雙中繼無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)建模及傳輸效率分析

王 維 黃學(xué)良 周亞龍 曹偉杰 譚林林

（東南大學(xué)電氣工程學(xué)院 南京 210096）

1 引言

近幾年來(lái)，隨著無(wú)線電能傳輸技術(shù)研究的不斷升溫及其相關(guān)應(yīng)用領(lǐng)域的不斷拓寬，越來(lái)越多的研究學(xué)者對(duì)此項(xiàng)技術(shù)給予了足夠的肯定。便攜式小型家用電器的無(wú)線充電、植入式人體醫(yī)療設(shè)備的無(wú)線供電、電動(dòng)汽車(chē)的無(wú)線充電等諸多領(lǐng)域竟相追逐，并在技術(shù)應(yīng)用上取得了一定的突破[1,2]。相比之下，傳統(tǒng)的電纜輸電系統(tǒng)呈現(xiàn)出越來(lái)越多的弊端，在深海、煤礦、化工等特殊領(lǐng)域，存在火花、輸電線路的鋪設(shè)及維修困難等一系列安全性、建設(shè)性的問(wèn)題，這使得這些行業(yè)迫切需要無(wú)線電能傳輸技術(shù)的支持。

在特斯拉打開(kāi)了無(wú)線輸電的思路之后，很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此技術(shù)都不感興趣。自2007年 MIT在電磁共振原理上進(jìn)行突破，并成功在2m以外點(diǎn)亮了一只60W的燈泡，才逐漸打破了電磁感應(yīng)原理對(duì)以往多數(shù)科學(xué)家的束縛，為大功率、中距離無(wú)線電能傳輸技術(shù)的發(fā)展提供了一個(gè)新思路[3,4]。磁耦合諧振式無(wú)線電能傳輸技術(shù)是繼激光、微波、電磁感應(yīng)等傳輸方式后的一種新的傳輸方式。用于諧振耦合的能量收發(fā)線圈，通過(guò)電容補(bǔ)償，使得線圈自身諧振頻率保持一致，由此可進(jìn)行電能的高效、長(zhǎng)距離、大功率的傳輸[5,6]。

本文針對(duì)雙中繼無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)進(jìn)行建模，并從能量投遞層面，通過(guò)理論及仿真分析、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方式，對(duì)其中繼層發(fā)射與接收天線間的能量傳輸效率進(jìn)行分析，同時(shí)引入耦合系數(shù)的概念，探討線圈耦合強(qiáng)弱與其傳輸效率的關(guān)系，并著重從能量接收線圈的匝數(shù)設(shè)計(jì)入手，分析在給定的無(wú)線電能傳輸共振系統(tǒng)下，接收線圈是否存在最優(yōu)化匝數(shù)，使得系統(tǒng)能量傳輸效率達(dá)到最高，避免在實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，對(duì)線圈匝數(shù)設(shè)計(jì)的盲目和不確定。

2 系統(tǒng)建模與互感分析

系統(tǒng)物理模型如圖1所示，其包含勵(lì)磁電源、勵(lì)磁線圈、能量傳輸天線、能量接收天線、負(fù)載耦合線圈及負(fù)載組成。勵(lì)磁電源為高頻電壓源，產(chǎn)生高頻正弦信號(hào)。通過(guò)勵(lì)磁線圈的電磁變換并與能量傳輸天線間的互感強(qiáng)耦合關(guān)系將高頻電磁信號(hào)耦合至能量傳輸天線側(cè)。同理，基于互感耦合的方式，高頻信號(hào)經(jīng)由能量傳輸天線、能量接收天線及負(fù)載耦合線圈逐級(jí)傳遞至負(fù)載端，為負(fù)載提供其所需的能量。為了最大化傳輸電能，減少在空間耦合時(shí)不必要的能量輻射、內(nèi)耗等能量耗散，本文采用能量逐級(jí)電容串聯(lián)補(bǔ)償式電路，如圖1所示，補(bǔ)償電容Cs、Ct、Cr、Cl分別為勵(lì)磁線圈 Dl、能量傳輸天線Tx、能量接收天線Rx、負(fù)載耦合線圈Ll的補(bǔ)償電容。通過(guò)補(bǔ)償后的電磁共振模式，能量即可被高效率傳輸。同時(shí)通電導(dǎo)線在高頻下具有很強(qiáng)的趨膚效應(yīng)，故系統(tǒng)采用空心銅管來(lái)繞制上述各類線圈。圖2為系統(tǒng)物理模型的側(cè)視圖。

圖1 系統(tǒng)物理模型圖Fig.1 Physical model of system

圖2 系統(tǒng)物理模型側(cè)視圖Fig.2 The lateral view of physical model

電磁能量以磁共振模式在線圈間進(jìn)行無(wú)線傳輸，線圈間的互感系數(shù)是能量耦合傳輸?shù)年P(guān)鍵因素所在。本文通過(guò)理論與仿真相結(jié)合的方法對(duì)線圈間互感系數(shù)進(jìn)行分析，進(jìn)而得出較為精確的系統(tǒng)電路模型，在此基礎(chǔ)上，通過(guò)研究能量傳輸線圈與能量接收線圈間的耦合系數(shù)，進(jìn)一步討論系統(tǒng)能量傳輸層的傳輸效率與耦合系數(shù)的關(guān)系，從而對(duì)能量接收線圈進(jìn)行最優(yōu)化匝數(shù)設(shè)計(jì)。

對(duì)于本文所建立的無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)，勵(lì)磁與負(fù)載耦合線圈均為單匝銅管，能量傳輸天線與能量接收天線以多匝銅管螺旋繞制而成。對(duì)于空心線圈，其電感近似計(jì)算表達(dá)式為[7]

式中，L為電感量（μH）；μ0為真空磁導(dǎo)率（4π×10-7H/m）；N為線圈匝數(shù)；S為螺旋線圈的截面積（m2）；l為螺旋線圈軸向長(zhǎng)度（m）；k為長(zhǎng)岡系數(shù)，取決于2r/l的比值；r為線圈半徑（m）。

如圖2所示，在本文所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)中，線圈半徑r均為0.2m，銅管截面直徑為0.002 7m，螺旋線圈軸向長(zhǎng)度l為

式中，w為兩匝銅管間距，本文所設(shè)計(jì)系統(tǒng)中兩匝銅管間距固定為w=0.005 5m。

表1中給出了由式（1）、式（2）及長(zhǎng)岡系數(shù)k計(jì)算所得的電感理論值及由HIOKI公司的LCR測(cè)試儀的實(shí)測(cè)值，并對(duì)其進(jìn)行了對(duì)比。

通過(guò)表1可看出，用式（1）、式（2）來(lái)描述本系統(tǒng)設(shè)計(jì)的螺旋線圈電感值較為精確。

表1 不同匝數(shù)N下的空心螺旋線圈電感值Tab.1 Hollow spiral coil inductance value in different turns（單位：μH）

對(duì)于圖2所示的無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)，系統(tǒng)傳輸模型如圖3所示，基于互感耦合機(jī)理，能量在線圈間傳遞主要依賴于勵(lì)磁線圈與能量傳輸天線之間的互感Mst、能量傳輸天線與能量接收天線間的互感Mtr以及能量接收天線與負(fù)載耦合線圈間的互感Mrl。故本文采用理論與仿真相結(jié)合的方法對(duì)上述系統(tǒng)能量傳遞線圈間互感進(jìn)行分析。

圖3 磁耦合諧振式無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)模型Fig.3 The model of magnetically coupled resonant wireless power transmission system

針對(duì)空間中兩共軸平行線圈，其互感大小可由Neumann公式計(jì)算得出[8]，即

式中，μ0是磁常數(shù)；N1、N2為兩線圈匝數(shù)；d ?1、 d?2為線圈1與線圈2上的微小線元素；X1為微小線元素d?1的坐標(biāo)位置；X2為微小線元素d?2的坐標(biāo)位置。

在圖2所述各能量線圈中，線圈半徑均為統(tǒng)一常量，即r=20cm；且勵(lì)磁與負(fù)載耦合線圈均為單匝銅管，能量傳輸線圈為5匝，故線圈間互感可表示為

式中，θ、φ均為積分因子；d為兩線圈間軸向距離。

通過(guò)Matlab仿真，令線圈1匝數(shù)為5，得出線圈1、2間互感隨線圈匝數(shù)N、線圈軸向距離d的關(guān)系，如圖4所示。

圖4 互感隨線圈匝數(shù)N或傳輸距離d變化圖Fig.4 Mutual inductance varies with turns N of coils or transmission distance d

由圖4可看出，當(dāng)兩線圈間軸向距離d及其中一個(gè)線圈匝數(shù)固定后（圖中注視匝數(shù)為本文所設(shè)計(jì)系統(tǒng)中線圈采用的匝數(shù)），兩線圈間互感值隨另一線圈匝數(shù)呈線性變化，且匝數(shù)越多，互感值越大。當(dāng)兩線圈匝數(shù)均固定后，互感值隨軸向距離d的增加幾乎呈3次方衰減，故通過(guò)縮小兩線圈間軸向距離或增加線圈匝數(shù)可顯著提高線圈間的互感值。

3 系統(tǒng)傳輸效率分析

對(duì)于圖3所示的無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)互感耦合模型，本文著重從能量投遞層面，分析能量傳輸層間系統(tǒng)傳輸效率與系統(tǒng)耦合系數(shù)之間的關(guān)系，并由此對(duì)給定系統(tǒng)其他參數(shù)條件下的接收線圈最優(yōu)化匝數(shù)進(jìn)行探究。

在本文效率分析時(shí)，考慮的是能量發(fā)射線圈與接收線圈之間的傳輸效率，因?yàn)樨?fù)載回路可利用匹配電容使其保持諧振，故假設(shè)負(fù)載為確定的阻性負(fù)載，這不影響本文中線圈匝數(shù)對(duì)傳輸效率的分析。

由方程（5）可得

對(duì)于圖3所示無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)模型的能量傳輸層，能量傳輸在發(fā)射與接收天線之間，故能量傳輸層的傳輸效率與各線圈中儲(chǔ)存的能量大小有密切關(guān)系，為了針對(duì)性研究線圈匝數(shù)與傳輸效率之間的關(guān)系，假定系統(tǒng)其余參數(shù)均為已知參數(shù)，能量接收線圈匝數(shù)Nr未知。式（7）給出了兩線圈間傳輸效率及線圈中存儲(chǔ)能量的基本表達(dá)式，即

式中，WL表示線圈中存儲(chǔ)的能量。

聯(lián)立式（6）、式（7），可得能量發(fā)射、接收天線間的傳輸效率一般表達(dá)式為

在式（8）中，因?yàn)楦骰咀兞烤鶠榻邮仗炀€匝數(shù)Nr的函數(shù)，即

故能量傳輸層傳輸效率η亦為Nr的函數(shù)，即

對(duì)于線圈中的等效電阻rLr，由高頻時(shí)線圈的損耗電阻rohm和輻射電阻rrad組成[9]。然而，輻射電阻rrad一般在10-4Ω數(shù)量級(jí)上, 所以相對(duì)于損耗電阻來(lái)說(shuō)可忽略不計(jì)[10]。而螺旋線圈的損耗電阻可通過(guò)下式得出，即

式中，N為線圈匝數(shù)；r為線圈半徑（cm）；R′為空心導(dǎo)線有效截面積半徑（cm）；σ為導(dǎo)體電導(dǎo)率（S/m）。

對(duì)于本文所述線圈，銅的電導(dǎo)率為 5.8×107S/m，R′=0.055cm。

結(jié)合上述各式，經(jīng)化簡(jiǎn)可得能量傳輸層傳輸效率η與能量接收天線Nr的關(guān)系式為

式中，x1、x2、x3、x4為包含r、R、R′、ω0、d、Rl等系統(tǒng)原始參數(shù)的組合定參數(shù)；k為隨Nr增加的非線性增長(zhǎng)系數(shù)。

由式（12）可以明顯看出，η隨Nr的增加并非為單調(diào)函數(shù)，對(duì)于任意如圖1所述的無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)，存在不止一個(gè)最優(yōu)匝數(shù)Nr使得系統(tǒng)能量層傳輸效率達(dá)到局部最優(yōu)值。而對(duì)于實(shí)際的系統(tǒng)，為使得系統(tǒng)始終處于共振狀態(tài)，采用高頻可調(diào)電容進(jìn)行匹配。然而，一般情況下，匹配電容值是有限的，Nr與其匹配電容存在如下約束條件：

故綜合考慮各項(xiàng)因素，傳輸效率η在有限接收線圈匝數(shù)下存在局部最優(yōu)值。

為了更好的分析發(fā)射與接收線圈間耦合力與系統(tǒng)傳輸效率之間的關(guān)系，本文引入耦合系數(shù)k表示發(fā)射與接收線圈間的耦合關(guān)系[11]，可由下式表示。

對(duì)于能量發(fā)射線圈及線圈間軸向距離d確定的無(wú)線電能傳輸共振系統(tǒng)，耦合系數(shù)k與接收線圈匝數(shù)存在如下式的關(guān)系，即

式中，c′為定常數(shù)；y1為不定常數(shù)，隨著Nr的增加呈非線性衰減趨勢(shì)。

由y1特性可知，耦合系數(shù)k隨著Nr的增加，在某一區(qū)間內(nèi)存在極大值，但隨著Nr的繼續(xù)增加，耦合系數(shù)則呈不斷增長(zhǎng)趨勢(shì)，即通過(guò)增加線圈匝數(shù)可以增強(qiáng)兩線圈間的耦合關(guān)系。同時(shí)，系統(tǒng)傳輸效率可表示為耦合系數(shù)k的函數(shù)關(guān)系，即

4 系統(tǒng)傳輸效率與耦合系數(shù)的仿真與實(shí)驗(yàn)分析

為了能夠更加直觀的描述系統(tǒng)能量傳輸效率與接收線圈設(shè)計(jì)之間的關(guān)系，本文采用Matlab軟件對(duì)理論分析進(jìn)行仿真研究，旨在驗(yàn)證理論分析的正確性，同時(shí)得出兩者間的內(nèi)在關(guān)系，并由此對(duì)接收線圈進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以滿足電能高效無(wú)線傳輸?shù)囊蟆?/p>

同時(shí)，為了更好的驗(yàn)證本文所分析理論的正確性，本文對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行了較為精確的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表2，實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示。

表2 磁耦合諧振式無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)參數(shù)Tab.2 Experimental parameters of magnetically coupled resonant wireless power transmission system

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.5 The experiment device

當(dāng)系統(tǒng)其余參數(shù)均確定時(shí)，效率、耦合系數(shù)分別可表示為與接收線圈匝數(shù)、傳輸距離之間的關(guān)系，如圖6和圖7所示。然而，系統(tǒng)傳輸效率與線圈內(nèi)的損耗有著直接的關(guān)系，而隨著線圈匝數(shù)的增加，能量發(fā)射與接收線圈間互感、自身電感、線圈內(nèi)阻均隨之增加，導(dǎo)致線圈內(nèi)諧振電流呈非線性變化，這是導(dǎo)致傳輸效率隨匝數(shù)增加而非線性變化的直接原因。同時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)傳輸效率最大時(shí)，線圈內(nèi)諧振電流并非為最大值，故此時(shí)的輸出功率并非最大值，這也導(dǎo)致了系統(tǒng)傳輸能力也隨線圈匝數(shù)增加呈非線性變化。

圖6 η隨Nr、d變化關(guān)系圖Fig.6 η varies with Nr or d

圖7 k隨Nr、d變化關(guān)系圖Fig.7 k varies with Nr or d

由于線圈電感與其匝數(shù)并非呈正比關(guān)系，且線圈阻抗隨匝數(shù)幾乎呈正比增長(zhǎng)，故當(dāng)線圈匝數(shù)增大到一定值時(shí)，內(nèi)阻對(duì)線圈內(nèi)諧振電流的影響明顯增大，故必存在一個(gè)最優(yōu)匝數(shù)值，使得系統(tǒng)傳輸效率達(dá)到最大值。由圖6可以看出，在能量發(fā)射線圈與能量接收線圈間距離固定時(shí)，接收線圈存在一個(gè)最優(yōu)匝數(shù)值，使得系統(tǒng)能量傳輸層的傳輸效率最大，本文所設(shè)計(jì)系統(tǒng)中，Nr=7時(shí)，傳輸效率達(dá)到最大值，且發(fā)射線圈與接收線圈在不同的軸向距離下，接收線圈存在相同的匝數(shù)值使得傳輸效率最優(yōu)化。但由于本文理論分析時(shí)忽略了輻射阻抗及趨膚效應(yīng)的影響，加上實(shí)驗(yàn)中的不可抗誤差，理論值與實(shí)驗(yàn)值存在一定的誤差。由圖7可明顯看出，發(fā)射線圈與接收線圈間耦合系數(shù)在一定范圍內(nèi)存在極值點(diǎn)，但隨著接收線圈的匝數(shù)繼續(xù)增加而呈上升趨勢(shì)，這是由于接收線圈電感隨匝數(shù)增加呈非線性增長(zhǎng)導(dǎo)致的。綜合圖 6、圖7可知，系統(tǒng)能量傳輸層的傳輸效率與兩線圈間的耦合程度并非呈正比關(guān)系，通過(guò)縮短傳輸距離，可以大幅度提高線圈間的耦合程度，同時(shí)也可以大大增加系統(tǒng)傳輸效率。相反，當(dāng)傳輸距離確定時(shí)，決定傳輸效率最主要的因素是由線圈匝數(shù)增加而引起的線圈內(nèi)阻、線圈間互感及線圈自身電感的變化，它們的變化會(huì)間接引起線圈內(nèi)諧振電流的變化。

5 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)磁耦合無(wú)線電能傳輸系統(tǒng)進(jìn)行建模分析，主要研究其系統(tǒng)能量層發(fā)射與接收線圈間的傳輸效率與接收線圈匝數(shù)間的關(guān)系，從而確定最大傳輸效率下的接收線圈匝數(shù)設(shè)計(jì)，即在系統(tǒng)其他參數(shù)固定情況下，接收線圈存在最優(yōu)匝數(shù)值使得系統(tǒng)傳輸效率達(dá)到最大，且不同傳輸距離下的最優(yōu)匝數(shù)值具有同一化的特點(diǎn)。通過(guò)縮短傳輸距離可以明顯提高線圈間的耦合系數(shù)，更有助于系統(tǒng)傳輸效率的提高。針對(duì)系統(tǒng)傳輸效率性能指標(biāo)，以上結(jié)論對(duì)磁耦合無(wú)線電能傳輸實(shí)際系統(tǒng)的搭建具有很好的指導(dǎo)意義。

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