逼近緊Chebyshev集的太陽性

崔云安，趙振興

(哈爾濱理工大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，哈爾濱 150080)

逼近緊的定義首先由Jefimow和Stechkin提出，作為Banach空間的一個性質(zhì)可以保證X中的任意元素x都在非空閉凸集C中有一個最佳逼近元素.1984年，Megginsion證明X是中點(diǎn)局部一致凸當(dāng)且僅當(dāng)X的閉球是逼近緊Chebyshev集[1]. 1995年，崔云安證明了在自反，嚴(yán)格凸，具有H性質(zhì)的Banach空間中，A是弱序列完備子集，則A是逼近緊Chebyshev集的充要條件是A是太陽集[2]. 2007年，陳述濤等證明了X是中點(diǎn)局部一致凸空間，且C是X中的一個閉凸集，則C是逼近緊Chebyshev集當(dāng)且僅當(dāng)PC是連續(xù)的[3]. 2010年，崔云安，商紹強(qiáng)，付永強(qiáng)可凹點(diǎn)和Banach空間的強(qiáng)光滑性和逼近緊性[4].本文在局部一致凸空間中，證明了逼近緊Chebyshev集與太陽集是等價的.

1 基本概念

設(shè)X是Banach空間，S(X)，B(X)分別表示X的單位球面與單位閉球面.B[x,r]={y∈X‖x-y‖≤r}.

定義1[5]設(shè)G是X的子集，定義dG(x)=inf{‖x-g‖:g∈G}，則稱dG是G的距離函數(shù).若g0∈G,滿足‖x-g0‖=dG(x)，則稱g0∈G是x在G中的最佳逼近元，其全體記為PG(x).若?x∈X,PG(x)≠φ,則稱G是近迫集.若?x∈X.PG(x)至多是單點(diǎn)集，則稱G是半Chebyshev集.若?x∈X,PG(x)恰是單點(diǎn)集，則稱G是Chebyshev集.

定義2[6]稱Banach空間X的近迫集G是太陽集，如果?x∈X,存在g0∈PG(x)滿足g0∈PG(xt)，其中xt=g0+t(x-g0)(t>1).

定義3 Banach空間X稱為局部一致凸的，若?x∈S(X)，{xn}?B(X)滿足若‖xn+x‖→2，則xn→x.

定義4 Banach空間X稱為緊局部一致凸空間的，若?x∈S(X),{xn}?B(X),‖xn+x‖→2,則{xn}是相對緊集.

2 主要成果

引理1[7]設(shè)X是緊局部一致凸空間，x,y∈X,z0=x+λ0(x-y)，λ0>0,令Kn=B[x,‖x-y‖+1/n]〗intB[z0,‖z0-y‖]，若gn∈Kn,則序列{gn}是相對緊的.

引理2[5]設(shè)G是Banach空間X中的逼近緊Chebyshev集，則G是幾乎凸，即對任何與G有正距離的球B(x,r)及r′(>r),必存在球B(x′,r′)使得B(x′,r′)?B(x,r);B(x′,r′)∩G=φ

定理：設(shè)X是局部一致凸空間，G是逼近緊Chebyshev集的充分必要條件是G是太陽集.

證明：必要性.設(shè)x∈X,{gm}?X,使‖gm-x‖→dG(x)

由于G是太陽集，故存在y∈PG(x)，即

y∈PG(y+λ(x-y)),λ>0

令z0=x+λ0(x-y)=y+(λ0+1)(x-y),

λ0>0，則y∈PG(z0)

令Kn=B[x,‖x-y‖+1/n]intB[z0,‖z0-y‖]

由于‖gm-x‖→‖x-y‖，所以存在{gmn}，使得‖x-y‖≤‖gmn-x‖≤‖x-y‖+1/n

而‖gmn-z0‖=‖gmn-(x+λ0(x-y)‖

‖gmn-x-λ0(x-y)‖

≥‖x-y‖+λ0‖x-y‖=

(1+λ0)‖x-y‖=‖z0-y‖

故{gmn}∈Kn由引理1及G是近迫的(G是閉的)，可知，存在{gmn}的子列在G中收斂，即G是逼近緊集.

充分性.反設(shè)G是X中的逼近緊的Chebyshev集，但G不是太陽集，從而存在x∈XG,g0∈PG(x),及t0>1,使PG(xt0)=PG(g0+t(x-g0)≠g0

令t1=sup{t>0,PG(xt0)=g0}

由于PG(x)是連續(xù)的，故

PG(xt)=g0?t≤t1

PG(xt)≠g0?t>t1

不妨設(shè)t1=1，從而對?t>1,PG(xt)≠g0

設(shè)dG(x)=r(r>0)

由引理2可知G是幾乎凸及B(x,r-1/n)∩φ,知存在xn∈X,B(xn,2r)，使得

B(xn,2r)?B(x,r-1/n)

B(xn,2r)∩G=φ

所以‖xn-x‖≤r+1/n

因此

2r-1/n

再由dG(xn)的連續(xù)性得

故 g0=PG(2x-g0)=PG(g0+2(x-g0)

即g0=PG(xt2),t2=2>1,矛盾.

故G 是太陽集.

參考文獻(xiàn)：

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[2] 崔云安.Banach空間的K-M逼近 [J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué), 1995, 8(4):409-413.

[3]CHENST,HUDZIKH,KOWALEWSKIW, et al.ApproximativecompactnessandcontinuitymetricprojectorinBanachspacesandapplications[J].ScienceinChinaSeriesA:Mathematics, 2008, 51(2):293-303.

[4]SHANGSQ,CUIYA,FUYQ.DentablepointandstronglysmoothnessandapproximativecompactnessinBanachspaces[J].ActaMathApplSinica, 2010, 53:1217-1224.

[5] 徐士英,李 沖,楊文善.Banach空間中的非線性逼近理論[M].北京:科學(xué)出版社, 1998.

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