基于穩(wěn)定裕度的控制系統(tǒng)雙回路增益優(yōu)化方法

趙金龍, 周軍, 郭建國(guó), 呼衛(wèi)軍

(西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所, 陜西 西安 710072)

0 引言

對(duì)于遠(yuǎn)程火箭或彈道導(dǎo)彈而言,其主動(dòng)段控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)通常是在標(biāo)準(zhǔn)彈道上選取若干特征點(diǎn),確定控制系統(tǒng)構(gòu)型并對(duì)特征點(diǎn)逐個(gè)進(jìn)行增益優(yōu)化,進(jìn)而通過增益調(diào)度實(shí)現(xiàn)全包線飛行控制律。對(duì)于控制系統(tǒng)增益優(yōu)化問題,傳統(tǒng)試湊的方法效率低且優(yōu)化效果不明顯,難以同時(shí)滿足時(shí)域指標(biāo)和頻域穩(wěn)定裕度要求。因此,對(duì)控制系統(tǒng)增益自動(dòng)優(yōu)化問題的研究,日漸受到諸多學(xué)者的關(guān)注。

控制系統(tǒng)增益優(yōu)化實(shí)際上是一個(gè)多約束非線性最優(yōu)化問題,目前已將多種現(xiàn)代優(yōu)化算法研究應(yīng)用于控制系統(tǒng)增益設(shè)計(jì),如遺傳算法[1]、禁忌搜索算法[2]、蟻群算法[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]和序列二次規(guī)劃[5]等。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法學(xué)習(xí)過程收斂較慢,還可能出現(xiàn)誤差在一定時(shí)間范圍內(nèi)并不隨學(xué)習(xí)次數(shù)增加而減小的“假飽和”現(xiàn)象;蟻群和微粒群等算法同樣缺乏充分的理論依據(jù),算法參數(shù)設(shè)定過度依賴于經(jīng)驗(yàn),優(yōu)化結(jié)果帶有一定的隨機(jī)性。文獻(xiàn)[6-7]直接基于時(shí)域響應(yīng)性能指標(biāo)設(shè)計(jì)增益最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù),該方法在特征點(diǎn)上的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能良好,但未考慮系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性,難以確?？刂葡到y(tǒng)魯棒性和穩(wěn)定性。

本文基于頻域穩(wěn)定裕度構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),采用廣義拉格朗日乘子法處理不等式約束項(xiàng),將問題轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化問題,構(gòu)造了一種雙回路求解算法獲得控制系統(tǒng)增益最優(yōu)解。優(yōu)化結(jié)果使得控制系統(tǒng)不僅滿足時(shí)域響應(yīng)性能指標(biāo),而且具備較大的幅值裕度和相角裕度,系統(tǒng)魯棒性和穩(wěn)定性均有較大提高。

1 系統(tǒng)控制律設(shè)計(jì)

遠(yuǎn)程火箭主要通過擺動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)控制箭體的推力方向?qū)崿F(xiàn)彈道修正,使其沿著預(yù)先選定的標(biāo)準(zhǔn)彈道飛行。而箭體的推力方向主要由剛性箭體的姿態(tài)角決定,因此,姿態(tài)控制系統(tǒng)的任務(wù)就是根據(jù)導(dǎo)航制導(dǎo)信號(hào)控制箭體姿態(tài)角。

以俯仰通道為例,姿態(tài)角偏差和姿態(tài)角速度偏差反饋控制的姿態(tài)控制系統(tǒng)框圖如圖1所示。

俯仰控制律數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

(1)

式中,δφ為擺動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)俯仰方向偏角;a為增益環(huán)節(jié)1;b為增益環(huán)節(jié)2。

由式(1)可見,遠(yuǎn)程火箭控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)最終歸結(jié)為調(diào)節(jié)增益參數(shù)a和b,使得被控對(duì)象在選定的特征點(diǎn)處快速平穩(wěn)跟蹤指令信號(hào),并保持足夠的頻域穩(wěn)定裕度。因此,可通過構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),并設(shè)定增益參數(shù)的初值和參數(shù)空間,將上述問題轉(zhuǎn)化為不等式約束的非線性最優(yōu)化問題。

2 雙回路增益優(yōu)化方法

2.1 目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造

為了使系統(tǒng)具有最大的相對(duì)穩(wěn)定性,提高控制系統(tǒng)在特征點(diǎn)及其鄰域內(nèi)的魯棒性和穩(wěn)定性,本文基于頻域穩(wěn)定裕度指標(biāo)設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)。

當(dāng)考慮液體晃動(dòng)或彈性振動(dòng)時(shí),遠(yuǎn)程火箭或彈道導(dǎo)彈的控制系統(tǒng)是一個(gè)多模態(tài)寬頻域綜合設(shè)計(jì)問題,存在多個(gè)相角裕度和幅值裕度指標(biāo)。

相角裕度指標(biāo)可表示為:

γ=[γ1,γ2,…,γm] (2)

式中,γi表示第i個(gè)截止頻率的相角裕度。

幅值裕度指標(biāo)可表示為:

H=[h1,h2,…,hn] (3)

式中,hj表示第j個(gè)相角交界頻率的幅值裕度。

用X=[x1,x2,…,xl]表示l個(gè)增益組成的優(yōu)化變量,則通過頻域穩(wěn)定裕度指標(biāo)加權(quán)法構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)如下:

f(X)=AγT+BHT(4)

式中,A=[a1,a2, …,am]為相角裕度權(quán)系數(shù);B=[b1,b2, …,bn]為幅值裕度權(quán)系數(shù)。

設(shè)增益尋優(yōu)的參數(shù)空間為[d,u],則約束條件可表示為:

X∈[d,u] (5)

式中,d=[d1,d2,…,dl]為參數(shù)空間下邊界;u=[u1,u2,…,ul]為參數(shù)空間上邊界。

由式(5)可知,目標(biāo)向量X約束條件為di≤xi≤ui(i=1,2,…,l),因此,控制器增益優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為不等式約束的最優(yōu)化問題:

(6)

式中,g2i-1(X),g2i(X)為不等式約束條件;i=1,2,…,l。

2.2 廣義拉格朗日乘子法

針對(duì)式(6)的約束最優(yōu)化問題,為了降低算法復(fù)雜度、減小計(jì)算量,首先將其轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化問題。通常采用的罰函數(shù)法能夠利用求解無約束極值問題的算法來求解約束極值問題,但由于目標(biāo)函數(shù)f(X)在約束極大點(diǎn)處的梯度一般是非零的,使得罰函數(shù)法不能通過有限次無約束極大化而得到約束極大點(diǎn)[8]。

本文采用廣義拉格朗日乘子法[9],將罰函數(shù)和拉格朗日函數(shù)結(jié)合起來,構(gòu)造出更合適的新目標(biāo)函數(shù),使得在罰因子M適當(dāng)大的情況下就能逐步達(dá)到原約束問題的最優(yōu)解。首先,通過添加松弛變量Z=[z1,z2,…,z2l]T將式(6)轉(zhuǎn)化為等式約束最優(yōu)化問題:

(7)

構(gòu)造懲罰函數(shù)進(jìn)一步將上述問題轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化問題:

(8)

式中,第二項(xiàng)用于解決傳統(tǒng)懲罰函數(shù)中目標(biāo)函數(shù)之間的不匹配性,第三項(xiàng)用于保證優(yōu)化向量超出可行域時(shí)懲罰項(xiàng)取值為負(fù)。

根據(jù)極大值原理求解式(8)可得:

將式(9)代入式(8)可得最終形式的無約束最優(yōu)化問題:

maxF(X)=

式中,M為罰因子;μi(i=1,2,…,2l)為拉格朗日乘子。

只要選取適當(dāng)大的罰因子M>0,就可以通過一次無約束極大化得到不等式約束極大問題的解。但M和μi的取值無根據(jù),因此,采用逐步迭代的方式,逐步增大M并調(diào)整μi后求解無約束極大問題,直至精度指標(biāo)滿足要求。廣義拉格朗日乘子法計(jì)算流程如圖2所示,設(shè)最大迭代次數(shù)kmax=50,殘差最大值ε=1.0e-3,M和μi的迭代規(guī)則如下:

(11)

式中,k為迭代次數(shù),α為擴(kuò)大因子,取值為2。

(12)

將式(9)代入式(12)可得:

(13)

圖2 拉格朗日乘子法流程圖Fig.2 Flow diagram of the Lagrange multiplier method

由圖2可見,廣義拉格朗日乘子法求解無約束最優(yōu)化問題分為內(nèi)回路和外回路:外回路通過罰因子M和乘子μi逐步迭代來調(diào)整目標(biāo)函數(shù),內(nèi)回路則不斷求解無約束最優(yōu)化問題,直至優(yōu)化變量滿足精度要求或達(dá)到最大迭代次數(shù)。

2.3 單純形搜索算法

內(nèi)回路中對(duì)于無約束最優(yōu)化問題的求解采用單純形算法[8]。單純形算法是一種基于圖形變換的優(yōu)化算法,其基本思想是:對(duì)于n維優(yōu)化向量,由n+1個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成多面體單純形,根據(jù)各點(diǎn)上的目標(biāo)函數(shù)值大小進(jìn)行優(yōu)勝劣汰,同時(shí)按照判定規(guī)則確定新的頂點(diǎn)構(gòu)成新的單純形,不斷變換直至獲得滿足精度要求的優(yōu)化向量值。

單純形算法的基本變換規(guī)則包括反射、延伸、壓縮、收縮等,以二維搜索向量X=[x1,x2]為例,單純形為Ox1x2平面上的三角形,其頂點(diǎn)分別為Xh,Xg和Xl,對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值依次分別為fh,fg和fl,且滿足fh>fg>fl。單純形算法求解控制器增益無約束最優(yōu)化問題的流程參見文獻(xiàn)[8]。

(1)計(jì)算最壞點(diǎn)Xl的反射點(diǎn)

(14)

式中,反射系數(shù)取ρ=1。

(15)

式中,延伸系數(shù)取β=2。

外壓縮:

(16)

內(nèi)壓縮:

(17)

式中,壓縮系數(shù)γ∈(0,1),取γ=0.5。

(4)收縮,即減小棱長(zhǎng):

(18)

式中,收縮系數(shù)σ=0.5。

本文設(shè)定單純形優(yōu)化搜索算法的終止條件:

|fh-fl|<ε|fl| (19)

式中,ε為表征目標(biāo)函數(shù)精度的值,取ε=1.0e-4。

3 仿真算例與結(jié)果分析

以某型遠(yuǎn)程火箭主動(dòng)段控制系統(tǒng)的俯仰通道為例,根據(jù)俯仰程序角曲線選擇若干個(gè)特征點(diǎn),通過數(shù)值方法在特征點(diǎn)上計(jì)算Jacobian矩陣實(shí)現(xiàn)箭體模型小擾動(dòng)線性化,獲得縱向傳遞函數(shù)模型。

根據(jù)式(1)控制律,設(shè)計(jì)增益優(yōu)化變量為:

X=[a,b] (20)

式(6)中目標(biāo)函數(shù)的權(quán)系數(shù)設(shè)為:

A=[1,…,1],B=[1,…,1] (21)

采用VC++對(duì)本文的增益優(yōu)化方法編程實(shí)現(xiàn),三種不同的優(yōu)化變量參數(shù)及優(yōu)化結(jié)果如表1所示。

表1 仿真參數(shù)Table 1 Parameters of the simulation

圖3所示為優(yōu)化變量參數(shù)空間范圍內(nèi),約束最優(yōu)化問題式(6)的目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化曲線?？梢?對(duì)于不同的優(yōu)化變量初值,目標(biāo)函數(shù)均可快速收斂至極大值。

三組不同仿真參數(shù)在特征點(diǎn)上時(shí)域階躍響應(yīng)曲線如圖4所示,頻域Bode圖如圖5所示。優(yōu)化變量初值對(duì)階躍響應(yīng)有影響,但均可保證控制穩(wěn)定性,頻域穩(wěn)定裕度指標(biāo)如表2所示。

由圖3～圖5可知,廣義拉格朗日乘子結(jié)合單純形法的設(shè)計(jì)思想可有效應(yīng)用于控制系統(tǒng)增益優(yōu)化,收斂速度較快。增益優(yōu)化結(jié)果不僅能保證良好的時(shí)域響應(yīng)性能,而且具備較高的穩(wěn)定裕度。

圖3 目標(biāo)函數(shù)變化曲線Fig.3 Outputs of the objective function

圖4 俯仰通道階躍響應(yīng)曲線Fig.4 Step responses of the pitch channel

圖5 俯仰通道頻域bode圖Fig.5 Bode diagram of the pitch channel

優(yōu)化變量初值幅值裕度/dB相角裕度/(°) a,b0.125.283.20.224.382.40.325.675.5

4 結(jié)束語

本文結(jié)合某型遠(yuǎn)程火箭俯仰通道控制系統(tǒng),基于頻域穩(wěn)定裕度指標(biāo)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù),并提出了一種雙回路增益優(yōu)化方法。仿真結(jié)果表明,本文所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)增益優(yōu)化方法能夠滿足時(shí)域和頻域指標(biāo)要求,有效改善了控制系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性,可應(yīng)用于PID等多種控制系統(tǒng)構(gòu)型,具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

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