淺談高等數(shù)學(xué)教學(xué)中反例引入效果

周有濤

[摘要]本文主要針對高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)，在講解有關(guān)概念或定理時(shí)通過恰當(dāng)引入反例，闡明既要讓學(xué)生理解必要的概念又毋須在理論上過多分析，從而既可達(dá)到預(yù)期教學(xué)目的又能增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生分析問題和邏輯思維能力的效果。

[關(guān)鍵詞]反例 概念 定理

美國數(shù)學(xué)家B.R 蓋爾鮑姆說過：“一個(gè)數(shù)學(xué)問題用一個(gè)反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲劇，為數(shù)學(xué)作出的許多最優(yōu)雅的和藝術(shù)性很強(qiáng)的貢獻(xiàn)屬于這個(gè)流派”。高等數(shù)學(xué)是高職院校學(xué)生入校后重要的基礎(chǔ)課之一，但也是學(xué)生既想學(xué)好而又感到比較難懂的一門課程。高職層次的高等數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)以"應(yīng)用為目的，必須夠用"為原則。許多重要概念及定理的描述和證明、教材大多作了刪減處理，這樣就不可避免增加了學(xué)生對涉及內(nèi)容的理解難度。因而恰當(dāng)?shù)匾敕蠢?，從另一個(gè)角度讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，彌補(bǔ)正例教學(xué)的缺憾，簡單明了地說明事物之間的差異和聯(lián)系，從而加深學(xué)生對準(zhǔn)確理解和掌握教學(xué)內(nèi)容是很有幫助的?？梢允盏绞掳牍Ρ兜膶W(xué)習(xí)效果。

一般地說，數(shù)學(xué)中的例子分為兩種類型：用以說明某件事為什么有意義的例子稱為正例，把符合某個(gè)命題的條件，但又與該命題結(jié)論相矛盾的例子或稱某例題不成立的例子稱為反例。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，反例和正例有著同等重要的地位。對于數(shù)學(xué)學(xué)科，正例的推證嚴(yán)密、邏輯性強(qiáng)。反例往往出現(xiàn)在老師為了說明一個(gè)命題為假命題時(shí)而采取規(guī)避推理過程的“魔術(shù)”手段。它在發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識數(shù)學(xué)真理、強(qiáng)化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的理解和掌握，培養(yǎng)學(xué)生分析和綜合、概括與抽象的思維能力和創(chuàng)造能力，以及提高學(xué)生解題速度等方面有著不可低估的意義和作用。

一、在概念教學(xué)中引入反例，有“旁敲側(cè)擊”之效

高等數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)本身就是由概念到性質(zhì)，然后到應(yīng)用，概念是數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，概念掌握的程度直接影響到對相關(guān)內(nèi)容的理解和后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。如果抓不到它的本質(zhì)屬性，只是機(jī)械地記憶概念名稱，肯定沒有學(xué)習(xí)效果，引入反例顯得必要和及時(shí)，對學(xué)生理解某些難度大的概念有“旁敲側(cè)擊”之效。

例1.函數(shù)f（x）在x0點(diǎn)連續(xù)必須滿足三個(gè)條件，即：①函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0及其某個(gè)鄰域有定義 ； 。

學(xué)生對定理中的三個(gè)條件各自重要性往往并不太明白，也就對間斷點(diǎn)類型的區(qū)別有困難，直接引入三個(gè)反例便起到警示作用。

例2. 羅爾定理（Rolle）定理：如果函數(shù)f（x）滿足：在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且f（a）=f（b），則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ（a<ξ

例3.若f（x）在（a，b）上可積。則必存在一點(diǎn)ξ∈（a，b）使得 。這個(gè)命題是錯(cuò)的，但錯(cuò)在哪里，學(xué)生并不易察覺，老師只 要舉出下例： ，顯然由定

積分幾何意義可得 ，原因

就出在f（x）不是[0，2]上的連續(xù)函數(shù)。反例說明f（x）是連續(xù)函數(shù)這個(gè)條件不是可有可無，不是文字游戲，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性正在于此。為進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對“連續(xù)”的理解，在下一節(jié)內(nèi)容又接講下例。

例4.牛頓-萊布尼茲定理：如果函數(shù)F（x）是連續(xù)函數(shù)f（x）在[a，b]上的一個(gè)原函數(shù)，則 ，定理中的“連續(xù)”這一條件是不能隨意減弱的，否則就會導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤。為此可舉下例：

在[-1，1]上的可積性。

很明顯， 在x=0處間斷，若盲目使用定理，則有

結(jié)果對與錯(cuò)在學(xué)生還沒有接觸到廣義積分時(shí)自己是無法判斷的。老師可作為“伏筆”留給學(xué)生。當(dāng)學(xué)到廣義積分后再回問此題，學(xué)生很快醒悟。因?yàn)?是發(fā)散的，積分不存在。

二、在解題教學(xué)中設(shè)置反例。有“柳暗花明”之效

解題在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中課時(shí)所占比例較大，特別在求函數(shù)極限和求不定積分兩部分，涉及到數(shù)學(xué)相關(guān)知識信息量大，技巧性強(qiáng)，方法靈活。通過適當(dāng)?shù)胤蠢?，提示學(xué)生在解題時(shí)避免出現(xiàn)此類的錯(cuò)誤。從而讓學(xué)生感到通過反例的解惑有“柳暗花明”之效。

例5.計(jì)算

這是一道看似簡單的極限題，老師可設(shè)“套”讓學(xué)生“中計(jì)”不被察覺，即：

然后讓學(xué)生回答解題有無錯(cuò)誤，接著又用下列方法解：

再問有誤沒有？然后讓學(xué)生討論，究竟問題出在哪？

學(xué)生最終發(fā)現(xiàn)了極限運(yùn)算法則中的“有限個(gè)”的條件特別重要。從而加深了他們對解數(shù)列極限的題目印象。在教學(xué)實(shí)踐中此題的解答引起學(xué)生特別好奇吸引著他們的注意力。

例6.計(jì)算 老師可先寫出下面的解題過程，讓學(xué)生辨別正誤，并指出原因。

錯(cuò)誤的原因是求商的極限運(yùn)算中以兩個(gè)等價(jià)無窮小代入等式之中，雖然α1～β1.α2～β2，但α1-α2～β1-β2不一定成立，因?yàn)樗鼈兊牟畈灰欢ㄊ堑葍r(jià)的無窮小，這事實(shí)上是擴(kuò)大了無窮小等價(jià)代換的外延。這個(gè)例子很清楚地告訴學(xué)生利用無窮小代換定理進(jìn)行運(yùn)算時(shí)必須特別仔細(xì).

例7.計(jì)算 正確答案為 。

學(xué)生很容易如下去做：

問題的關(guān)鍵是 的隱性條件不易被發(fā)現(xiàn)。錯(cuò)誤的原因是 的間斷點(diǎn)導(dǎo)致的。

三、在命題教學(xué)中設(shè)量反例，有“言簡意賅”之效

反例在判斷命題或逆命題是否為真時(shí)尤其適用較廣，由于課時(shí)和層次要求，教學(xué)內(nèi)容里許多定理、性質(zhì)、證明往往略去不講，這在一定程度上削弱教學(xué)的嚴(yán)密性，導(dǎo)致對于某些命題的必要性或充分性的推理和敘述不夠嚴(yán)謹(jǐn)，反例的出現(xiàn)時(shí)機(jī)好，言簡意賅，說服力強(qiáng)。

例8.已知：當(dāng)f（x）為奇數(shù)時(shí) 那么，若

，f（x）是奇數(shù)嗎？只須舉一個(gè)反例可以說明。

顯然f（x）不是奇函數(shù)。畫出它的圖形后，接著老師可進(jìn)一步引深，這樣的函數(shù)是否唯一？當(dāng)然不唯一，平移函數(shù)圖形還會得到眾多結(jié)果。

例9.命題：初等函數(shù)在其定義域內(nèi)必連續(xù)。很多同學(xué)對此命題回答是肯定的。若引入反例

說明它是初等函數(shù)。但因定義域?yàn)殡x散點(diǎn)集，因而談不上連續(xù)性。從反例中讓學(xué)生明白命題中的“域”應(yīng)為“區(qū)間”才為真。

例10.若f（u）在u0不可導(dǎo)，u=g（x）在x0可導(dǎo)，且u0=g（x0）。則f[g（x）]在x0必不可導(dǎo)。這是對復(fù)合函數(shù)的可導(dǎo)性的一個(gè)命題，答案是非。

反例f（u）=|u|在u=0不可導(dǎo)，u=g（x）=x4在x=0可導(dǎo)。 而f[g（x）]=|x4|=x4在x=0卻可導(dǎo)。

總之，反例在教學(xué)中作為用以說明某個(gè)問題為什么講不通的常見方法，盡管它的使用有時(shí)顯得過于簡單化，只要選擇出具有目的性、啟發(fā)性、典型性、延伸性等特點(diǎn)的反例，對于培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力以及學(xué)習(xí)問題，刺激學(xué)習(xí)興趣，加深知識在大腦中的印跡不無裨益。同時(shí)也是教學(xué)改革與創(chuàng)新、加強(qiáng)素質(zhì)教育的嘗試，對提高教學(xué)質(zhì)量能起到積極作用。

[參考文獻(xiàn)]

[1]高等教學(xué)是非300例分析[M].北京航空學(xué)院出版社 1985.

[2]【美】B.R蓋爾鮑姆著.分析中的反例[M].上海科學(xué)出版社. 1980.

[3]孫旭東，肖業(yè)勝著.應(yīng)用高等數(shù)學(xué) [M].湖南師范大學(xué)出版社.2011

（作者單位：武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院 湖北武漢）