邏輯及數(shù)學(xué)演算中的不動項與不可判定命題(Ⅰ)

張金成

(中央黨校函授學(xué)院，安徽 廣德 242200)

自從羅素悖論在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)，圍繞著悖論問題，一個多世紀(jì)以來，出現(xiàn)了眾多的解決方案。然而，這些解決方案，并不能令人完全滿意，悖論的數(shù)學(xué)本質(zhì)并沒有解釋清楚，矛盾仍然沒有解決。

1931年G?del證明：如果系統(tǒng)N是一致的，那么，系統(tǒng)N中存在不可判定命題，“系統(tǒng)N”是不能完全的。這就是具有廣泛影響的不完全定理。

以下在分析實數(shù)集不動點的基礎(chǔ)上，可以證明：悖論、不可判定命題可以統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成邏輯思維領(lǐng)域中的不動點。不動點廣泛存在，G?del不可判定命題是系統(tǒng)N中的不動點，它與系統(tǒng)N能否完全沒有直接關(guān)系，一般遞歸集合中也存在類似G?del的不可判定命題，因此，G?del不完全定理的證明是不成立的。

1 正集、反集、不動項

1.1 自指代與不動點

定義1 一般地，函數(shù)y=f(x)，x∈R,如果用x取代y，得函數(shù)方程x=f(x)，則把x=f(x)叫做y=f(x)的自指代方程。

定義2 如果U是一個集合，f:U→U是一個連續(xù)映射，且存在x∈U， 使得f(x)=x,就稱x是不動點。

例1 函數(shù)f(x)=1-x/3，它的自指代方程是：x=1-x/3，函數(shù)f(x)=1-x/3的不動點是方程x=1-x/3的解，即3/4，從圖像上看是直線y=1-x/3與y=x的交點。

關(guān)于函數(shù)不動點有以下Brouwer不動點定理。

Brouwer不動點定理設(shè)f:[0,1]→[0,1]是連續(xù)映射，則必存在x0∈[0,1]，使f(x0)=x0。

以上是R1中，即1維的Brouwer不動點定理，不動點定理可以推廣到2維以及n維歐氏空間中(即：平面上的單位閉圓盤B2具有不動點性質(zhì)， 即任一連續(xù)映射f:B2→B2具有不動點。)

不動點的性質(zhì)已經(jīng)不僅僅局限于代數(shù)、函數(shù)領(lǐng)域，它已經(jīng)延伸到集合論、離散數(shù)學(xué)、計算機、經(jīng)濟等其他各個領(lǐng)域。[1]

從函數(shù)自指代方程f(x)=1-x/3的不動點分析開始，不動點3/4把實數(shù)分成2類性質(zhì)的實數(shù)集合：

大于3/4的實數(shù)集合：

R+={x|x>3/4,x∈R}

小于3/4的實數(shù)集合：

R-={x|x<3/4,x∈R}

設(shè)A(x)為命題：x>3/4，若把不動點3/4扣除，A(x)為命題：x<3/4，即有：

R+={x|A(x),x∈R}

R-={x|A(x),x∈R}

不動點3/4把實數(shù)分成2個性質(zhì)相反的集R+、R-。

1.2 二項劃分與雙射關(guān)系

從以上分析可以看出，實數(shù)可以分成2個性質(zhì)相反的集，滿足性質(zhì)P與不滿足性質(zhì)P的集合。

定義3 設(shè)P是U={x1,x2,…,xi,…}上的一個性質(zhì)，如果性質(zhì)P把集合U劃分成2個集合，滿足

+α={x|P(x)∧x∈U}

-α={x|P(x)∧x∈U}

U=+α∪-α

則+α,-α叫做集合U二項劃分。

例2 設(shè)U={…，-2,-1,0,1,2,…}，即全體整數(shù)集合J，設(shè)P(x)：x是偶數(shù)，則P(x)對U是一個二項劃分，即：

+α={x|x=2n,n∈J}

-α={x|x=1-2n,n∈J}；U=+α∪-α

設(shè)f是從集合A到集合B的映射，若y=f(x)，x∈A→y∈B，即B中任一元素y，都是A中某元素x的像，則稱f為A到B上的滿射；若對A中任意2個不同元素x1≠x2，他們的像f(x1)≠f(x2)，則稱f為A到B的單射；

定義4 若映射f既是單射，又是滿射，則稱映射f為A到B的“雙射”(或“一一映射”)關(guān)系。

函數(shù)f:A→B為雙射，當(dāng)且僅當(dāng)對任意y∈B存在惟一x∈A，滿足y=f(x)；映射f為A到B的“雙射關(guān)系”，記為f:A～B[2]。

例3 在上例中U={…，-2,-1,0,1,2,…}，即全體整數(shù)集合的一個二項劃分，即：

+α={x|x=2n,n∈J}是偶數(shù)集合；

-α={x|x=1-2n,n∈J}是奇數(shù)集合；

f(x)=1-x，x∈+α?f(x)∈-α

f(x)=1-x是二分集合+α,-α上的雙射關(guān)系，即f:+α～-α。

1.3 正集、反集、不動項

定義5 設(shè)U={x1,x2,…,xi,…}為一個集合， 如果U被性質(zhì)P二項劃分為+α,-α，那么：

1)滿足性質(zhì)P的元素x組成的集合，叫做正集，即命題P(x)成立，記為+α={x|P(x)∧x∈U}，正集中的元素叫正項；

2)不滿足性質(zhì)P的元素x組成的集合，叫做反集，即命題P(x)成立，記為-α={x|P(x)∧x∈U}，反集中的元素叫反項；

3)如果正、反集合+α,-α上存在雙射關(guān)系，即f:+α～-α，則叫+α,-α為正、反對稱集合。

例4 設(shè)U=Q+為全體正有理數(shù)集合，給定一個劃分P(x)：x2>2。

正集：平方大于2的有理數(shù)集合，即：+α={x|x2>2,x∈Q}；

反集：平方小于2的有理數(shù)集合，即：-α={x|x2<2,x∈Q}。

存在雙射f:+α～-α對應(yīng)關(guān)系f(x)=2/x，+α,-α是正反對稱集合。

例5 設(shè)U=(-,0)∪(0,+)，不為0的全體實數(shù)集合，給定一個劃分P(x)：x>0。

正集：大于0的實數(shù)集合，即：

+α={x|x>0,x∈U}=(0,+)

反集：小于0的實數(shù)集合，即：

-α={x|x<0,x∈U}=(-,0)

存在雙射f:+α～-α對應(yīng)關(guān)系f(x)=-1/x，+α,-α是正反對稱集合。

在一個集合U={x1,x2,…,xi,…}上，并不是任意一個劃分，都可以構(gòu)成正反對稱集合，有些劃分不構(gòu)成正反對稱集合。

構(gòu)成正反對稱集合+α與-α必須滿足的2個條件，也可以通俗地表達(dá)為：

1)正、反對稱集合是不相容的+α∩-α=?；

2)正、反對稱集合可以建立一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，xi∈+α?f(xi)∈-α。

下文專門討論正、反對稱集合，不再特別指出。

自指代方程上的不動點的定義可以推廣如下：

定義6 1)函數(shù)f:A→B，即f為集合A到B的映射，對任意x∈A，y∈B，y=f(x)，把滿足自指代方程x0=f(x0)的解x0稱為不動項。

2)設(shè)U={x1,x2,…,xi,…}為一個集合， 如果U被性質(zhì)P二項劃分為正、反對稱集合+α,-α，即f:+α～-α，x滿足性質(zhì)P,f(x)滿足性質(zhì)P，即xi∈+α?f(xi)∈-α，那么：

如果存在一個x0，滿足自指代方程x0=f(x0)元素x0叫正反對稱集合上的不動項；由元素x0構(gòu)成的集合，叫做不動集，記為：e={x|x=f(x)}={x0}。

如果自指代方程x0=f(x0)無解，記為：e={x|x=f(x)}=?。

例6 設(shè)U={…，-2,-1,0,1,2,…}，即全體整數(shù)集合，給定一個劃分P(x)：x是偶數(shù)，對應(yīng)關(guān)系f(x)=1-x。

正集：+α={x|x=2n,n∈J}；

反集：-α={x|x=1-2n,n∈J}；

U=+α∪-α。

不動集：x=1-x，x0=1/2是不動項。

這可以看成從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的發(fā)現(xiàn)。

例7 設(shè)U=Q+為全體正有理數(shù)集合，給定一個劃分P(x)：x2>2，對應(yīng)關(guān)系f(x)=2/x。

這就是從有理數(shù)構(gòu)造無理數(shù)的“戴德金分割”。

例8 設(shè)U=(-,0)∪(0,+)，不為0的全體實數(shù)集合，給定一個劃分P(x)：x>0，對應(yīng)關(guān)系f(x)=-1/x。

這可以看成從實數(shù)到虛數(shù)的發(fā)現(xiàn)。

“不動項”是通常數(shù)學(xué)中“不動點”概念的推廣，它不再單指是一個點、一個數(shù)，它可能是一個點、一個數(shù)、一個集合、一個命題等。

對應(yīng)關(guān)系f也不再是單指數(shù)之間的運算，而可能是點、集合、或者命題之間的對應(yīng)關(guān)系；

“不動項”和“不動點”都有相同的形式結(jié)構(gòu)x=f(x)，“不動項”比“不動點”具有更廣泛的意義。

對不動點，一定有x0∈U，對“不動項”沒有U的內(nèi)外限制，滿足x=f(x)的x0存在或者不存在問題，在U外可以找到滿足x=f(x)的x0，也是不動項。

定義7 設(shè)U={x1,x2,…,xi,…}為一個集合，映射f:U→U，x0滿足自指代方程x0=f(x0)。若x0∈U，則元素x0叫U內(nèi)不動項；若x0?U，則元素x0叫U外不動項。

不動項元素x0存在，方程x=f(x)有解，且x0∈U，即：存在U內(nèi)不動項；

U外不動項有2種形式：

1)方程x=f(x)有解，不動項元素x0存在，但x0?U，即：不動項x0已經(jīng)構(gòu)造；

2)方程x=f(x)無解，不動項元素x0不存在，或者說不動項x0沒有構(gòu)造；這種情況，不動集e為空集，e=?也可以看成U外不動項的特例。

在例1中，設(shè)U=R，f:U→U，函數(shù)f(x)=1-x/3中，x0=3/4是U內(nèi)不動項；

設(shè)U=J，f:U→U，函數(shù)f(x)=x+1中，x=x+1無解，不動項x0不存在，即第2種情形e=?。 以后將證明：一個集合U如果能夠嚴(yán)格地二項劃分成正反對稱集合，那么不動項它一定在正反集合之外，即：都是U外不動項，正反對稱集合上的不動項有(1)、(2) 2種情形。

f是+α到-α上的一個一一對應(yīng)關(guān)系，滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，正集+α、反集-α，也可以表示為：

+α={x1,x2,…,xn,…}

-α={f(x1),f(x2),…,f(xn),…}

2)若滿足x=f(x)，元素x一個特殊的集合，設(shè)x=x0，不動集e={x0}。

對于P(x)?當(dāng)x0滿足P(x0)?P(x0)時，x0即為不動項。

1.4 正、反集對偶變換公理

在以上概念基礎(chǔ)上，把矛盾命題重新進(jìn)行形式描述：

用A+α表示正集+α中的命題A，A-α表示反集-α中的命題A，如：

設(shè)+α為歐氏平面上的點集，則-α為非歐平面上的點集，

A+α：在歐氏平面上，過已知直線外一點，只能作惟一一條直線與已知直線平行。

A-α：在非歐平面上，過已知直線外一點，只能作惟一一條直線與已知直線平行。

定義8 在相同集上的否定命題Aα與Aα(即A+α與A+α或A-α與A-α)，叫做經(jīng)典矛盾命題；在不同集上的否定命題(A+α與A-α或A-α與A+α)，叫做非經(jīng)典矛盾命題(它與辯證矛盾類似)。

實際上，矛盾命題在不同集上成立，矛盾也就化解了。辯證矛盾就是已經(jīng)化解或者解釋清晰后的矛盾[2]。

由于公式的變化，公理在不同的集中有那些變化，經(jīng)典邏輯公理在正集中變?yōu)椋?/p>

經(jīng)典邏輯公理在反集中變?yōu)椋?/p>

由于經(jīng)典邏輯的公理在正集、反集上都是成立的，今后對2個集上都成立的命題，上標(biāo)不再區(qū)分2個集“+α,-α”，和經(jīng)典邏輯公式一樣不標(biāo)“+α,-α”。如：A→(B→A)，認(rèn)為在2個集上都成立。

定義9 正集+α、反集-α的并集U，即：U=+α∪-α，叫做全集。

任何一個性質(zhì)，如果可以對全集形成一個正反對稱集劃分，如果x0恰恰是性質(zhì)P劃分的不動項，這是一個特殊的命題。

定義10 不動項x0，關(guān)于其劃分P的性質(zhì)斷定的命題，叫做不動項命題，即命題P(x0)或P(x0)是不動項命題。

如果關(guān)于性質(zhì)M、N、P的不動項記為xM、xN、xP，則M(xM)、N(xN)、P(xP)是不動項命題，并且有P(xP)?P(xP)。

設(shè)命題P是關(guān)于正集+α、反集-α的一個劃分，即：

若+α={x|P(x)}，則-α={x|P(x)}，f是+α，-α上的一個一一映射，有P(xi)?

通過一些分析發(fā)現(xiàn)P+α與P-α是等價的，例如：歐氏幾何與羅氏幾何是同構(gòu)的，它說明一個命題等價于它反集中的否定命題，即應(yīng)有公理“P+α?P-α”成立。

根據(jù)以上分析，引進(jìn)一條新公理“P+α?P-α”或“P(x)?”。

定義11 稱公理“P+α?P-α” 或“P(x)?”為“正反集對偶變換公理”。

證明：在“正反集對偶變換公理”P(xi)?中，用xP替換得：P(xP)?P(xP)。由于正項、反項、不動項定義可以是任何一個集合的元素。如果Xi是一個命題，“正反集對偶變換公理”同樣成立，即有：

P(Xi)?當(dāng)Xi=XP是不動項時，有：P(XP)?P(XP)[3]。

1.5 悖論是正、反集上的不動項

在“正反集對偶變換公理”P(xi)?中，這并不矛盾，但是，當(dāng)時，即：x0為不動點時，有P(x0)?P(x0)就表現(xiàn)為悖論。

在例 1中，對于一個確定的實數(shù)a：

如果a>3/4?-a/3<-1/4?1-a/3<3/4?則f(a)<3/4，即：A(a)→A(f(a))；

如果a<3/4?-a/3>-1/4?1-a/3>3/4?則f(a)>3/4，即：A(a)→A(f(a))。

由于a=f(a)，這就形成了類似悖論命題A(a)?A(a)，這個悖論的解就是：a=3/4。

一般地，設(shè)f是R上的一個一一映射，f:R→R，如果性質(zhì)P是R上的一個二項劃分，對任意一個x，x滿足性質(zhì)P，f(x)滿足性質(zhì)P，即R+={x|P(x),x∈R}，R-={x|P(x),x∈R}，x∈R+?f(x)∈R-，P(x)?P(f(x))。

不動點x0把實數(shù)集合分成正、反集合，其中一個集合中的元素滿足性質(zhì)P，另一個集合中的元素滿足性質(zhì)P，而不動點x0可以看成具有2個矛盾性質(zhì)P與P的點，即P(x0)?P(f(x0))，這就是悖論形成的內(nèi)在機理。

在例 4中，設(shè)P(x)表示命題x2>2，對于一個確定的數(shù)a：

P(a)：a2>2?a2=4/a2

4/a2>2?a2<2?P(a)

4/a2<2?a2>2?P(a)

由于a=f(a)，這就形成了類似悖論命題P(a)?P(a)，這個悖論的解就是：

在例 5中，設(shè)P(x)表示命題“x>0”，對于一個確定的數(shù)a：

P(a)：a>0?a=-1/a，

-1/a>0?a<0?P(a)；

所以，得到悖論：P(a)?P(a)；

例9 羅素悖論中的集合分為2類：

一類集合是自身的元素，即x∈x，+α={x|x∈x}；

現(xiàn)在構(gòu)造第2類集合全體組成的集合(即-α)，用R={x|(x∈x)}表示，即x∈R?(x∈x)，問集合R是那類集合？即用R去自指代。

無論集合R是那類集合，即得到羅素悖論：R∈R?(R∈R)。

設(shè)P(x)表示命題x∈x，+α={x|P(x)}，則P(x)表示命題(x∈x)，-α={x|P(x)}。

第2類集合全體組成的集合R={x|P(x)}；

即x∈R?P(x)?R∈R?P(R)；

即P(R)?P(R)。

所以，R={x:x?x}是關(guān)于謂詞P(x)的不動項，即羅素悖論是不動項命題[3]。

1.6 邏輯演算中的不動項

在“正反集對偶變換公理”P+α?P-α中，當(dāng)存在不動項時，就存在悖論。如果把“正反集對偶變換公理”P+α?P-α引進(jìn)邏輯演算系統(tǒng)中，邏輯演算系統(tǒng)中就會同樣存在悖論。

在命題演算系統(tǒng)L中，如果承認(rèn)“正反集對偶變換公理”P+α?P-α，則不動項存在，存在悖論。即若+α=-α=e，則┝Pe?Pe；

在謂詞演算系統(tǒng)L中，如果承認(rèn)“正反集對偶變換公理”P(xi)?則有不動項存在，存在悖論；即若則┝P(xP)?P(xP)。

由于在經(jīng)典系統(tǒng)中，定理Pe,Pe┝B成立，所以，如果承認(rèn)悖論存在，無論是系統(tǒng)L還是系統(tǒng)K，會導(dǎo)致整個系統(tǒng)崩潰。

在以前的命題邏輯系統(tǒng)L，謂詞邏輯系統(tǒng)K中，為什么沒有發(fā)現(xiàn)不動項的存在，是因為在其中沒有建立起來正反演算，一個公理系統(tǒng)中是否存在不動項(悖論)，跟演算方式有關(guān)。

由于不動項、悖論的存在，是不是“命題邏輯系統(tǒng)L”、“謂詞邏輯系統(tǒng)K”都是不足道的，是一個崩潰的邏輯系統(tǒng)？以后的證明表明：“命題邏輯系統(tǒng)L”、“謂詞邏輯系統(tǒng)K”都是在已知集合U上的封閉演算，其中的不動項都是U外不動項。U外不動項的存在是正常的，它不會導(dǎo)致“命題邏輯系統(tǒng)L”、“謂詞邏輯系統(tǒng)K”崩潰。[4]

1.7 自然數(shù)系統(tǒng)中的一般不動項

已經(jīng)證明，命題邏輯系統(tǒng)L演算中存在不動項；謂詞邏輯系統(tǒng)K演算中存在不動項；同理，自然數(shù)系統(tǒng)N演算中也存在不動項。

證明設(shè)N={0,1,2,3,…}，構(gòu)造N的子集合U，U?N，命題P是關(guān)于正集+α、反集-α的一個劃分，U=+α∪-α，即：若+α={n|P(n)}，則-α={n|P(n)}，f是+α，-α上的一個一一映射，有P(n)?

或P(nP)?P(nP)；以后也將證明：自然數(shù)系統(tǒng)N演算中的不動項，也是U外不動項。

由于自然數(shù)系統(tǒng)N是一個具體的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，已經(jīng)不需要正反集對偶變換公理P+α?P-α，只要進(jìn)行類似正反集對偶變換的運算(即自指代運算)，就會產(chǎn)生不動項。

在自然數(shù)系統(tǒng)N中，設(shè)U={n1，n2，…，ni,…}。┝NP(xP)?P(xP)具有一般性，性質(zhì)P可以是任何一個性質(zhì)。

如果P(x)表示：x是偶數(shù)；

那么P(nP)?P(nP)表示：nP是偶數(shù)?nP是奇數(shù)。

如果設(shè)U表示自然數(shù)系統(tǒng)N中的所有命題，P(x)表示：x可以證明；即x是系統(tǒng)N可證命題，┝Nx。

那么P(nP)?P(nP)表示：nP可以證明?nP不可以證明。

構(gòu)造函數(shù)f(x)=11-x，若x∈[0,11]?N，則f(x)∈[0,11]?N；

設(shè)P(n)表示：n是偶數(shù)；則P(n)表示：n是奇數(shù)；

P[n]?P[f(n)]；

讓f(n)=11-n自指代，即：n=f(n)，n=nP是它的不動項；

則得到：P(nP)?P(nP)。

承認(rèn)正反集對偶變換公理P+α?P-α，命題邏輯系統(tǒng)L演算中存在不動項；謂詞邏輯系統(tǒng)K演算中存在不動項；自然數(shù)系統(tǒng)N演算中也存在不動項，不動項及不動項命題的存在是不可否認(rèn)的。

正、反集對偶變換公理P+α?P-α產(chǎn)生不動項的本質(zhì)是自指代，也就是說，只要允許自指代，就可能產(chǎn)生不動項，悖論就不可能避免。

2 U外不動項的邏輯性質(zhì)

2.1 正反對稱集上的不動項一定是U外不動項

對于一個全集U={x1,x2,…,xi,…}，P是一個劃分標(biāo)準(zhǔn)，如果性質(zhì)P可以把U劃分成正、反2個對稱集。

定理3(U外不動項定理) 設(shè)全集U={x1,x2,…,xi,…}是一個已經(jīng)定義的集合，U可以二分成正反對稱集合U=+α∪-α，如果正集、反集上的演算是一致的，那么，不動項xP不屬于正集+α，也不屬于反集-α，即xP?U；即：正、反集合上的不動項，是U外不動項。

證明

1)├xP∈+α

┈┈假設(shè)；

2)├P(xP)?P(xP)

┈┈不動項定理；

3)├P(xP)∧P(xP)┈┈經(jīng)典定理，正集+α中存在矛盾命題，這與正集是一致的相矛盾；

4)├xP?+α

┈┈(1)，反證法；

同理可證：xP?-α。

即如果不動項屬于正集+α，那么，將導(dǎo)致正集矛盾；同樣，如果不動項屬于反集-α，那么，將導(dǎo)致反集矛盾；所以，不動項不屬于正集+α，也不屬于反集-α，即xP?U。

例11 從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的發(fā)現(xiàn)：U為全體整數(shù)集合J，把這個集合，分成偶數(shù)集合與奇數(shù)集合。

+α={x|x=2n,n∈U}偶數(shù)集合；

-α={x|x=1-2n,n∈U}是奇數(shù)集合。

正反集對應(yīng)函數(shù)f(x)=1-x；x=f(x)，x=1-x，x=1/2，所以，1/2為不動項，但是，1/2?+α，1/2?-α，1/2?U，即：1/2為U外不動項，1/2不再是整數(shù)。

例12 從有理數(shù)到無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)：U為全體正有理數(shù)集合Q+。

+α={x|x2>2,x∈U}

-α={x|x2<2,x∈U}

例13 從實數(shù)到虛數(shù)的發(fā)現(xiàn)：U為不為0的全體實數(shù)集合R。

+α={x|x>0,x∈U}

-α={x|x<0,x∈U}

進(jìn)一步可以探明：凡是通過自指代方程x=f(x)形成的正、反集合上的不動項，都存在類似的性質(zhì)，是U外不動項，既不在正集中，也不在反集中。

U外不動項xP，不具有原集合U的性質(zhì)，是變異項。

根據(jù)U外不動項定理3，設(shè)U=+α∪-α，如果存在正、反集合上的不動項，那么，它們都是U外不動項，由這個定理，很容易得到以下推論：

推論1U=+α∪-α，P是U的一個分割，任何悖論P(xP)?P(xP)其中項xP是U外不動項。

推論2U=+α∪-α，+α={x|x∈x}，-α={x|(x∈x)}，羅素悖論P(R)?P(R)，R={x:x?x}是U外不動項。

推論3U=+α∪-α，+α={P|V(P)=1}，+α={P|V(P)=0}，Pe?Pe命題演算系統(tǒng)L上的不動項Pe，是U外不動項。

推論4U=+α∪-α，P是U的一個分割，P(xP)?P(xP)謂詞演算系統(tǒng)K上的不動項xP，是U外不動項。

推論5N={0,1,2,3,…}，U?N，+α={n|P(n)}，-α={n|P(n)}，P(nP)?P(nP)自然數(shù)系統(tǒng)N上的不動項nP，是U外不動項。

定理4 設(shè)全集U={x1,x2,…,xi,…}是一個已經(jīng)定義的集合，不動項xP具有正集+α性質(zhì)P(x)，也具有反集-α性質(zhì)P(x)，不動項xP具有雙重性質(zhì)，同時與正集+α性質(zhì)P(x)相矛盾，也與反集-α性質(zhì)P(x)相矛盾。

證明：

1)├P(xP)?P(xP)

┈┈不動項定理

┈┈(1)，經(jīng)典定理

3)├P(xP)∨P(xP)

┈┈(2)，經(jīng)典定理

4)├P(xP)

┈┈(3)

不動項xP具有正集+α性質(zhì)P(x)；

5)├P(xP)→P(xP)

┈┈(1)，經(jīng)典定理

┈┈(5)，經(jīng)典定理

┈┈(6)，

不動項xP也具有反集-α性質(zhì)P(x)；

8)├(P(xP)→P(xP))∧(P(xP)→P(xP))

┈┈(1)，經(jīng)典定義

┈┈(8)經(jīng)典定理

定義12 設(shè)全集U={x1,x2,…,xi,…}是一個已經(jīng)定義的集合，不動項不屬于正集+α，也不屬于反集-α，即不動項不屬于已定義的集合，xP?U，單獨給不動項命名一個集，叫做相對于U的未定義集，即：不動集e={xP}；不動項xP叫做相對于U的未定義項；如果xP是未定義項，P是U上的一個謂詞，那么P(xP)叫做未定義命題。

正、反對稱集合+α,-α是相互矛盾的集合，通常矛盾集合中的項是不能進(jìn)行自指代的，當(dāng)進(jìn)行自指代時，滿足x=f(x)的項xP，在U中不存在；

如果存在xP滿足x=f(x)，就會發(fā)生變異，xP在U中無定義，只能把U拓展到U外定義xP，所以，U外不動項xP，也稱為變異項。

按照以上定義，U外不動項xP相對于已經(jīng)定義集合U，都是未定義項；所以，悖論(包括羅素悖論)，命題演算系統(tǒng)L上的不動項Pe，謂詞演算系統(tǒng)K上的不動項xP，自然數(shù)系統(tǒng)N上的不動項nP，相對于它們原始的已定義集合U，都是未定義項。

2.2 U外不動項命題的不可判定性

定理5U外不動項命題P(xP)或P(xP)，相對于任何一致系統(tǒng)都是不可判定命題。

證明假設(shè)存在某個一致系統(tǒng)H，若H┝P(xP)，P(xP)?P(xP)，則H┝P(xP)，與系統(tǒng)H是一致的相矛盾，所以，H┝P(xP)；

假設(shè)H┝P(xP)，P(xP)?P(xP)，則H┝P(xP)，與系統(tǒng)H是一致的相矛盾，所以，H┝P(xP)；

所以：P(xP)，P(xP)在系統(tǒng)H均不可證，P(xP)是系統(tǒng)H的不可判定命題；

當(dāng)用一個性質(zhì)P去劃分一個系統(tǒng)時，在正集與反集的邊緣都會產(chǎn)生不動項，這個不動項命題，無論在任何系統(tǒng)中，都是不可判定的。

對于任意關(guān)于謂詞N的不動項XN，關(guān)于性質(zhì)M命題M(XN)，若M≠N，則M(XN)不是不動項命題。若M=N，則M(XN)是不動項命題，因此是不可判定的。

定義13U外不動項命題P(xP)的不可判定性，叫做U外不可判定命題。

例15 從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的發(fā)現(xiàn)：U為全體整數(shù)集合，把這個集合，分成偶數(shù)集合與奇數(shù)集合，

+α={x|x=2n,n∈U}偶數(shù)集合；

-α={x|x=1-2n,n∈U}是奇數(shù)集合。

正反集對應(yīng)函數(shù)f(x)=1-x；，x=1-x，1/2為不動項。

如果設(shè)P(x)表示命題：“x是偶數(shù)”；則有不動項命題P(1/2)，P(1/2)都是U外不可判定命題。

從有理數(shù)到無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)：U為全體有理數(shù)集合。

+α={x|x2>2,x∈U}

-α={x|x2<2,x∈U}

從實數(shù)到虛數(shù)的發(fā)現(xiàn)：U為不為0的全體實數(shù)集合。

+α={x|x>0,x∈U}

-α={x|x<0,x∈U}

如果設(shè)P(x)表示命題：“x>0”；則有不動項命題P(i)，P(i)都是U外不可判定命題。

按照定理5，所有正、反集合上的不動項命題，都是U外不可判定命題。由這個定理，很容易得到以下推論：

推論6 任何悖論都是U外不可判定命題。

推論7 羅素悖論是U外不可判定命題。

推論8 命題演算系統(tǒng)L上的不動項命題Pe，是U外不可判定命題。

推論9 謂詞演算系統(tǒng)K上的不動項命題P(xP)，是U外不可判定命題。

推論10 自然數(shù)系統(tǒng)N上的不動項命題P(nP)，是U外不可判定命題。

2.3 U外不可判定性與系統(tǒng)的完全性無關(guān)

證明假設(shè)存在一個一致的公理系統(tǒng)∑，使得∑┝P(xi),(i=1,2,…)，即命題P(xi)在公理系統(tǒng)∑中都可證；

由于命題P(xP)?P(xP)， 若∑┝P(xP)則∑┝P(xP)，與公理系統(tǒng)∑一致性相矛盾；

所以，P(xP),P(xP)在公理系統(tǒng)∑中是不可判定命題。

由于命題P(xP)?P(xP)，若∑┝P(xP)則∑┝P(xP)，與公理系統(tǒng)∑一致性相矛盾；

所以，同樣有P(xP),P(xP)在公理系統(tǒng)∑中是不可判定命題。

這個U外不動項命題P(xP)，是恒成立不可判定命題，與U內(nèi)項命題P(xi)在公理系統(tǒng)∑中是否可證沒有關(guān)系。

如例15，從整數(shù)到分?jǐn)?shù)的發(fā)現(xiàn)：U為全體整數(shù)集合，把這個集合，分成偶數(shù)集合與奇數(shù)集合。

+α={x|x=2n,n∈U} 偶數(shù)集合

-α={x|x=1-2n,n∈U} 奇數(shù)集合

正反集對應(yīng)函數(shù)f(x)=1-x；，x=1-x，1/2為不動項，“1/2是偶數(shù)”；“1/2是奇數(shù)”；均不可證，都是不可判定命題。這個U外不動項命題，它與其他整數(shù)xi是偶數(shù)還是奇數(shù)是否可證沒有關(guān)系，是U外不可判定命題。

由于一般的可判定集合外也存在不動項，所以，不動項命題的不可判定，是U外不可判定命題，并不影響集合U內(nèi)命題的可判定性。

由于不動項命題的不可判定，不影響集合的遞歸性，所以，它也不影響系統(tǒng)的完全性。

傳統(tǒng)系統(tǒng)完全性的定義是：設(shè)全集UΣ={X1,X2,…,Xi,…}是系統(tǒng)Σ上的全部命題。

1)若?Xi∈UΣ，(Σ┝Xi)∨(Σ┝Xi)，即：若?Xi∈UΣ，Xi或Xi在Σ中可證明，就稱UΣ相對Σ是完全的，簡稱系統(tǒng)Σ是完全的；

注：系統(tǒng)Σ完全性的另一個等價定義是：若?Xi∈UΣ，則MΣXi?Σ┝Xi，稱系統(tǒng)Σ是完全的(MΣ是系統(tǒng)Σ的模型)。

定理7U外不動項命題P(xP)的不可判定性，不能作為系統(tǒng)Σ是否完全的標(biāo)準(zhǔn)，即U外不動項命題的不可判定性與系統(tǒng)Σ完全性無關(guān)。

證明設(shè)全集UΣ={X1,X2,…,Xi,…}是系統(tǒng)Σ上的全部命題，在系統(tǒng)Σ一致的假設(shè)下，用P(X)表示Σ┝X；P(X)表示ΣX?？勺C關(guān)系P把UΣ劃分成正、反2個集合：+α={X|P(X)}；-α={X|P(X)}。建立雙射關(guān)系F:+α～-α，F(xiàn)(X)=X，如果有不動項XP存在，P(XP)?P(XP)，即：(Σ┝XP)?(ΣXP)，那么P(XP),P(XP)在系統(tǒng)Σ中是不可判定命題，但是，它們是U外不可判定命題，XP?UΣ。

根據(jù)“系統(tǒng)Σ完全性”的定義，“系統(tǒng)Σ完全性”只跟UΣ內(nèi)的命題X是否可證有關(guān)系，因為XP?UΣ，所以，“系統(tǒng)Σ完全性”根XP是否可證，沒有關(guān)系。

不動項XP不在+α中，也不在-α中，是U外不動項，系統(tǒng)的完全性只與U內(nèi)的項判定有關(guān)。即：P(XP),P(XP)不可判定，+α={X|P(X)}，-α={X|P(X)}中的命題仍然是可判定的。

另外，U外不動項命題P(xP)的不可判定性，能作為系統(tǒng)Σ是否完全的標(biāo)準(zhǔn)，那么不動項命題P(xP)的不可判定，∑相對U是不能完全的。我們可以找到這樣一個實例，一個完全的系統(tǒng)中，同樣存在不動項。

事實上，由于不動項存在是普遍的，很容易在整數(shù)、自然數(shù)的任意一個有限子集上找到不動項。如果U外不動項命題P(xP)的不可判定，可以作為系統(tǒng)∑完全性、正反集合遞歸性的標(biāo)準(zhǔn)；那么將建立不起來真正完全的系統(tǒng)，也找不到真正的遞歸集合，這顯然是錯誤的。

由于以前的邏輯研究中沒有發(fā)現(xiàn)不動項，關(guān)于系統(tǒng)完全性的定義是有缺陷的，容易把UΣ外不動項XP與UΣ中的命題相混淆，把UΣ外不動項XP與UΣ中的命題區(qū)別開，系統(tǒng)完全性定義修改如下：

定義14 設(shè)全集UΣ={X1,X2,…,Xi,…}是系統(tǒng)Σ上的全部命題。

1)若?Xi∈UΣ，(Σ┝Xi)∨(Σ┝Xi)，即若?Xi∈UΣ，Xi或Xi在Σ中可證明，就稱UΣ相對Σ是完全的，簡稱系統(tǒng)Σ是完全的；

2.4 U外部矛盾的永恒性及其來源

“不動項定理”說明只要有不動項存在，就會有悖論存在，就會有矛盾存在。

推論11 設(shè)全集U={x1,x2,…,xi,…}是一個已經(jīng)定義的集合，如果U可以二分為正反集合，并且存在不動項，那么必然會形成不動項矛盾(即悖論)。

例16 設(shè)U1為不包含0的整數(shù)集合，+α1={x|x>0,x∈J}，-α1={x|x<0,x∈J}，U1=+α1∪-α1。

設(shè)P1(x):x>0，正反集對應(yīng)函數(shù)f(x)=-x；x=f(x)，x=-x，x=0，e1={0}

由于0是不動項，所以，┝P1(0)?P1(0)；┝P1(0)∧P1(0)，這里發(fā)現(xiàn)0是正負(fù)數(shù)外的一個矛盾數(shù)。

如果再把e1={0}加進(jìn)原來集合U1，擴展到全部的整數(shù)集合U2=J，再構(gòu)造奇數(shù)、偶數(shù)正反集合。

設(shè)+α2={x|x=2n,n∈J}，-α2={x|x=1-2n,n∈J},U2=+α2∪-α2=J。設(shè)P2(x):x=2n,n∈J即：是偶數(shù)，正反集對應(yīng)函數(shù)f(x)=1-x；x=f(x)，x=1-x，x=1/2，由于1/2是不動項，所以，┝P2(1/2)?P2(1/2)；┝P2(1/2)∧P2(1/2)。這里發(fā)現(xiàn)1/2是奇數(shù)、偶數(shù)外的一個矛盾數(shù)。

矛盾數(shù)的出現(xiàn)相對于原來的已知集合U1是一個未定義項，當(dāng)把這個矛盾數(shù)重新定義，并且擴展的原來的已知集合U1中去時得到U2，當(dāng)以U2為整體已知集合時，原來的矛盾就退化、消融了，但是，以U2為已知集合構(gòu)造正反集合，在U2之外又有新的矛盾數(shù)出現(xiàn)，再把這個矛盾數(shù)重新定義，并且擴展的原來的已知集合U2中去時得到U3，當(dāng)以U3為整體已知集合時，矛盾又退化、消融了，…，如此，數(shù)系在矛盾的出現(xiàn)與消融中擴展，外部矛盾總是存在的，是永恒的。

根據(jù)“U外不動項定理”：如果全集U={x1,x2,…,xi,…}是一個已經(jīng)定義的集合，如果正集、反集上的演算是一致的，那么，不動項xP不屬于正集+α，也不屬于反集-α；即正、反集合上的不動項，是U外不動項。即xP?+α，xP?-α，xP?U。

“U外不動項定理”說明不動項一定存在U外，即不動項矛盾(悖論)來源于正反集合之外。

推論12 設(shè)U={x1,x2,…,xi,…}，如果U上的演算是一致的，那么，不動項矛盾“┝P(xP)?P(xP)”，┝P(xP)∧P(xP)在U外，即xP?U(矛盾來源于已定義集合U的外部)。

U1分成對立集合U1=+α1∪-α1，產(chǎn)生矛盾集合e1，重新命名不動項，擴展U2=+α1∪e1∪-α1；

U2分成對立集合U2=+α2∪-α2，產(chǎn)生矛盾集合e2，重新命名不動項，擴展U3=+α2∪e2∪-α2；

U3分成對立集合U3=+α3∪-α3，產(chǎn)生矛盾集合e3，重新命名不動項，擴展U4=+α3∪e3∪-α3；

…

Un分成對立集合Un=+αn∪-αn，產(chǎn)生矛盾集合en，重新命名不動項，擴展Un+1=+αn∪en∪-αn；

…

以上分析發(fā)現(xiàn)經(jīng)典邏輯是一個在相對已知集合上二分的封閉思維系統(tǒng)，在這個已知集合的外部可以產(chǎn)生矛盾，產(chǎn)生悖論，而且這種矛盾是無法避免的。如果Un上的演算是一致的，矛盾只會產(chǎn)生在Un的外部，經(jīng)典邏輯在Un上的演算仍然成立，外部矛盾不會導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰。這說明，Un的外部矛盾是一種恒存在的矛盾，是正常的。

3 G?del不完全定理證明不能成立

3.1 G?del不可判定命題

簡單回顧一下G?del不完全定理的證明過程：

定義15 一個自然數(shù)集上的k元關(guān)系R，稱為在N中可表達(dá)的，如果存在一個有k個自由變元的公式ξ(x1,x2,…,xn)，使得對任何自然數(shù)n1,n2,…,nk，

1)如果R(n1,n2,…,nk)在N中成立，則┝Nξ(0(n1),0(n2),…,0(nk))；

2)如果R(n1,n2,…,nk)在N中不成立，則┝Nξ(0(n1),0(n2),…,0(nk))[3]。

引進(jìn)一個二元關(guān)系W：W={(m,n)}，m是公式U(x)的G?del數(shù)，n是公式U(m)從N證明的G?del數(shù)。

可以證明：遞歸關(guān)系在N中都是可以表達(dá)的。

可以證明：二元關(guān)系W是遞歸的，所以，W={(m,n)}在N中是可表達(dá)的：

(m,n)∈W?┝Nw(0(m),0(n))

(m,n)?W?┝Nw(0(m),0(n))

U(x)=?yw(x,y)---構(gòu)造公式U(x)；

m=g(U(x))；m是公式U(x)的G?del數(shù)；

用m去替換U(x)中所有自由出現(xiàn)的x得：

U(m)=?yw(0(m),y)-----y是U(m)證明的G?del數(shù)；

?yw(0(m),y)的解釋是“對任意y，y是U(m)證明的G?del數(shù)不成立”或者；

“對任意y，y是G?del數(shù)為m的公式(即：U(m))證明的G?del數(shù)不成立”；

或者?yw(0(m),y)??y┝w(0(m),y) “不存在y，y是U(m)證明的G?del數(shù)”，即“U(m)是不可證明的”[4]；

定理8U(m)在N中是一個不可判定命題。

證明

1)(m,n)∈W?┝Nw(0(m),0(n))，

(m,n)?W?┝Nw(0(m),0(n))；

2)┝NU(m)

-----假設(shè)，

3)┝N?yw(0(m),y)-----把U(m)從N證明的G?del數(shù)記為n，則(m,n)∈W，

4)┝Nw(0(m),0(n))

-----(3)，(1)，

5)┝Nw(0(m),0(n))

-----(3)，K4，MP，

-----(4)，(5)矛盾；

7)┝NU(m)

-----假設(shè)，

8)┝N?yw(0(m),y)??yw(0(m),y)

-----(7)，

9)U(m)在N中不成立，任意n，(m,n)?W，

10)┝Nw(0(m),0(n))

-----(1)，(9)，

11)┝Nw(0(m),0(n))

-----(8)

設(shè)n是U(m)從N證明的G?del數(shù)，

-----(10)，(11)矛盾，

13)U(m)，U(m)都是不可證命題，即，U(m)在系統(tǒng)中是不可判定的

-----(6)(12)。

以上不可判定命題U(m)的構(gòu)造與證明是由G?del在1931年給出的，在一般的數(shù)理邏輯文獻(xiàn)及[4，10]中都可以找到。

3.2 G?del不可判定命題是U外不動項

定理9 設(shè)G(X)表示謂詞┝NX，G?del不可判定命題U(m)是關(guān)于G(X)的不動項。

證明設(shè)U={自然數(shù)系統(tǒng)N上的全部命題}，用系統(tǒng)N上的可證性質(zhì)G，把U二分成正反對稱集合。

1)設(shè)

+α={U(x)|?nw(m,n),m=g(U(x))}

用謂詞G(X)表示┝NX，+α={U(x)|G(U(x))}正集中U(x)都是系統(tǒng)N上可證明公式，即：┝NU(x)；

2)設(shè)

-α={U(x)|?nw(m,n),m=g(U(x))}

-α={U(x)|G(U(x))}

反集中U(x)都是系統(tǒng)N上不可證明公式，即：NU(x)，正反集合的元素都是命題。

3)在系統(tǒng)N一致的前提下，X是可證命題，則X一定是不可證命題。構(gòu)造正反集合雙射關(guān)系，Y?F(X)=X，

正集，反集有對應(yīng)關(guān)系X∈+α?Y∈-α，G(X)?G(Y)或者G(X)?

4)構(gòu)造自指代方程X?F(X)，X?X，G(Xi)?這個命題方程是否存在不動項？?del不可判定命題U(m)，恰恰是滿足它的解；

5)構(gòu)造公式U(x)，U(x)=?yw(x,y)；

6)設(shè)m=g(U(x))；m是公式U(x)的G?del數(shù)；

7)用m去替換U(x)中所有自由出現(xiàn)的x得：

U(m)=?yw(0(m),y)-----y是U(m)證明的G?del數(shù)，U(m)?G(U(m))；

8)若┝NU(m)，即G(U(m))成立，

則┝NG(U(m))；

10)G(U(m))?G(U(m))，

G(Xi)?的解；

11)U(m)是關(guān)于命題

G[U(m)]?G[U(m)]的不動項(這個不動項是命題)；

由于正反對稱集合上的不動項都是U外不動項，所以，很容易得到以下推論。

推論13 設(shè)+α={U(x)|G(U(x))}，

-α={U(x)|G(U(x))}，U=+α∪-α，G?del不可判定命題U(m)，是U外不動項。

G?del不可判定命題是不動項(邏輯上的項具有一般意義，可以是任何一個集合的元素，如：點，數(shù)，命題等)，也可以把G[U(m)],G[U(m)]看成一個二階命題，對偶變換公理是一般的邏輯規(guī)律，對二階命題同樣成立；或者利用G?del數(shù)，U(m)也可以轉(zhuǎn)化成一個數(shù)，即轉(zhuǎn)化成一階語言中的普通項。[5]

3.3 G?del不完全定理的證明不成立

以上討論并證明了“U外不動項”的一般邏輯性質(zhì)，概括如下：

1)正、反集上的不動項一定在U外(定理3)；

2)U外不動項相對于U是未定義項(定理4)；

3)U外不動項命題是不可判定命題(定理5)；

4)U外不動項命題的不可判定與U內(nèi)項在系統(tǒng)中是否可以判定無關(guān)，與系統(tǒng)的完全性無關(guān)(定理6、7)；

5)U外不動項矛盾是永恒的矛盾，矛盾來源于U外(推論11、12)；

以上證明G?del構(gòu)造的不可判定命題，也是系統(tǒng)N中的一個不動項，它也滿足以上一般邏輯性質(zhì)，因此，G?del關(guān)于不完全性定理的證明是錯誤的。

將修正后的系統(tǒng)完全性定義14，推廣到自然數(shù)系統(tǒng)N上：

定義16 設(shè)全集UN={X1,X2,…,Xi,…}是自然數(shù)系統(tǒng)N上的全部命題，。

1)若?Xi∈UN，(┝NXi)∨(┝NXi)，即若?Xi∈UN，Xi或Xi在N中可證明，就稱自然數(shù)系統(tǒng)N是完全的；

注：XG是UN外的不動項，以上定義中特別列出(3)，是為了防止把XG與UN中命題混淆，系統(tǒng)的完全性與UN外的項無關(guān)，與UN內(nèi)的項有關(guān)。

定理10 G?del不可判定命題U(m)，U(m)在系統(tǒng)N中不可判定，是U外不可判定命題，與系統(tǒng)N的完全性無關(guān)。

證明

1)XG=U(m)是滿足方程

G(XG)?G(XG)的解，

即：G(U(m))?G(U(m))，

U(m)是關(guān)于命題公式G[U(m)]?G[U(m)]的不動項；

2)不動項命題G(XG)的不可判定，是U外不可判定命題，不能作為N是否完全的標(biāo)準(zhǔn)；

3)不動項U(m)的不可判定性與系統(tǒng)N相對于UN完全性無關(guān)；G?del不可判定命題U(m)，是U外變異項。

所以，G?del關(guān)于自然數(shù)系統(tǒng)N的不完全定理的證明是錯誤的。

這個U(m)是恒成立不可判定命題，是U外不可判定命題，與U內(nèi)項命題Xi在公理系統(tǒng)N中是否可證沒有關(guān)系；

不動項U(m)的不可判定，

+α={U(x)|G(U(x))}，

-α={U(x)|G(U(x))} 的G?del數(shù)集合仍然可能是遞歸集合。

很容易得到以下推論：

推論14U(m)在系統(tǒng)N中不可判定，是U外不可判定命題，與系統(tǒng)N的定理集合的可判定性無關(guān)。無論在系統(tǒng)N中怎么添加公理，這個不可判定命題U(m)是消除不了的，因為U(m)是一個不動項，已經(jīng)不是系統(tǒng)N的一個命題。如果我們仔細(xì)觀察不完全定理的證明過程，不可判定命題U(m)的構(gòu)造，只與系統(tǒng)N的可表達(dá)有關(guān)，與系統(tǒng)N的公理無關(guān)，也就是說：即使系統(tǒng)N一條公理也沒有，不可判定命題U(m)照樣存在。這個U(m)是恒成立不可判定命題，與公理系統(tǒng)N是否可以完全沒有直接關(guān)系。

以后將證明：不光G?del不可判定命題是U外不動項，“Cantor對角線證明方法”所產(chǎn)生的項，也都是U外不動項，“Cantor對角線證明方法”是錯誤的證明方法。

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