Dithering對ADC量化誤差影響的分析研究

劉 欣，熊興中，楊平先

(四川理工學(xué)院人工智能四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川自貢 643000)

Dithering的中文意思為“抖動”，近年來，在ADC中加入抖動噪聲來提高動態(tài)性能獲得了研究人員的普遍重視和大力研究，如Dithering的加入可使15位20 Mbit/s的流水線ADC的無雜散動態(tài)范圍提高約29 dB［1］;惠普公司在矢量分析儀HP86400的12位ADC中加入Dithering使其分辨率提高了11 位［2］。

理論上，量化噪聲(QN)與輸入信號完全無關(guān)的ADC是不存在的。ADC的非線性特性決定了輸出噪聲相對于輸入信號畢竟存在一定的依賴關(guān)系。當(dāng)前的研究主要集中在Dithering－ADC結(jié)構(gòu)的優(yōu)化和Dithering噪聲對改善ADC 性能的應(yīng)用等方面［3－4］，文獻(xiàn)［3］探討了 Dithering對流水線型ADC的SFDR指標(biāo)的提升效應(yīng)，文獻(xiàn)［4］從硬件上證明了Dithering－ADC技術(shù)上的先進(jìn)性并給出了一定的優(yōu)化方案。而對于按照什么標(biāo)準(zhǔn)添加Dithering噪聲目前還少有文獻(xiàn)介紹和討論。本文將對Dithering－ADC中Dithering對系統(tǒng)性能影響的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析研究，并且以3種典型分布的抖動信號為例，分別從微分非線性誤差、諧波分量損傷和協(xié)方差等3方面進(jìn)行了理論分析和探討，并通過實(shí)驗(yàn)仿真進(jìn)行了驗(yàn)證，最后給出了Dithering信號的有效性條件，從而為有目的、有針對性地選擇Dithering信號提供了一定的參考。

1 Dithering算法的實(shí)現(xiàn)原理

由于ADC固有的非線性特性帶來了QN與輸入信號的關(guān)聯(lián)性，降低了系統(tǒng)性能，目前人們廣泛采用的有效方法是通過Dithering噪聲來減少量化噪聲對系統(tǒng)非線性性能的影響［5］。實(shí)際中QN以ADC譜分布的諧波形式出現(xiàn)，諧波或者QN的噪聲調(diào)制產(chǎn)物對于許多模擬數(shù)字的轉(zhuǎn)換應(yīng)用都是有害的，有目的地添加Dithering可將量化噪聲轉(zhuǎn)換成白噪聲，使得QN與輸入信號相關(guān)性減弱，或者不再相關(guān)，大大減少了QN對諧波分量的貢獻(xiàn)，從而有效地降低或抑制了ADC的量化噪聲對系統(tǒng)性能的影響。

本文所討論的Dithering信號采用加性(不減)方式，而且為了分析方便，系統(tǒng)采用窄頻帶Dithering結(jié)構(gòu)，如圖1所示。輸入信號經(jīng)過防混疊濾波器(低通濾波器)濾波后，Dithering信號與其疊加，然后進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換、D/A轉(zhuǎn)換，經(jīng)過低通濾波器對輸出信號進(jìn)行相應(yīng)的處理。

圖1 Dithering－ADC的模型框圖

微分非線性DNL(Differential Non－Linearity)是ADC相鄰2刻度差值的最大值，即對每個(gè)模擬數(shù)據(jù)按點(diǎn)量化產(chǎn)生的誤差，所有DNL的數(shù)學(xué)積分即為積分非線性，都屬于ADC的靜態(tài)誤差［6］。由于DNL由QN產(chǎn)生，根據(jù)ADC輸出碼字的概率密度函數(shù)，分析Dithering對DNL的總誤差影響。一個(gè)信號在ADC的量化過程中由DNL造成的總誤差為

式中:I為碼字的位數(shù);P(I)為輸出碼的概率密度函數(shù);DNL(I)為微分非線性誤差。

根據(jù)ADC信噪比SNR=6.02N+1.76(dB)及現(xiàn)有理論，大幅度且復(fù)雜信號的QN主要是白噪聲，小幅度且簡單信號的QN主要是諧波噪聲，不同信號影響不同，但都會使SFDR指標(biāo)惡化［9］。對于Dithering信號，一個(gè)幅度為A的正弦信號與幅度為C的抖動信號疊加后的輸出概率密度函數(shù)設(shè)為Pd(x)，根據(jù)式(2)有

2 不同分布的Dithering

2.1 均勻分布的Dithering

均勻分布信號的概率密度函數(shù)為

振幅為C的Dithering信號疊加到振幅為A的正弦信號，通過理想ADC輸出概率密度函數(shù)為

為更直觀觀察，分別畫出A=1和加入C=0.08的均勻Dithering后輸出信號的概率密度函數(shù)曲線，如圖2所示。

圖2 輸出信號的概率密度函數(shù)曲線

由圖2可知，引入Dithering后，輸出概率密度的最大值由0.23左右降低到0.015左右，式(1)中的被積數(shù)減小了，和DNL共同引起的失真變小了，證明了均勻分布的Dithering可以降低ADC的量化噪聲。

2.2 高斯分布的Dithering

將理想ADC的QN依據(jù)傅里葉級數(shù)展開，并寫成頻域形式，即

Dithering服從高斯分布［0，δ2］時(shí)，概率密度函數(shù)及其傅里葉變換為

畫出的頻譜曲線如圖3所示。

圖3 平均量化誤差頻譜曲線，其中σ/Δ=1

引入高斯Dithering后，量化噪聲中其他高次諧波成分消失(第一個(gè)諧波成分仍然存在)。實(shí)際上諧波分量是被分散了，總的諧波損傷大大減少，證明高斯分布的Dithering也能有效降低ADC的量化噪聲。

2.3 正弦分布的Dithering

式中:J(u)為第一類的零階貝塞爾函數(shù)。用輸入信號與量化誤差的協(xié)方差函數(shù)討論二者的關(guān)聯(lián)性，即ADC的非線性特性。建立特征函數(shù)與協(xié)方差之間的關(guān)系式，特征函數(shù)相當(dāng)于概率密度函數(shù)在頻域上的期望值，因此二者在時(shí)頻域上具有一一對應(yīng)的關(guān)系。設(shè)輸入信號為s，總的噪聲為n，輸入信號頻率為ω，將聯(lián)合期望值E(ω·u)頻域上用概率密度函數(shù)積分為

協(xié)方差函數(shù)Cov(ω，u)=E(ω·u)－E(ω)E(u)，得到加入正弦Dithering輸入信號與量化噪聲的協(xié)方差函數(shù)，寫成貝塞爾函數(shù)形式為

依據(jù)量化定理:如果協(xié)方差函數(shù)值比較小(理想情況下為0)，說明加入的Dithering對于ADC的量化誤差具有很好的改善作用［11］。結(jié)合貝塞爾函數(shù)性質(zhì)，加入正弦Dithering不能夠使特征函數(shù)值有效地減少，因?yàn)槌莄和u同時(shí)為0，而這在實(shí)際應(yīng)用中毫無意義。2.4節(jié)將從Dithering信號可行性方面做進(jìn)一步分析。

2.4 Dithering信號的優(yōu)選條件

Dithering信號滿足什么條件可以有效地改善量化噪聲?這個(gè)問題一直沒有準(zhǔn)確的答案，本文將在理論上做一些初步的探索，假設(shè)概率密度函數(shù)為f(x)，均勻分布信號的特征函數(shù)為

式中:k為系數(shù)。由式(14)可以看出，QN的特征函數(shù)與Dithering信號特征函數(shù)近似呈現(xiàn)出正比例的關(guān)系，即當(dāng)Dithering信號特征函數(shù)的值為0時(shí)，量化噪聲的特征函數(shù)值才為0，此時(shí)量化噪聲獨(dú)立于輸入信號，Dithering對QN才有很好的改善。因此，Cd(ω)=0(或者近似為0)可以作為有效Dithering的限制性條件，只要滿足此限制條件，就能有效地改善ADC的量化噪聲。

本文選取的均勻分布和高斯分布的Dithering信號理論上都是符合以上條件的，而正弦分布的Dithering信號不滿足此條件［12］。具體的仿真結(jié)果分析在下一節(jié)做詳細(xì)介紹。

3 仿真結(jié)果與分析

依據(jù)Dithering－ADC的模型框圖，利用Simulink搭建的仿真圖，如圖4所示。

原始信號為正弦模擬信號，振幅A=60 mV，頻率f=100 Hz，初相ψ =－0.52π，偏移h=119 mV。初始信號經(jīng)過防混疊濾波可以減少一些“鋸齒”，Dithering信號采取只加的方式，手動開關(guān)選擇是否疊加抖動噪聲。然后經(jīng)過采樣保持，在ADC中進(jìn)行量化成為數(shù)字信號，數(shù)字信號在DAC中進(jìn)行D/A轉(zhuǎn)換，最后將信號通過低通濾波器濾波后輸出，示波器用來記錄不同時(shí)刻不同節(jié)點(diǎn)的波形特征。首先考察系統(tǒng)中有無抖動對ADC性能的影響，如圖5所示。

圖5 無Dithering信號時(shí)輸入、輸出波形仿真圖

由圖5可知，無Dithering信號時(shí)，還原出的信號有許多鋸齒和毛刺，尤其在波峰、波谷處更加嚴(yán)重。引起很大的失真，這對ADC性能的影響是有害的。下面將考察加入Dithering后對系統(tǒng)性能的影響。Dithering噪聲由專門的噪聲生成模塊生成，分別考察加入均勻分布、高斯分布和正弦分布的Dithering對ADC性能的影響，為便于觀察，局部放大第一個(gè)周期左右的圖像，仿真結(jié)果如圖6所示。

由圖6可以看出:加入均勻分布的Dithering信號時(shí)，波形比較光滑;加入高斯分布的Dithering信號時(shí)，接收信號有很多毛刺和少量的鋸齒;加入正弦的Dithering信號，波形產(chǎn)生極大的畸變，有大量的方波和鋸齒，不能有效抑制ADC的QN，此時(shí)輸出信號不能準(zhǔn)確分離出輸入信號。

圖6 加入不同分布Dithering的輸出信號

圖6a、圖6b與圖5b比較，接收信號的曲線都變“光滑了”，說明這2種Dithering可以有效抑制QN，提升ADC的性能。但是，輸出信號的幅值增加了大約12 mV，這是因?yàn)橄到y(tǒng)采用的是“只加”模式，可以在接收端濾去Dithering或幅值等比例縮小，準(zhǔn)確地還原出原始信號，因此和原始信號相比攜帶著等同的信息。仿真結(jié)果驗(yàn)證了2.4節(jié)的優(yōu)選條件具備一定的科學(xué)性和指導(dǎo)意義。

4 結(jié)論

論文探討了Dithering信號有效改善QN的優(yōu)選條件，考慮了均勻分布、高斯分布和正弦分布的Dithering對ADC量化噪聲的影響，從概率密度函數(shù)與DNL的共同作用、諧波分量損傷和協(xié)方差關(guān)系這3個(gè)方面進(jìn)行了原理性的討論分析。理論分析表明只要加入的Dithering信號的特征函數(shù)在一定條件下能夠?yàn)榱?，那么在一定程度上就可減少ADC的QN。從仿真結(jié)果來看，均勻分布的Dithering性能最好，高斯分布次之，而正弦分布的Dithering不能有效抑制ADC的QN。本文對Dithering信號的加入條件及標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了探討，給出了一些初步有效Dithering的優(yōu)選條件，但如何得到最佳Dithering信號的通用計(jì)算表達(dá)式目前還沒有得到很好解決，這也是筆者未來努力研究的方向。

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