基于特征值理論求分式線性遞推數(shù)列極限

李 穎， 周 敏， 倪谷炎

(國防科學技術(shù)大學理學院數(shù)學與系統(tǒng)科學系，長沙410073)

1 引 言

分式線性遞推數(shù)列是高等數(shù)學的研究對象之一，它在理論與實際問題中有著廣泛的應用.目前求分式線性遞推數(shù)列的通項表示形式常用的方法有不動點方法[1]、矩陣方法[2]以及換元解法[3].本文將利用系數(shù)矩陣的特征值以及映射的不動點對分式線性遞推數(shù)列斂散性進行研究.

2 基本概念

定義2[5]設X是度量空間，T是X到X中的映射.若x∈X，有Tx=x，則稱x為T的不動點.

定義3[6]設方陣A=[aij]n×n∈n×n. 若存在數(shù)λ和非零的n維列向量ξ，使得Aξ=λξ，則稱λ為A的特征值，向量ξ為A的對應于特征值λ的特征向量.

3 矩陣特征值與映射不動點的關(guān)系

(i)λ1≠λ2的充要條件是ξ1≠ξ2；λ1=λ2的充要條件是ξ1=ξ2；

(ii)λ1-d=cξ1,λ2-d=cξ2，cξ2=a-λ1,cξ1=a-λ2.

證系數(shù)矩陣A的特征方程為

|λE-A|=λ2-(a+d)λ+(ad-bc)=0.

注1 定理1給出了系數(shù)矩陣A的特征值與映射f(x)的不動點之間的關(guān)系式.

注2 定理1中系數(shù)矩陣的特征值即為文獻[3]換元解法中的二階常系數(shù)齊次線性差分方程yn+2-(a+d)yn+1+(ad-bc)yn=0的特征根.

4 判斷分式線性遞推數(shù)列斂散性方法

接下來，基于矩陣方法與矩陣理論分析特征值對分式線性遞推數(shù)列斂散性的影響以及與極限值、不動點之間的關(guān)系.基于定理1和定理3可得

當x1=ξ1時，數(shù)列{xn}為常數(shù)列并收斂于ξ1；當x1=ξ2時，數(shù)列{xn}為常數(shù)列并收斂于ξ2.

當|λ1|=|λ2|且x1≠ξ1,ξ2時，數(shù)列{xn}發(fā)散.

證由定理3 可知，若λ1≠λ2，與系數(shù)矩陣An對應的分式線性遞推數(shù)列的通項公式為

整理后可得

易知數(shù)列極限不存在，因此數(shù)列{xn}發(fā)散.

注1 當λ1≠λ2時，數(shù)列{xn}的通項公式為

將特征值與不動點的關(guān)系式代入整理，可得由不動點、初始值以及系數(shù)表示的通項公式如下

與文獻[1]利用不動點方法所得的通項公式一致.

同樣利用特征值與不動點的關(guān)系式以及cξ2=-b，可得

與文獻[1]所得的通項公式一致.

[參 考 文 獻]

[1] 鄭隆炘. 歸納與遞推[M]. 武漢：湖北教育出版社，1984.

[3] 孫勝先，余丙森. 分式線性遞推數(shù)列極限的換元解法[J]. 高等數(shù)學研究，2011，14(4): 72-74.

[4] 石巖. 關(guān)于分式遞推數(shù)列的若干研究[D]. 華南師范大學碩士學位論文，2010.

[5] 張玲. 關(guān)于壓縮映射原理的某些應用[J]. 科技通報，2011，27(4)：474-478.

[6] 馮良貴，戴清平，李超，謝端強. 線性代數(shù)與解析幾何[M]. 北京: 科學出版社，2008.