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    時變雙曲型發(fā)展方程的強解*

    2014-09-17 07:46:06湯小燕羅東升
    關(guān)鍵詞:雙曲時變算子

    湯小燕,羅東升

    (遵義師范學(xué)院)

    1 預(yù)備知識

    Banach空間X中的時變雙曲型發(fā)展方程的初值問題:

    其中無界閉稠定線性算子族{A(t)|t∈[0,T]}滿足雙曲型假設(shè).Pazy,Kato等人[2-4]討論了算子族{A(t)|t∈[0,T]}滿足較強假設(shè)條件下Y值解和古典解的存在唯一性,然后又在較弱條件下引進溫和解,給出溫和解存在的一些充分條件.在該文中引進介于溫和解與Y值解之間的廣義解——強解,給出強解存在的充分條件.

    設(shè)X和Y是Banach空間,其范數(shù)分別是‖·‖,‖·‖Y,Y是X的稠子空間且連續(xù)嵌入到X.對任意t∈ [0,T],A(t)是X上C0半群{St(s),s≥0}的無窮小生成元.雙曲型假設(shè)(H)*:

    (H1):{A(t)|t∈[0,T]}是穩(wěn)定族,其穩(wěn)定系數(shù)是M,ω,

    (H2):對任意t∈[0,T],空間Y是A(t)-容許,(t)是A(t)在Y中的部分,算子族(t)|t∈[0,T]}在Y中是穩(wěn)定的,其穩(wěn)定系數(shù)為,,

    (H3):對t∈[0,T],D(A(t))?Y,且A(·)∈C([0,T],B(Y,X)).

    定理1.1 (見文獻[2]推論 5.2.27)如果Y是自反Banach空間,算子族{A(t)|t∈[0,T]}滿足假設(shè)(H)*,那么在X上存在唯一的發(fā)展系統(tǒng){U(t,s),0 ≤s≤t≤T},滿足(E1)、(E2)、(E3),且

    (i)任意 0 ≤s≤t≤T,U(t,s)Y?Y,‖U(t,s)‖B(Y)≤e(t-s)同時U(t,s)是弱連續(xù)的.

    (ii)任意ξ∈Y,0≤s<t≤T=A(t)U(t,s)ξa.e.,且是弱連續(xù)的.

    定義1.2 函數(shù)x:[0,T]→X稱為初值問題(1)的強解,如果:

    (i)x∈L1([0,T],Y)∩C([0,T],X).

    (ii)x在[0,T]上幾乎處處可微,dxdt∈

    2 時變雙曲型發(fā)展方程的強解

    情形1:當f=0時,考慮問題:

    的強解.

    命題2.1 如果Y是自反Banach空間,算子族{A(t)|t∈[0,T]}滿足假設(shè)(H)*,那么對任意x0∈Y,初值問題(LE)1有唯一的強解,且

    證明U(·,0)x0∈C([0,T],X).由命題1.1 中(i),對任意0 ≤s≤t≤T,U(t,s)Y?Y,且U(·,0)x0在Y空間中是弱連續(xù)的(見文獻[1]),函數(shù)x是強可測的,且

    故x∈L'([0,T]),Y).

    由定義1.1 中的(ii),函數(shù)x(·)=U(·,0)x0是幾乎處處可微的,且

    由假設(shè)(H)*知.由發(fā)展系統(tǒng)的唯一性,問題(LE)1有唯一的強解x.情形2 當f=f(t)時,考慮問題:

    的強解.

    命題2.2 如果Y是自反Banach空間,算子族{A(t)|t∈[0,T]}滿足假設(shè)(H)*,對任意f∈L1([0,T],Y),x0∈Y,那么初值問題(LE)2存在唯一的強解x,且

    證明 首先由溫和解的定義,易證問題(LE)2有唯一的溫和解x∈C([0,T],X).其次,由命題2.1,U(t,0)x0,t∈[0,T]是問題(LE)2對應(yīng)齊次問題的強解.下面只需證明

    是問題(LE)2對應(yīng)于初值為0的強解.因f∈L1([0,T],Y),故z在Y中是可測的.又因

    從而z∈L1([0,T],Y).由假設(shè)(H)*和f∈L1([0,T],Y),有

    即A(·)f(·)∈L1([0,T],X).

    對任意充分小的h>0,有

    用定義1.1中(LE2)和(ii),對式子(2)和式子(3)取極限,得

    即z幾乎處處可微,且z'(·)∈L1([0,T],X).這就意味著

    t∈[0,T]是問題(LE)2的強解.

    情形3 考慮問題(1)的強解.

    假設(shè)[F1]:

    (1)f:[0,T]×Y→Y是一個映射,對任意ξ∈Y,f(·,ξ)∈C([0,T],Y),

    (2)存在正常數(shù)L>0,對任意t∈[0,T],ξ,η∈Y,使得

    命題2.3 如果Y是自反Banach空間,算子族{A(t)|t∈[0,T]}滿足假設(shè)(H)*,假設(shè)[F1]成立.那么對任意x0∈Y,初值問題(1)在[0,T]上有唯一的強解x.

    證明 由命題1.1中(i)知,存在常數(shù)存在M>0,使得對所有0≤s≤t≤T,有

    對固定的x0∈Y,在空間L1([0,T],Y)中定義映射F:

    設(shè)x∈L1([0,T],Y),則

    故,F(xiàn):L1([0,T],Y)→L1([0,T],Y).

    對任意u,v∈L1([0,T],Y),有

    當n=1時,

    當n=2時,

    當n=3時,

    重復(fù)上述過程,有

    于是存在足夠大的n,使得,從而Fn是L1([0,T],Y)的壓縮映射,故F在L1([0,T],Y)中有唯一的不動點,且

    由發(fā)展系統(tǒng)在空間X中的性質(zhì),可知

    下證,x滿足問題(1).對任意的t∈[0,T],令

    由假設(shè)[F1]成立知,在空間Y中g(shù)是[0,T]上的可測函數(shù),又

    根據(jù)命題2.2,初值問題

    存在唯一的強解v∈L1([0,T],Y)∩C([0,T],X),且對任意t∈[0,T],有

    所以x是問題(1)在[0,T]上的強解.

    3 結(jié)束語

    由于時變雙曲型發(fā)展方程的發(fā)展系統(tǒng)的性質(zhì)沒有拋物型發(fā)展系統(tǒng)的性質(zhì)好,相應(yīng)的假設(shè)比較繁雜,該文主要引進了自反Banach空間中發(fā)展方程的強解,并給出了存在定理的證明.這為進一步研究時變雙曲型發(fā)展方程解的性質(zhì)打下基礎(chǔ).

    [1] 定光桂.巴拿赫空間引論.北京:科學(xué)出版社,1984.

    [2] Pazy A.Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations.New York,Springer-Verlag Inc,1983.

    [3] Herbert Amann.Linear and quasilinear parabolic problems.Berlin,1995.

    [4] Kato T.Abstract evolution equations of“hyperbolic”type.J Fac Sci Univ Tokyo,1970,25:241-258.

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