基于過完備結構字典的跳頻信號稀疏分解

李斌武，李永貴，張敬義

(1．解放軍理工大學通信工程學院，江蘇南京210007;2．南京電訊技術研究所，江蘇 南京210007)

0 引言

跳頻信號作為一種典型的非平穩(wěn)信號［1－2］，是現(xiàn)實生活中常用的信號之一。但是隨著跳頻帶寬越來越寬，傳統(tǒng)的采樣和數(shù)據處理方法難以滿足跳頻信號帶寬和數(shù)據處理量日益增大的需求，同時也忽視了現(xiàn)有硬件采樣設備的采樣速率限制。壓縮感知(CS，Compressed Sensing)理論作為近些年在信號處理領域研究的熱點理論，為跳頻信號的采樣和處理提供了一個新的思路。該理論前提條件就是要求信號具有稀疏性或可壓縮性。然而現(xiàn)實中許多信號本身不具有稀疏性，而是在特定的變換域才會表現(xiàn)出稀疏特性。信號稀疏表示(Sparse Representation)是研究信號稀疏特性的重要理論，它可以有效提取信號最本質的特征，有利于信號的后續(xù)處理，可從本質上降低信號處理成本。因此，在數(shù)字信號處理應用中，人們總是用信號在某個域上的稀疏逼近取代原始數(shù)據表示，稱為信號表示。信號表示多為加性分解，如傅里葉變換和小波變換分別將信號在三角函數(shù)和小波基上展開，在頻域和小波域表示信號［3］;時頻分析將信號在時頻面展開，在時頻域表示信號［4］。信號的稀疏表示就是用盡量少的基函數(shù)在某個變換域將信號展開，旨在從本質上描述信號。但是傳統(tǒng)的信號稀疏表示是建立在正交基上的信號分解，該方法具有一定的局限性，往往不能夠達對頻率隨時間不斷變化的信號進行最佳的稀疏表示。

過完備字典(Over－complete Dictionary)下的信號稀疏分解能夠得到更好稀疏表示效果。信號在過完備字典上分解的思想首先由Mallat和Zhang于1993年提出［5］。通過在過完備字典上的分解，用來表示信號的基可以自適應地根據信號本身的特點靈活選取。從而分解得到信號的一個非常簡潔的表達，即稀疏表示，得到信號稀疏表示的過程則被稱為信號的稀疏分解(Sparse Decomposition)。過完備字典下的信號分解具有更強的稀疏表達能力。由于信號稀疏表示的優(yōu)良特性，它已經被應用到信號處理的許多方面，如信號去噪、信號編碼和識別等［6］。其中，在信號時頻分布研究方面的應用特別值得關注。

過完備字典下的信號稀疏分解能夠充分利用跳頻信號的本質及結構特征，可以有效揭示非平穩(wěn)信號的時頻結構，從而得到跳頻信號的更優(yōu)稀疏表示。因此，文中在分析跳頻信號稀疏特性的基礎上，構造基于跳頻信號結構特性的過完備字典，并采用FFT改進的匹配追蹤算法研究跳頻信號的稀疏分解，提出了基于過完備結構字典的跳頻信號稀疏表分解方法。仿真結果表明文中方法在跳頻信號分解效果和算法用時方面都具有明顯的優(yōu)勢。

1 跳頻信號模型及其過完備結構字典

1．1 跳頻信號模型

跳頻信號是一種頻率隨時間隨機變化的非平穩(wěn)信號，其載波頻率的變化受偽隨機序列控制。跳頻信號的每一跳都可以看成是在時域互相不重疊的有限長正弦信號［7］，所以某段時間內的跳頻接收信號在可以看成是一系列加窗正弦信號的線性疊加。因此，可以將跳頻信號表示如下:

式中，S為信號功率，T為觀測時間，rectd(t)是寬度為d的矩形窗:

式中，d為跳周期，fk為第k跳的中心頻率。

1．2 過完備結構字典

對于跳頻信號的稀疏性，文獻［6］中提出了局部傅里葉稀疏信號的概念。概念指出，如果一個信號在時間域中的每個點都能夠用恒定頻率的少量正弦信號來很好的近似表示，則稱這個信號具有局部傅里葉稀疏特性。很明顯，跳頻信號是一種典型的局部傅里葉稀疏信號。當用像短時傅里葉變換

式中，fk表示第k個正弦函數(shù)對應的頻率，其取值為頻段內所有跳頻頻點數(shù)Nf;Tk為對應的第k跳信號的時間中心，且 Tk∈［0，d/2］，d為跳頻信號跳周期，即正弦窗寬度。按照實際中需要的精度來均勻取值，如 k=1，2，…，Nn，Nn的精度由采樣間隔決定，而Nn的取值決定了搜索精度，值越大搜索精度越高。對參數(shù)向量 γ 進行離散化 γ={Δu，iΔT，d，jΔf}，為減少字典生成所需時間，這里將d固定為一個很小的值，其他參數(shù)如下:Δu=1/2，2πΔf=π/2，2πΔfΔT=π/6，所以 Δu=1/2，Δf=1/4，ΔT=1/3，0≤j≤1，0≤i≤12。通過以上描述構造過完備的跳頻信號結構字典 D={gγ(t)}γ∈Γ，則該字典中共有 M=NfNn個原子。(STFT)這樣的時頻表示方法進行表示時，跳頻信號是稀疏的。也就是說跳頻信號在時頻表示的短時傅里葉變換下得到的系數(shù)是稀疏的，即跳頻信號在局部傅里葉變換基下是稀疏的。很明顯這里的局部傅里葉變換基是一個完備的正交基，對于頻率隨時間變化的跳頻信號，稀疏表示效果欠佳。如果從跳頻信號結構出發(fā)構造過完備字典，則會得到更好的稀疏表示效果。

根據式(1)所描述的跳頻信號模型，多個具有不同時頻中心的單音頻信號相互疊加即可構成一段跳頻信號，所以它的每一跳都可以看成是由時間中心Tk、載波頻率fk和跳周期d三個參數(shù)唯一確定的時域不重疊的有限長正弦信號。而作為合作方通信，跳周期一般是已知的，為了能更好的分解跳頻信號，根據跳頻信號的結構特點選取由參數(shù)向量γ={Tk，dk，fk}確定的加窗正弦函數(shù)作為過完備字典的原子，這些加窗正弦函數(shù)具有單位能量，原子表達式如下所示:

由于過完備字典中單個原子需要滿足‖g‖=1，即范數(shù)為1。因此，對上式進行歸一化得到原子為:

2 基于FFT－MP算法的信號稀疏分解

假設待分解信號是一個長度為N的信號f。若要在一組完備的正交基上分解該信號，則該正交基的數(shù)目應該是N。由于這些基之間相互正交，所以它們信號空間中的分布是稀疏的，因此信號分解后的信號能量將在不同的正交基上分散分布。但是，這樣的分解通常導致信號表示不是稀疏的。而將信號在過完備字典上進行分解一定能夠獲得稀疏的分解結果［5］。

匹配追蹤(MP)算法［5］是目前信號稀疏分解最常用的方法，其分解信號的具體過程闡述如下:

首先從生成的過完備字典中選出與待分解信號最匹配的原子gγ0，該原子滿足如下條件:

此時，信號被分解為兩部分，即在最佳原子gγ0上的分量和信號殘差:

式中，R1f是信號f經過第一次最佳匹配之后的信號殘差。顯然原子gγ0和殘差R1f是正交的，因此可得:

分解的最終目標是讓殘余信號的能量最小化。對每一次最佳匹配后的殘差信號不斷進行上述同樣的分解過程，假設已經進行了k次原子分解，得到第k次分解后殘差Rkf，則該殘差可以被分解為:

式中 gγk滿足:

同樣 Rk+1f與 gγk正交，滿足:

通過以上過程對信號進行n次分解，最終得到:

將式(8)帶入上式可得:

相似地，可以將‖f‖2分解為如下的連加等式:

式中，Rnf為原信號用n個原子的線性組合表示之后產生的誤差。已經證明在有限的信號長度下，殘余信號能量‖Rnf‖隨著n的增大呈指數(shù)衰減，最終為0。因此，信號可以被分解為:

將式(10)帶入上式得到一個能量守恒方程:

一般來說，由于‖Rnf‖的衰減特性，因此信號的信號的主要成分通常用很少的原子即可表示:

這里n是遠小于信號長度N的。

目前MP算法還是一種比較常用的信號稀疏分解方法，但是在利用MP算法進行信號稀疏分解的過程中，每次分解都要計算信號殘差在過完備字典中所有原子上的投影，并且是在高維空間進行，因此計算量巨大。通?；贛P算法的稀疏分解需要在N維空間進行多次的內積計算〈Rkf，gγ〉，這使得信號稀疏分解過程的計算量巨大。文獻［8］針對基于MP算法在稀疏分解中多次進行計算高維空間內積計算量偏大的問題，提出了一種基于FFT改進的MP信號稀疏分解方法。

對于過完備字典中一個由參數(shù) γ=(s，u，v，w)唯一確定的原子，當信號長度為N時，如果讓u在［0，N－1］上取所有可能的值，則該原子要和信號或信號的殘差作N次內積運算〈Rkf，gγ〉。雖然這樣對信號的稀疏分解效果會更好，但這會使字典的規(guī)模增加，從而造成計算量的大幅增加。但是由于u從0到N－1連續(xù)取值，因此可以將所有的N次內積計算轉換成一次Rkf和gγ的互相關運算，即r(Rkf，gγ)。

由于互相關運算可以利用離散傅里葉變換的快速算法FFT快速實現(xiàn)，所以對于由N次內積計算轉換后的互相關運算，可以進一步利用FFT來改進。一般情況下，通過FFT算法計算互相關，不但不會對信號稀疏分解的效果產生任何影響，而且可以使稀疏分解過程中內積的計算速度至少提高一個數(shù)量級，從而大大提高信號稀疏分解的速度。

3 仿真與分析

本節(jié)采用過完備跳頻信號結構字典與基于FFT改進的MP算法對跳頻信號進行稀疏分解，并與文獻［4］提出的Gabor過完備字典下的稀疏分解效果進行對比。其中，Gabor原子和跳頻信號結構原子的波形分別如圖1和圖2所示。由于信號的重構和分解采用同樣的方法，不同的是重構和分解為互逆過程。因此，采用對跳頻信號進行分解之后的重構性能來衡量算法的分解效果。

圖1 Gabor原子波形Fig．1 Waveform of Gabor atom

圖2 跳頻信號結構原子波形Fig．2 Waveform of FH signal structural atom

由于FSK與PSK是通信信號中最常用的兩種調制方式，因此仿真中待分解的跳頻信號采用FSK調制的跳頻信號，其中信號長度 N=1 000，包含10個跳變頻率，其中每跳包含100個采樣點。跳頻信號的跳變頻率隨著隨機序列在200～2 000 Hz之間以200 Hz的間隔取值，采樣頻率為10 kHz，跳速為1 000跳/秒，信息速率為100比特/秒。跳頻信號時域波形如圖3所示。

對于上面的FSK調制跳頻信號，分別對過完備的Gabor字典和文中提出的過完備跳頻信號結構字典，采用FFT改進的MP算法對跳頻信號進行稀疏分解，算法的執(zhí)行結果分別如圖4和圖5所示。

圖4 Gabor字典下跳頻信號分解及重構結果Fig．4 FH signal decomposition and reconstruction results under the Gabor dictionary

圖5 跳頻信號結構字典下的信號分解和重構結果Fig．5 FH signal decomposition and reconstruction results under the over－complete structural dictionary

圖4(a)，圖5(a)均為跳頻信號分解得到的殘差，信號殘差隨著迭代次數(shù)不斷發(fā)生變化的，隨著迭代次數(shù)的增加信號殘差值就會變得越來越小;圖4(b)，圖5(b)均為重構之后的跳頻信號波形。對圖4(a)和圖5(a)所示的信號殘差波形進行比較可以看出，采用跳頻信號結構字典對信號進行分解得到的殘差幅度遠遠小于過完備Gabor字典下對跳頻信號進行分解得到的殘差幅度。因此，從信號分解殘差的角度來說，基于過完備跳頻信號結構字典的信號分解性能優(yōu)于過完備Gabor字典下的信號分解性能。

由于信號重構和信號分解是采用相同的算法但卻完全互逆的過程，因此利用信號的重構性能來評估過完備字典下的跳頻信號稀疏分解性能是完全合理的。利用重構跳頻信號的均方誤差(MSE，Mean Square Error)來衡量算法的重構性能，均方誤差表達式如下:

圖6為跳頻信號在兩種過完備字典下進行稀疏分解之后再重構得到的均方誤差性能曲線。

圖6 不同過完備字典下的跳頻信號分解后再重構的性能Fig．6 Reconstruction performance of FH signal under different over－complete dictionaries

由圖6可以得到這樣的結論:過完備Gabor字典和跳頻信號結構字典均能夠很好的對跳頻信號進行稀疏分解，且分解效果較好;隨著迭代次數(shù)的增加，信號稀疏分解效果越好，但是從最終的分解效果來說，文中提出的跳頻信號結構字典下的分解性能要明顯好于過完備Gabor字典下的分解性能。這也正好驗證了之前由圖4(a)和圖5(a)的信號殘差幅值所得到的結論。從圖6還可以看出，當?shù)螖?shù)為600時，均方誤差性能均已達到了10－2數(shù)量級。

為進一步說明跳頻信號結構字典下稀疏分解的優(yōu)勢，這里對不同過完備字典下的稀疏分解算法執(zhí)行所需時間進行統(tǒng)計，如表1所示。

表1 跳頻信號稀疏分解仿真所需時間Table 1 Simulation time for FH signal sparse decomposition

由表1可以看出，雖然兩種過完備字典下的跳頻信號稀疏分解能夠得到相近的分解性能，但是跳頻信號結構字典下的稀疏分解方法用時僅為過完備Gabor字典下的0．4%，提高了將近230倍。另外，由于跳頻信號結構原子更加接近跳頻信號的結構特性，生成的過完備字典中原子個數(shù)也將遠遠少于過完備Gabor字典中的原子個數(shù)。因此，生成一個過完備的跳頻信號結構字典用時也將明顯少于過完備Gabor字典。

綜上所述，但是采用文中提出的跳頻信號結構字典進行稀疏分解，可以大大減少跳頻信號在稀疏表示環(huán)節(jié)所消耗的時間，從而為后續(xù)處理節(jié)省了大量時間。

4 結語

跳頻信號具有特殊的結構特性。文中從跳頻信號的自身結構出發(fā)，構造了更加接近其結構特性的跳頻信號過完備結構字典，并利用基于FFT方法改進的MP分解算法研究了跳頻信號在過完備時頻字典下的稀疏分解。該方法對跳頻信號的分解效果和分解所需時間兩個方面都有了很大改善。后續(xù)的研究中希望能夠更加充分地利用跳頻信號的先驗信息來構造過完備字典，而更加快速高效的稀疏分解算法也是一個值得關注的研究方向。

［1］ 梅文華，王淑波，邱永紅，等．跳頻通信［M］．北京:國防工業(yè)出版社，2005:2－7．MEI Wen－h(huán)ua，WANG Shu－bo，QIU Yong－h(huán)ong．Frequency Hopping Communications［M］．Beijing:National Defence Industry Press，2005:2－7．

［2］ 姚富強．通信抗干擾工程與實踐［M］．北京:電子工業(yè)出版社，2012:26－29．YAO Fu－qiang．Communication Anti－Jamming Engineer－ ing and Practice(Second Edition)［M］．Beijing:Publishing House of Electronics Industry，2012:26－29．

［3］ 閆鳳丹，于蓮芝．基于小波變換的超聲數(shù)據采集與處理［J］．通信技術，2013，46(09):68－71．YAN Feng－dan，YU Lian－zhi．Ultrasonic Data Acquisition and Processing based on Wavelet Transform．Communi－ cations Technology，2013，46(09):68－71．

［4］ 郭金庫，劉光斌，余志勇，等．信號稀疏表示理論及其應用［M］．北京:科學出版社，2013:22－30．GUO Jin－ku，LIU Guang－bin，YU Zhi－yong et al．Signal Sparse Representation Theory and Its Application［M］，Beijing:Science Press，2013．pp．22－30．

［5］ MALLAT S，ZHANG Z．Matching Pursuits with Timefrequency Dictionaries［J］．IEEE Transactions Signal Process，1993，41(12):3397－3415．

［6］ 張春梅，尹忠科，肖明霞．基于冗余字典的信號超完備表示與稀疏分解［J］．科學通報，2006，51(06):628－633．ZHANG Chun－mei，YIN Zhong－ke，XIAO Ming－xia．Redundant Dictionary Based Signal Over－complete Representation and Sparse Decomposition［J］．Chinese Science Bulletin，2006，51(06):628－633．

［7］ LASKA J，KIROLOS S，MASSOUD Y，et al．Random Sampling for Analog－to－information Conversion of Wideband Signals［C］//Design，Applications，Integration and Software，2006 IEEE Dallas/CAS Workshop on．Richardson，TX:IEEE，2006:119－122．

［8］ 尹忠科，邵君，Pierre Vandergheynst．利用FFT實現(xiàn)基于MP的信號稀疏分解［J］．電子與信息學報，2006，28(04):614－618．YIN Zhong－ke，SHAO Jun，PIERRE Vandergheynst．MP Based Signal Sparse Decomposition with FFT［J］．Journal of Electronics＆ Information Technology，2006，28(04):614－618．