注重數學思想方法教學

蘇東躍

摘 要： 如果說數學起源于人類生存的需要，或者起源于人類理智探索真理的需要的話，那么數學思想和方法就是伴隨著數學的產生而產生、伴隨著數學的發(fā)展而發(fā)展的。數學思想是對數學知識與方法形成的規(guī)律性的理性認識，是解決數學問題的根本策略。數學方法是解決問題的手段和工具。數學思想方法是數學的精髓，只有掌握了數學思想方法，才算真正掌握了數學。因而，數學思想方法是學生必須具備的基本素質之一?，F行教材中蘊含了多種數學思想和方法，在教學中，我們應充分挖掘由數學基礎知識反映出來的數學思想和方法，設計數學思想方法的教學目標，結合教學內容適時滲透、反復強化、及時總結，用數學思想方法武裝學生，使學生真正成為數學的主人。但是數學思想和方法的提出及研究是隨著數學教育的發(fā)展而逐步“熱”起來的。本文從教學的角度關注數學思想方法，討論了數學思想方法教學的概念、原則，并進行了實踐分析。

關鍵詞： 數學思想方法 教學原則 教學措施

所謂數學思想，就是對數學知識和方法的本質的認識，它是數學科學和數學學科固有的，是數學的靈魂；所謂數學方法，就是解決數學問題的策略和程序，它是數學思想的具體化反映，是數學的根本。在一定的數學知識基礎上，運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程。當這種積累達到一定程度時就會產生飛躍，從而上升為數學思想。數學思想對數學方法起指導作用；而數學方法較之數學思想具有更大的靈活性，可促進數學思想的發(fā)展。因此，人們通常將數學思想和方法看成一個整體概念——數學思想方法。

數學方法論作為研究數學的發(fā)展規(guī)律，數學的思想、方法，以及數學中的發(fā)現、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門新興學科，在我國數學界特別是數學教育界獲得了廣泛重視。這些工作直接推動了我國數學教育界開展數學思想、方法及其教學的研究，解決了不少教學實際問題，極大地推動了我國數學教育改革的進程，并成為我國數學教育中一項獨具特色而又富有深遠意義的研究課題。

一、數學思想方法教學應該遵循的基本原則

（一）滲透性原則。

數學思想方法和數學知識點匯成了數學結構系統(tǒng)的兩條“河流”，二者既有聯(lián)系又有區(qū)別，具體的知識點是數學的外顯形式，易于發(fā)現，是一條“明河流”，任何一條數學分支無不是以它構筑自己的“軀體”的；數學思想方法則是數學的內在形式，是獲取數學知識、發(fā)展思維能力的動力工具，是一條具有潛在價值的“內河流”，把握了它就等于找到了思維教育的突破口。正因為數學知識是“點石成金”以后的金，而數學思想方法是“點石”之指，這就要求我們在數學知識教學的同時，必須注重數學思想方法的有機滲透和充分發(fā)揮其自身具有的統(tǒng)帥作用。只有這樣，才能有助于學生形成一個既有肉體又有靈魂的活的數學知識結構，從而不僅促進學生數學能力的發(fā)展，而且推動學生思維品質乃至整體素質的提高。

所謂滲透，就是有機結合數學知識的教學，采用教者有意、學者無心的方式，在多個場合反復向學生講解諸如分類、轉化、數形結合、函數等數學思想方法。通過逐步積累，讓學生對數學思想方法的認識由淺入深、由表及里，漸漸達到一定的高度。

數學思想方法教學之所以采用滲透法，是由它本身的特點決定的。從知識和思想方法的關系來看，數學思想方法是隱含在知識里、體現在知識應用過程中的，它不像知識那樣可以具體編排在某一個章節(jié)，靠教師專門講授幾節(jié)課就可以理解。數學思想方法是滲透在全部數學教學內容之中的。從學生的認識規(guī)律來看，數學思想方法的掌握不像知識的理解可以短期內完成，而要經歷一個過程，包括從略微“了解”到甚為“理解”及至“掌握”或“會運用”的過程。從學生的個別差異看，存在認識不同步的現象，所以數學思想方法的教學應以滲透性原則為主線。

（二）漸進性原則。

漸進性原則有三方面的含義：漸進、反復和層次性。

數學思想方法教學是融合在數學知識之中的，所以在數學教學中，要不失時機地抓住機會，不斷地一點一滴地再現有關數學思想方法，逐步加深學生對數學思想方法的認識。

數學思想方法教學必須結合兩個實際，即教材實際和學生實際。不同的教材內容有不同的要求，要講究層次，不能超越，要多次反復，小步前進。

這里需要注意的是，在教學數學思想方法時，開始起點要低，但“低”是為了“高”。通過一個階段的學習，應該在原有基礎上有所提高，要求學生“學會”，并使學生“會學”，在思維素質方面有所發(fā)展。因此，數學思想方法教學應以漸進為出發(fā)點。

（三）明確性原則。

從數學思想方法教學的整個過程看，只是長期、反復、不明確地滲透，會影響學生從感性認識到理性認識的飛躍，妨礙學生有意識地掌握和領會。滲透性和明確性是數學思想方法教學辯證的兩個方面。因此，在反復滲透的過程中，利用適當機會，對某種數學思想方法進行概括、強化和提高，對它的內容、名稱、規(guī)律、應用等適度明確化，當為明智之舉。

當前，在各科、各年級的數學教材中，數學思想方法的內容很顯薄弱，一些重要的數學思想方法都沒有比較明確和系統(tǒng)的闡述。比如，數形結合法、類分法、化歸思想等均蘊含在表層知識教學之中，隱藏于幕后。教師選擇適當的時機，在教學中予以明確是必要的，也就是說，數學思想方法教學應以明確性原則為目標。

（四）學生參與原則。

所謂參與，就是要求學生在教學過程中充分發(fā)揮主體作用，遵循認知規(guī)律，運用器官（五官、手、腦），通過自己的學習勞動，探索數學思想方法的真諦。

我國目前流行的提法是：教師是教學的主導，學生是學習的主體。提法很全面，但學生主體的能動作用遠未發(fā)揮，升學壓力使學生成了反應靈敏的模仿解題機器。原因在于，學生總認為教師出的題目都是可以做的，獨立思考能力被抑制了。所以在此強調幾句：“數學教師不能充當數學知識施舍者的角色。”“沒有人能教會學生，數學素質是學生在數學活動中獲得的?！薄敖處熀徒炭茣粦撌侵粮邿o上的權威?！薄鞍褜W習數學的主動權交給學生?！痹跀祵W思想方法教學中，應以學生參與原則為根本。endprint

（五）系統(tǒng)性原則。

數學思想方法的形成必須經過循序漸進的過程，經過反復提煉、歸納、概括，才能使大多數學生真正領會。歸納概括既是數學思想方法，又是數學思維方法，領會數學思想方法的主要手段是感知、歸納、概括，而掌握數學思想方法的深層目的恰恰是為了創(chuàng)造性的培養(yǎng)，所以，能靈活運用歸納、概括達到具有獨創(chuàng)性，也就真正掌握了數學思想方法。在課后小結、單元小結與測驗或總復習與檢測時，應該十分注意用數學思想方法系統(tǒng)、歸納、概括和聯(lián)系教材，并指導命題工作。這樣就能整理出比較清晰的數學思想方法教學的序列，從而形成數學思想方法的系統(tǒng)，以利充分發(fā)揮它的整體效益，同時對檢測與提高大有好處。因此，在數學思想方法教學中，應以系統(tǒng)性原則為歸宿。

二、數學思想方法教學的具體措施

幾十年來，科學技術以空前的速度發(fā)展著；以計算機的運行為標志的信息時代，也是數學大發(fā)展的時代；科學的數學化和社會的數學化都在加速。這使人們越來越深切地感受到，越來越多的場合需要數學式的思維。當今的科學家們都認為懷特海的預言將會提前實現。

所謂數學地理解問題，就是指數學的思考方式，用數學的精神、思想、方法觀察問題、分析問題、解決問題。它包括諸如：抽象化、運用符號、建立模型、邏輯分析、推理計算，從數據進行判斷、優(yōu)化，以及善于運用計算機進行實驗，等等。從這點看，數學思想方法的學習顯然應被看成數學教育的根本任務，自然應在數學教學中加以充分體現。

把數學思想方法作為數學基礎知識的重要組成部分，是大綱體現義務教育性質、提高學生素質的一大舉措。由于數學的思想方法的呈現形式是隱蔽的，學生是難以從教材中獲取的，這就要求我們在教學過程中能站在方法論的高度，講出學生在課本的字里行間看不出來的“奇珍異寶”，講出決策和創(chuàng)造的方法，精心提煉、著意滲透、反復孕育、經常應用、小步子推進、分層到達。為此，我們需要認真理清數學知識網絡和數學思想方法體系，把握好幾個重要途徑。

（一）在知識發(fā)生過程中，適時滲透數學思想方法。

對于數學而言，其知識的發(fā)生過程，實際上就是思想方法的發(fā)生過程。因此，如概念的形成過程、結論的推導過程、方法的思考過程、問題的發(fā)現過程、規(guī)律的被揭示過程，等等，都蘊含著向學生滲透數學思想方法、訓練思維的極好機會。

對于學生來說，其最常見的困難之源是：一項工作、一個發(fā)現、一個規(guī)律……很少以創(chuàng)始人當初所用的形式出現，它們已經被濃縮了，隱去了曲折、復雜的思維過程，呈現出整理加工的嚴密、抽象、精煉的結論，而促使其誕生的那些思想方法卻往往隱為內在形式，成為數學結構系統(tǒng)的具有潛在價值的“內河流”。我們教學工作的一項重要任務，就是揭開數學這種嚴謹、抽象的面紗，將發(fā)現過程中的活生生的數學“返璞歸真”地教給學生，讓學生親自參與“知識再發(fā)現”的過程，經歷探索過程的磨礪，汲取更多的思維營養(yǎng)。

1.展開概念——不要簡單給定義。

概念是思維的細胞，是濃縮的知識點，是感性認識飛躍到理性認識的結果，飛躍的實現要經過分析、綜合、比較、抽象概括等思維的邏輯加工，依據數學思維方法的指導。因此，概念教學應當完整地體現這一生動的過程，引導學生揭示隱藏于知識之中的思維內核。心理學認為，人對事物的第一次接觸是最敏感的，教學成功與否，關鍵是喚起對舊知識的回憶，搜索到新知識的清澈的源頭，并通過事物的發(fā)生和發(fā)展過程的教學，掌握活的數學概念。

2.延遲判斷——不要過早下結論。

判斷可以看做是壓縮了的知識鏈，數學定理、性質、法則、公式、關系、規(guī)律等都是一個個具體判斷。教學中要引導學生積極參與這些結論的探索、發(fā)現、推導過程，弄清每個結論的因果關系，從而使學生看到某個判斷時，就像回憶自己參加有趣的活動那樣津津樂道。當然，延遲判斷，必定拉長了建立理論的教學時間，但磨刀不誤砍柴工，以后應用就靈活自如了。

3.激活推理——不要呆板地找關聯(lián)。

激活推理就是要使已有判斷上下貫通、前后遷移，盡可能從已有判斷中生發(fā)眾多的思維觸覺，促成思維鏈條的高效運轉，不斷在數學思想方法指導下推出一個個新的判斷、新的思維結果。

（二）通過小結和專題講座，提煉、概括數學思想方法，有計劃地安排數學思想方法教學的習題課。

揭示知識之間的內在聯(lián)系是小結的功能之一。由于同一內容可表現不同的數學思想方法，而同一數學思想方法又常常分布在許多不同的知識點里，因此在課后小結、單元小結或總復習時，就應該在縱橫兩方面整理出數學思想方法系統(tǒng)。

根據數學思想方法形成過程中的成熟程度，可實施開設專題講座課，講清來龍去脈、內涵外延、作用功能等。這是使學生掌握數學思想方法，同時更進一步地認識外顯形式的數學知識的有效途徑。

1.定義法：A是n階矩陣，A的伴隨矩陣A*有行列式|A|的代數余子式所構成，即A*=（A■）n×n。在具體使用時要注意：

（1）求個元素的代數余子式Aij時，切記各余子式前面的正負號；

（2）A■應排在A※的第j行第i列上，即恰好是通常排序方式的轉置形式。

在線性代數中，定義尤為重要?？梢赃@樣講，定義在線性代數中居核心地位。在有許多問題百思不得其解時都要回到定義上來，才能找到答案。因此，定義既是線性代數問題的源泉，又是其最終的歸宿。

例1：設A是n階矩陣，且A的秩R（A）

證：因為R（A）

2.公式法：A是n階矩陣，關于A的伴隨矩陣A*的基本關系式為AA*=A*A=|A|E，其中E是n階單位矩陣。

例2：設A是n階矩陣，且A的秩R（A）=n-1，求證：R（A*）=1。

證：因為R（A）

3.化歸法：教材中是在研究逆矩陣時給出伴隨矩陣的概念的，并且給出了求逆矩陣方法之一“當n階矩陣A可逆時，A-1=A*”，由此可得出A*=|A|A-1。也就是說，當A可逆時，A※的問題可轉化為逆陣來研究，因為A-1的性質相對來講我們是比較熟悉的。

例3：設A是n階矩陣，且A的秩R（A）=n，求證：R（A*）=n。

證：因為R（A）=n，所以A可逆，|A|≠0。由AA*=|A|E知，A和A*均是可逆陣，故R（A*）=n。（或兩邊取行列式，得|A|·|A*|=|A|n，于是|A*|=|A|n-1≠0，即R（A*）=n。）

4.論“秩”法：設A是n階矩陣，則A*的秩只有三種取值。

例4：設A是n階不可逆矩陣，|A|關于a■的代數余子式A■≠0，求齊次方程組A*x=O的通解。

解：因為|A|=0，A■≠0知R（A）=n-1，那么R（A*）=1。于是A*x=O的解空間是n-1維。又因為AA*=|A|E=O知A=（a■a■…a■）的每一列都是方程組A*x=O的解。由于n-1維向量（a■，a■，…，a■）T，（a■，a■，…，a■）T，…，（a■，a■，…a■）T線性無關，那么延伸為n維向量a■=（a■，a■，…，a■）T，a■=（a■，a■，…，a■）T，…，a■=（a■，a■，…，a■）T仍然線性無關，就是A*x=O的基礎解系。因此通解是：k■a■+k■a■+…+k■a■，k■（i=1，2，3）是任意實數。

（三）通過“問題解決”，概括和深化數學思想方法。

問題是數學的心臟。數學問題的解決過程，實質就是命題不斷變換和數學思想方法反復運用的過程；數學思想方法則是解決數學問題的觀念性成果，它存在于數學問題的解決之中，數學問題的步步轉化，無不遵循數學思想方法的方向。因此，通過問題解決構造數學模型、提供數學想象，伴以實際操作，誘發(fā)創(chuàng)造動機，就把數學遷入了思維活動之中，并不斷在學數學、用數學的過程中引導學生學習知識、掌握方法、形成思想，促進思維能力的發(fā)展。

數學思想方法是數學思維的內核，它比具體的數學知識具有更強的抽象性和概括性，很難找到固定的形式，只能體現為一種意識或觀念。因此，它不是一招一式、一朝一夕可以完成的，而是要日積月累、長期滲透，才能水到渠成。教學中要有意識、有目的地結合數學知識，發(fā)掘、提煉、歸納、概括數學思想方法，使其成為由知識轉化為能力的紐帶，形成優(yōu)良思維品質的橋梁，進行科學思維活動的導航器。

在教學數學思想方法時，教師千萬不要包辦代替，應當把“球”交給學生讓他們自己去學，使他們自己會“踢”?！八枷霊趯W生的頭腦中產生，而教師的活動像個助產士”，這才符合學生認知發(fā)展的規(guī)律。

參考文獻：

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