 mm），結(jié)合狀態(tài)不同（爆炸焊接過程中所使用的炸藥量不同），根據(jù)本文所提的模態(tài)參數(shù)識別法，提取兩組管道的模態(tài)參數(shù)，從而區(qū)分不同狀態(tài)的管道。從兩組管道中各抽取一根管道，分別采集沖擊振動響應(yīng)數(shù)據(jù)，管道支撐方式為兩端簡支，采樣頻率為1 000 Hz，采樣點數(shù)為8 200。圖11和圖12為采集到的振動響應(yīng)信號。

表1 實驗數(shù)據(jù)模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果Tab．1 Modal parameter identification results of the experimental data

圖11 1號復(fù)合管振動響應(yīng)信號Fig．11 Vibration response signal of No．1pipe

圖12 2號復(fù)合管振動響應(yīng)信號Fig．12 Vibration response signal of No．2 pipe

利用本文方法提取該復(fù)合管模態(tài)參數(shù)。首先，采用DTCWT對兩組振動響應(yīng)信號分別進(jìn)行3層分解，其中1號分解結(jié)果及其頻譜如圖13所示，可見DTCWT很好地將振動響應(yīng)信號中包含的前四階模態(tài)信號分解到各自獨立的頻帶中，沒有產(chǎn)生虛假頻率成分，頻帶泄漏較小。然后，采用Laplace小波相關(guān)濾波法對各子頻帶信號進(jìn)行模態(tài)提取，其中圖13的d1子頻帶信號Laplace小波相關(guān)濾波結(jié)果如圖14所示，可見該子帶信號與Laplace小波相關(guān)系數(shù)最大值為1kr＝0．965，相關(guān)系數(shù)最大值時刻對應(yīng)的固有頻率f和阻尼比ζ就是該子帶信號的固有頻率和阻尼比。1號和2號爆炸復(fù)合管模態(tài)參數(shù)提取結(jié)果如表2所示，可見隨著管道結(jié)合狀態(tài)的變化，所有固有頻率和阻尼比均有規(guī)律地變化，其中阻尼比變化比較均勻，而高階固有頻率變化較大，低階變化很小，最小變化率只有0．06%，因此，精確識別模態(tài)參數(shù)對結(jié)構(gòu)狀態(tài)識別非常重要。本文所提方法僅利用振動響應(yīng)信號便可精確識別爆炸復(fù)合管模態(tài)參數(shù)，為進(jìn)一步根據(jù)模態(tài)參數(shù)變化識別爆炸復(fù)合管結(jié)合狀態(tài)提供了依據(jù)。

圖13 復(fù)合管振動信號的DTCWT分解結(jié)果及其頻譜Fig．13 DTCWT decomposition results of vibration signal and its spectrum

圖14 d1子頻帶信號的Laplace小波相關(guān)濾波結(jié)果Fig．14 Laplace wavelet correlation filtering results of d1 sub-band signal

表2 1號和2號管道模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果Tab．2 Modal parameter identification results of No．1and No．2 pipes

5 結(jié) 論

雙樹復(fù)小波濾波器組構(gòu)成近似希爾伯特變換對，具有良好的抗頻帶混疊特性，能夠?qū)⒒殳B信號以較小的能量泄漏分解到各自獨立的子頻帶中。Laplace小波相關(guān)濾波法能夠準(zhǔn)確提取結(jié)構(gòu)的單階模態(tài)參數(shù)。本文將兩者的優(yōu)勢相結(jié)合，提出了一種基于DTCWT和Laplace小波相關(guān)濾波的爆炸復(fù)合結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別方法。

將該法應(yīng)用于爆炸復(fù)合管模態(tài)參數(shù)提取實驗中，僅根據(jù)振動響應(yīng)信號成功提取了管道的前四階模態(tài)參數(shù)。對比結(jié)果表明，該方法僅利用響應(yīng)信號便可精確提取結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，提取精度優(yōu)于Laplace小波直接相關(guān)濾波法。將該方法應(yīng)用于生產(chǎn)線上不同結(jié)合狀態(tài)的爆炸復(fù)合管識別，提取出了不同狀態(tài)爆炸復(fù)合管的前四階模態(tài)參數(shù)，成功區(qū)分了不同結(jié)合狀態(tài)的復(fù)合管。為工程實際中爆炸復(fù)合結(jié)構(gòu)狀態(tài)檢測奠定了基礎(chǔ)。

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