以“代數(shù)運(yùn)算”為考點(diǎn)的高考試題分析與設(shè)計(jì)

宋秀娟

摘 要： 本文從高觀點(diǎn)角度深入分析了以“代數(shù)運(yùn)算”背景的高考試題，設(shè)計(jì)了該類型新的高考試題，為該類型題目在高考命題中的設(shè)計(jì)提供了必要的參考.

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué) 高考試題 代數(shù)運(yùn)算

近幾年，全國各個(gè)省份的高考數(shù)學(xué)試題中以“高等數(shù)學(xué)”為背景的試題不斷出現(xiàn)，題目以高等數(shù)學(xué)為背景，或結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)的知識，在考查學(xué)生中學(xué)數(shù)學(xué)知識、方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考查了學(xué)生的創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)思維能力.這類試題雖然取材于高等數(shù)學(xué)，但一般都經(jīng)過“初等化”處理或給出與高等代數(shù)有關(guān)的定義、定理，要求考生作解答.解答此類型試題只需根據(jù)已有知識經(jīng)驗(yàn)，并結(jié)合平時(shí)解題時(shí)的數(shù)學(xué)思想方法，并不需要學(xué)習(xí)有關(guān)高等數(shù)學(xué)的知識.以高等數(shù)學(xué)為背景的數(shù)學(xué)試題無論從背景知識還是解題思路方面往往較新穎，因?yàn)榭忌]有與此相關(guān)的知識儲備，也沒有遇到過類似的背景知識，所以對考生的閱讀理解能力的要求更高；試題要求考生有較強(qiáng)的知識遷移能力，能夠?qū)Ρ阮}目所給出的信息，在頭腦已有的知識庫中搜索相關(guān)的知識方法，運(yùn)用在中學(xué)階段所學(xué)習(xí)的知識方法解決此類問題.本文以高等數(shù)學(xué)中的“代數(shù)運(yùn)算”為出發(fā)點(diǎn)，分析并設(shè)計(jì)以其為考點(diǎn)的高考試題.

1.以“代數(shù)運(yùn)算”為背景的高考試題分析

【2012福建·理15】對于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“·”：a·b=a■-ab，a≤b，b■-ab，a>b，設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x■，x■，x■，則x■，x■，x■的取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖.

參考答案：（■，0）

評注：本題考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.解題的關(guān)鍵在于充分理解新定義運(yùn)算的具體涵義，并結(jié)合所學(xué)習(xí)關(guān)于函數(shù)的相關(guān)知識解題.代數(shù)運(yùn)算經(jīng)常與函數(shù)零點(diǎn)相結(jié)合，考查函數(shù)方面的知識，2011年天津高考數(shù)學(xué)文科試題第9題也是類似的命題方式.

2.以“代數(shù)運(yùn)算”為背景的高考試題設(shè)計(jì)

命題模式：引入一個(gè)符號，規(guī)定其運(yùn)算法則，并結(jié)合函數(shù)、不等式等知識命題，考查函數(shù)的零點(diǎn)、周期性、最值、對稱性等和不等式的基本性質(zhì)、均值不等式、柯西不等式等.代數(shù)運(yùn)算的符號可以用任意的符號表示，比如“？茌”、“？茚”、“.”、“·”、“？莓”，題目核心在于運(yùn)算法則的規(guī)定.解答時(shí)需充分理解題意，把握試題情景，并結(jié)合之前所學(xué)習(xí)的知識解決，試題考查的著重點(diǎn)在于“舊知識”的考查.解題的突破點(diǎn)是新背景的理解和舊知識的運(yùn)用.

【改編】（改編自2005年遼寧卷第7題）從函數(shù)的角度）在R上定義運(yùn)算？茚：x？茚y=（1-x）（1+y）.函數(shù)f（x）=（x-a）？茚（x+a），若f（x）<-■對任意實(shí)數(shù)x成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖.

參考答案：（-■，■）

【改編】（從不等式的角度）在R上定義運(yùn)算？茚：x？茚y=（1-x）（1+y）.關(guān)于不等式（x-a）？茚（x+a）<-■

對任意實(shí)數(shù)x成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是？搖？搖？搖？搖.

參考答案：（-■，■）.

評注：本題受2005年遼寧高考數(shù)學(xué)試題的啟發(fā)，引入新的運(yùn)算法則“？茚”，并且與函數(shù)和不等式相結(jié)合，主要考查數(shù)形結(jié)合思想、不等式的解法、函數(shù)的圖像和計(jì)算等能力.從函數(shù)角度的命題思路要求考生從函數(shù)的最值出發(fā)解不等式，或者從函數(shù)角度解決問題.從不等式角度命題的思維角度與從函數(shù)的角度命題是有很大的區(qū)別的，倘若題目中出現(xiàn)了“不等式”，學(xué)生根據(jù)關(guān)于不等式的知識經(jīng)驗(yàn)，自然就會想到用解不等式的方法解題.若題中出現(xiàn)“函數(shù)”，則學(xué)生思維首先定位到函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的方法解題.此題型在解答時(shí)要先準(zhǔn)確把握所給信息本質(zhì)，然后應(yīng)用類比等法充分挖掘其內(nèi)涵，運(yùn)用新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系及遷移規(guī)律，將新運(yùn)算轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)運(yùn)算[1].

【自編】（集合的運(yùn)算封閉角度）定義集合上的運(yùn)算“？莓”，如果？坌a，b∈A，都有a？莓b∈A，則集合A關(guān)于運(yùn)算“？莓”是封閉的.比如Z、Q、R關(guān)于的加法、減法與乘法都是封閉的.下列說法錯(cuò)誤的是（B）

A.Q關(guān)于除法運(yùn)算不是封閉的

B.a，b∈Z，a？莓b=a（b+1），則Z關(guān)于運(yùn)算“？莓”是封閉的

C.a，b∈Q，a？莓b=b■+2b■，則Q關(guān)于運(yùn)算“？莓”不是封閉的

Da，b∈Q，a？莓b=■（a+b），則Q關(guān)于運(yùn)算“？莓”是封閉的

評注：本題的背景是“集合上的代數(shù)運(yùn)算”.題干中給出了集合上的代數(shù)運(yùn)算的定義，代數(shù)運(yùn)算的定義為：“集合A上的二元映射？莓：A×A→A也稱為A上的代數(shù)運(yùn)算或A關(guān)于“？莓”運(yùn)算封閉”.二元映射“？莓：A×A→A”中又隱含著笛卡爾積“A×A”的概念，在中學(xué)階段并沒有相關(guān)介紹，因此題目不按照原始的定義出發(fā)，而是經(jīng)過了“初等化”，讓沒有學(xué)過笛卡爾積的學(xué)生也能夠理解代數(shù)運(yùn)算的含義.這其中充分體現(xiàn)了以高等代數(shù)為背景的高考試題的命題原則.引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：這些公式中出現(xiàn)了幾個(gè)量？

3.結(jié)語

利用著名數(shù)學(xué)家高斯解決問題有趣的故事激發(fā)學(xué)生對等差數(shù)列的思考及興趣，可達(dá)到很好的教學(xué)效果.把“數(shù)學(xué)名題”適當(dāng)?shù)貞?yīng)用到高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，不僅能豐富學(xué)生的知識面，而且能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，達(dá)到數(shù)學(xué)教育的目的.

參考文獻(xiàn)：

[1]單墫.數(shù)學(xué)名題詞典[M].南京：江蘇教育出版社，2002.

[2]李曉艷.數(shù)學(xué)名題的教育價(jià)值研究[D].遼寧師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，2011.endprint