在再生核空間中帶有積分邊值條件的分?jǐn)?shù)階偏微分方程的近似解

王文佳

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

分?jǐn)?shù)階偏微分方程正在廣泛應(yīng)用于流體流動(dòng)、金融、控制論等各種領(lǐng)域［1-4］.近年來，更多的努力被投入到尋找分?jǐn)?shù)階偏微分方程的有效解上［5-7］.該文用再生核方法求解一類含有積分邊值條件的分?jǐn)?shù)階偏微分方程.考慮下面的分?jǐn)?shù)階微分方程:

其中ni(x，t)，g(x)，pj(x)，qj(t)，i=1，2，3，4，5，j=1，2 是已知函數(shù)，ai，bi(i=1，2)是給定的常量.ν∈ (0，1)，μ∈ (0，2)，x∈ (0，1)，t∈ (0，T)，U(x，t)是待求函數(shù).以上分?jǐn)?shù)階微分方程采用Caputo意義下的定義.詳見文獻(xiàn)［8］.

1 再生核空間

u″(x)∈L2［0，T］，u(0)=0.其內(nèi)積為

定義 1.2 定義內(nèi)積空間W12［0，T］ ={u(x)|u(x)}是［0，1］上的絕對(duì)連續(xù)實(shí)值函數(shù)，u'(x)∈L2［0，T］}.其內(nèi)積為:〈u(x)，

定義 1.3 定義內(nèi)積空間W32［0，1］ ={u(x)|u(x)，u'(x)，u″(x)是［0，1］上的絕對(duì)連續(xù)實(shí)值函數(shù)，u″(x)∈L2［0，1］，且aiu(i-1)+

定理1.2 函數(shù)空間W32［0，1］是再生核空間.

下證其是再生核空間，由文獻(xiàn)［9］中定理1.1知只需證對(duì)任意的u(x)∈，存在正數(shù)Cx，使得|u(x)|≤Cx‖u(x)‖.因?yàn)閡(x)=，所以|u″(x)|≤|u″(0)|+

其中m1，m2為待定系數(shù)，Ry(x)是的再生核函數(shù)，進(jìn)而Ry(x)滿足以下微分方程組:

又由Ry(x)的光滑性得

及邊值條件知a1u(0)+b1u'(0)-

故再生核Ry(x)的一般形式為

其系數(shù)由上述(4)-(6)共14個(gè)方程唯一確定.

定義1.4 令D=［0，1］×［0，T］，定義空間，

2 數(shù)值解

在該節(jié)中，將以級(jí)數(shù)的形式給出方程(1)的數(shù)值解，為了能夠在再生核空間中求解 (1)， 引 入 線 性 算 子→

定 理 2.1Ψi(x，t)∈， 且 是的一個(gè)完全系.

定理2.2 方程(7)的解可被表達(dá)為u(x，t)

定理2.1，2.2 證明參見文獻(xiàn)［9］.從而方程的近似解為

定理2.3 設(shè)εn(x，t)是截?cái)嗾`差，則εn(x，t)依范數(shù)單調(diào)遞減.

所以εn(x，t)依范數(shù)單調(diào)遞減.

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