Matlab軟件在矩陣運算教學中的應用

楊淑菊 YANG Shu-ju；宋愛蘋 SONG Ai-ping

（云南經(jīng)濟管理職業(yè)學院，昆明650304）

線性代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學的重要分支，是解決線性問題的重要工具，它的理論和方法廣泛應用于物理、化學、工程技術、計算機等各個學科領域中，是理工科學生的一門公共必修課，目前一般的線性代數(shù)教材以理論為主導思想，偏重理論體系的完整性，過多強調(diào)證明和推理，再加上該課程本身所固有的抽象性和邏輯性，計算的繁瑣性，使得學生學起來費時費力，造成學之后無法應用的尷尬局面。矩陣是線性代數(shù)中一個重要的內(nèi)容，學生學習矩陣的目的是學會利用矩陣這個工具區(qū)解決實際中的問題，而實際中的問題涉及到的矩陣規(guī)模比較大，筆算非常冗繁，直接影響到了問題的求解。Matlab軟件是由美國Mathworks公司于1984推出的科技應用軟件，具有強大的數(shù)值計算和符號計算，計算結果和編程可視化等優(yōu)點。線性代數(shù)中幾乎所有的運算都可用Matlab簡單編程實現(xiàn)，教學中采取用低階矩陣的演算講授有關的理論，對高階矩陣用Matlab軟件處理的教學方法。這樣做可提高學生應用計算機和數(shù)學知識解決實際問題的能力。下面以矩陣的乘方、特征值和特征向量為例，說明Matlab軟件應用過程。

例：某地區(qū)對城鄉(xiāng)人口流動做年度調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有一個穩(wěn)定的往城鎮(zhèn)流動的趨勢：①每年農(nóng)村居民的2.5%移居城鎮(zhèn)。②每年城鎮(zhèn)居民的1%移居農(nóng)村。

假定城鄉(xiāng)的總人口數(shù)保持不變，現(xiàn)在總人口的60%住在城鎮(zhèn)，并且人口流動的這一種趨勢保持不變，那么一年以后住在城鎮(zhèn)的人口所占比例為多少？20年后的比例是多少？多年后的比例為多少？

則一年之后，城鎮(zhèn)與農(nóng)村的分布為：

clear;A=[0.99 0.025;0.01 0.975];X=[0.6;0.4];for i=1:20;X=A*X;end;X20

運行結果為：x20=（0.66，0.34）′，該結果表明 20 年后，總人口的65.82%住在城鎮(zhèn)，總人口的34.18%住在農(nóng)村?？紤]多年后城鄉(xiāng)人口平衡時的比例，只需在Matlab的命令窗口再輸入：X=[0.6;0.4];C=[1 1]';n=0;while X～=C;C=X;n=n+1;X=A*X;end;format rat;X,n

用Matlanb的eig(A)命令可求矩陣A的特征值和特征向量，只需在Matlab中輸入：clear;A=[0.99 0.025;0.01 0.975];[P,T]=eig(A),format rat;

根據(jù)上面的分析，只需在Matlab命令窗口輸入：

上述問題是簡單人口的遷移模型，該模型還可用于研究我國當前農(nóng)村的城鎮(zhèn)化和與城市化過程中農(nóng)村人口與城市人口的遷移問題。這個模型還可廣泛應用于生態(tài)學、經(jīng)濟學和工程學的許多領域。教學中讓學生用同樣的方法去解決生態(tài)學、經(jīng)濟學、工程學中的相應問題，能提高學生數(shù)學建模能力。

從上面實例可以看出，線性代數(shù)中很多冗繁的筆算計算問題在Matlb中只需要一條簡單的命令就可以解決?？梢奙atlab是求解線性代數(shù)問題的強大工具，將其融入線性代數(shù)教學中不僅能激發(fā)學生的興趣，又能培養(yǎng)學生解決問題的能力，為學生后續(xù)課程中應用線性代數(shù)知識打下了良好的基礎，也為線性代數(shù)教學適應信息化社會提供了良好的借鑒作用。

[1]吳贛昌，線性代數(shù)[M].中國人民大學出版社，2010.

[2]朱旭，李換琴，籍萬新.MATLAB軟件與基礎數(shù)學實驗[M].西安交通大學出版社，2008.

[3]林晶.Matlab在線性代數(shù)教學中的實現(xiàn)[J].數(shù)學學習與研究，2011(03).