基于包含原理的多智能體一致性協(xié)調(diào)控制

馬晨，陳雪波

(遼寧科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114051)

多智能體的運動一致性在本質(zhì)上與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題非常相似，都是要使網(wǎng)絡(luò)中各個智能體的狀態(tài)趨于一個一致的解，除了網(wǎng)絡(luò)本身的性質(zhì)對一致性的影響以外，各智能體之間的協(xié)調(diào)對于改善同步能力也是非常重要的[1]。近年來，結(jié)合網(wǎng)絡(luò)一致性的多智能體群集控制一直是控制學(xué)者關(guān)注的問題，并且得到了許多重要的結(jié)論。如文獻[2-5]討論了一致性問題中系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響；文獻[6-8]通過設(shè)計一個勢能函數(shù)來實現(xiàn)多智能體的群集控制；文獻[9]提出了同時考慮位移與速度協(xié)調(diào)的二階一致性協(xié)議。另一方面，包含原理以及由其引申出的對對分解[10-13]，可以充分地利用各子系統(tǒng)間的互聯(lián)關(guān)系，在處理多重疊互聯(lián)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制時具有獨特的優(yōu)勢。包含原理在運動體的協(xié)調(diào)控制方面有很廣泛的應(yīng)用，如自動車組系統(tǒng)[13-15]以及無人機編隊[16]等的協(xié)調(diào)控制。由于前述文獻中的系統(tǒng)運動模型是基于相對位置構(gòu)建的，因而只適合于處理各運動體按鏈型結(jié)構(gòu)排列的情況。本文將文獻[13-14]中的系統(tǒng)擴展為2個軸向，考慮按網(wǎng)型結(jié)構(gòu)排列的多智能體系統(tǒng)，為其建立一個多重疊的偏差狀態(tài)方程，在包含原理的概念下分別為每一組在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲邢噜彽闹悄荏w對設(shè)計一致性控制狀態(tài)反饋矩陣，以收縮得到適用于原系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制器。系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞幕ヂ?lián)關(guān)系主要體現(xiàn)在一致性協(xié)調(diào)控制器中。

1 包含原理與系統(tǒng)描述

1.1 系統(tǒng)的置換包含原理

系統(tǒng)的包含原理有擴展與收縮2個方面，可以有效地處理系統(tǒng)的重疊互聯(lián)結(jié)構(gòu)，從而簡化復(fù)雜系統(tǒng)的分析與設(shè)計工作。通過對系統(tǒng)重疊的各個組成部分或子系統(tǒng)近似解耦，可以得到原系統(tǒng)在擴展空間中的對應(yīng)，并且在滿足包含原理相關(guān)的條件下，該擴展系統(tǒng)包含了原系統(tǒng)所有的性質(zhì)。這樣一來，可以在擴展空間中為每一個解耦的子系統(tǒng)進行并行且獨立的觀測器和控制器設(shè)計，經(jīng)過適當(dāng)?shù)恼虾?，可以將得到的結(jié)果再收縮回原系統(tǒng)空間，進而實現(xiàn)對原系統(tǒng)的重疊分散與一致性協(xié)調(diào)控制。關(guān)于系統(tǒng)包含原理以及重疊互聯(lián)系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制方面的詳細(xì)內(nèi)容請見文獻[10-13]。

考慮一線性定常連續(xù)的重疊互聯(lián)系統(tǒng)，具有N(N≥ 3)個子系統(tǒng):

(1)

式中：xi(t)∈Rni，ui(t)∈Rmi和yi(t)∈Rli分別是在時間t∈R子系統(tǒng)Si的狀態(tài)、輸入和輸出向量；Aii、Bii和Cii是系統(tǒng)Si的系數(shù)矩陣，Aij表示子系統(tǒng)Si與子系統(tǒng)Sj的互聯(lián)關(guān)系。

對于式(1)，系統(tǒng)中所有的互聯(lián)關(guān)系都是建立在每一對子系統(tǒng)間的信息結(jié)構(gòu)約束之上的，因而可以在式(1)中任意選擇系統(tǒng)S的一對子系統(tǒng)Si與Sj，稱

(2)

為系統(tǒng)S的一個基本互聯(lián)子系統(tǒng)對。在式(2)中，只需要關(guān)注特定子系統(tǒng)Si與Sj之間的互聯(lián)關(guān)系，而這2個子系統(tǒng)與其他任意子系統(tǒng)間的互聯(lián)關(guān)系可以暫時不做考慮，這樣可以在很大程度上簡化了復(fù)雜互聯(lián)系統(tǒng)的分析工作，又不會損失細(xì)節(jié)。

重疊互聯(lián)系統(tǒng)的對對分解需要考慮擴展空間中子系統(tǒng)對Sij的排列順序，即循環(huán)逆序排列，假設(shè)系統(tǒng)S具有全網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，則有各子系統(tǒng)對按倒序下標(biāo)循環(huán)排列為

式中：Ik是對應(yīng)子系統(tǒng)Sk的單位子矩陣。從而有列組置換矩陣P與行組置換矩陣P-1由一系列相鄰列組與行組初等置換矩陣按順序右累乘與左累乘得到

(3)

置換后可得

UP=UpA

QP=QPB

SP=SpC

(4)

其中各系數(shù)矩陣分別為

(5)

1.2 多智能體系統(tǒng)的偏差模型和重疊結(jié)構(gòu)分解

考慮用每個智能體位移的變化量和速度的變化量來描述其運動狀態(tài)，可以寫出每個智能體的二階偏差方程為

(6)

為簡便起見以下將省略變化量符號，式(6)中di=[dixdiy]T,vi=[vixviy]T,ui=[uixuiy]T，分別表示智能體i在x和y軸上的位移與速度變化量以及控制輸入。

如圖1所示，考慮由N=20個智能體組成的網(wǎng)型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。容易想象，對于這樣的網(wǎng)型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，當(dāng)每一對智能體間的距離均相等時，一定會形成圖中正三角形網(wǎng)格的網(wǎng)型結(jié)構(gòu)，即是文獻[8]中定義的α-lattice。不過，文獻[8]的群集算法主要考慮智能體的勢能關(guān)系，這樣一來各智能體對相互距離的判斷可能會產(chǎn)生誤差，在實際形成的網(wǎng)型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中各邊的長度可能不會完全相等，即形成準(zhǔn)α-lattice。本文在接下來要介紹的多智能體一致性協(xié)調(diào)控制將直接考慮各智能體位移和速度的變化量，因而在平穩(wěn)狀態(tài)下各智能體間的距離將是完全相等的。

圖1 多智能體系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu), N=20Fig.1 Network topology of a multi-agent system, N=20

圖1表示的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為

(7)

式中：

根據(jù)圖1所示的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，擴展系統(tǒng)中各子系統(tǒng)對的循環(huán)逆序可以寫成

Sij:S12,S34,S14,S45,S25,S15,S56,S26,S37,S78,S48,S38,S89,S59,S49,S9,10,S6,10,S5,10,S8,11,S7,11,S11,12,S9,12,S8,12,S12,13,S10,13,S9,13,S13,14,S10,14,S11,15,S15,16,S12,16,S11,16,S16,17,S13,17,S12,17,S17,18,S14,18,S13,18,S16,19,S15,19,S19,20,S17,20,S16,20.(8)

這樣，根據(jù)式(3)可以選擇系統(tǒng)狀態(tài)的擴展和收縮變換矩陣為

(9)

系統(tǒng)輸入、輸出的擴展和收縮變換矩陣結(jié)構(gòu)與式(9)類似。系統(tǒng)的置換矩陣若要按照定義式來選擇稍顯不夠直觀，這里可以參照文獻[17]中的式(6)，即

式中：符號P(m,n)b表示P中單位子矩陣I的塊位置。補償矩陣的選擇可以參照文獻[12-13]。這樣即可根據(jù)式(4)、(5)得到原多智能體系統(tǒng)的擴展系統(tǒng)。

2 多智能體的一致性協(xié)調(diào)控制

考慮多智能體系統(tǒng)偏差模型(7)，控制目標(biāo)是要使各智能體的位移和速度變化量為0，且整體系統(tǒng)實現(xiàn)運動狀態(tài)的一致。針對重疊解耦后的擴展系統(tǒng)，以其中的每個子系統(tǒng)對為基本單位，參照文獻[9]中提出的二階一致性協(xié)議，可以構(gòu)造智能體對的一致性控制律為

ui=fic+fir=

aij[-(di-dj)-ci(vi-vj)]+(-rddi-rvvi)

i,j=1,2,…,N,i≠j

(10)

式中：fic是為保證系統(tǒng)運動一致性的實現(xiàn)，fir是為保證各智能體的位移與速度變化量為0，各參數(shù)aij、ci、rd和rv取合適的值。從而可以把式(11)整理成狀態(tài)反饋矩陣的形式：

KDij=

(11)

即可得到擴展系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制矩陣為

(12)

需要注意的是，根據(jù)文獻[12-13]，在整合擴展系統(tǒng)控制矩陣時需要考慮整體系統(tǒng)的信息結(jié)構(gòu)，即需要參照由包含原理得到的擴展系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的信息結(jié)構(gòu)，對控制矩陣進行補償。這里由于系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣中對應(yīng)的信息結(jié)構(gòu)約束項為0，從而相應(yīng)的協(xié)調(diào)補償器也為0。

然后需要根據(jù)包含原理相關(guān)條件將擴展系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制器(12)收縮回原空間，由文獻[12-13]有

實際上，考慮基于包含原理得到的一致性控制律u=-Kx，其基本結(jié)構(gòu)與常規(guī)的一致性協(xié)議如文獻[4,9]中提到的是相同的，差別僅在于每一路控制輸入整體的系數(shù)上。這主要是因為常規(guī)的一致性協(xié)議使用系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的Laplacian矩陣來描述網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，而該矩陣在構(gòu)造時是以網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點的互聯(lián)項作為基準(zhǔn)單位，而本文的描述方式是以該節(jié)點本身作為基準(zhǔn)單位，二者相差的系數(shù)恰好是節(jié)點所含的互聯(lián)項的數(shù)目。

3 仿真示例

首先考慮圖1所示的多智能體系統(tǒng)，各智能體僅能與存在信息結(jié)構(gòu)約束的其他智能體進行信息交換，即是在一致性控制律(10)中，i與j需要滿足Sij存在于子系統(tǒng)的循環(huán)逆序排列里。系統(tǒng)的重疊偏差模型如式(7)，設(shè)智能體1在1≤t≤10 s內(nèi)在x軸和y軸上均受到一個正單位的擾動，控制律中各參數(shù)在整個仿真過程中是固定的，分別為aij=10，ci=1，rd=rv=10，使用MATLAB仿真如圖2。

(a)智能體位移偏差曲線

(b)智能體速度偏差曲線 圖2 N=20時多智能體系統(tǒng)的響應(yīng)曲線Fig.2 Response curves of the multi-agent system, N=20

假設(shè)系統(tǒng)經(jīng)調(diào)節(jié)后處于平穩(wěn)運行狀態(tài)，智能體21的加入將分別給智能體17、18和20一個正單位的擾動，智能體21本身受到一個負(fù)單位的擾動，控制律中各參數(shù)不變。仿真結(jié)果如圖4，這里各智能體所受擾動為瞬時值，因而速度變化量的調(diào)節(jié)時間很短。智能體17、18和20在系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的地位和作用很接近，其位移與速度變化量的響應(yīng)曲線也很相似，并且與智能體21的響應(yīng)曲線變化方向相反，其他智能體的響應(yīng)曲線波動依然是按照其各自的互聯(lián)情況不同而有一定的差別，這與圖2顯示的結(jié)果是基本一致的。以上仿真結(jié)果表明，在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)改變的情況下，系統(tǒng)仍然可以很快地調(diào)節(jié)回平衡位置。

圖3 向系統(tǒng)中加入一個智能體，N=21Fig.3 Add one more agent to the former system, N=21

(a)智能體位移偏差曲線

(b)智能體速度偏差曲線 圖4 N=21時多智能體系統(tǒng)的響應(yīng)曲線Fig.4 Response curves of the multi-agent system, N=21

4 結(jié)束語

本文在包含原理的概念下考慮多智能體系統(tǒng)的運動一致性問題。通過對系統(tǒng)重疊偏差方程進行擴展、為每個智能體對單獨設(shè)計控制律、再將結(jié)果整合并收縮這樣的過程，可以實現(xiàn)原系統(tǒng)的一致性協(xié)調(diào)控制。區(qū)別于之前的工作，本文解決了在2個運動軸向上應(yīng)用包含原理進行系統(tǒng)重疊分解的問題。文中各智能體間距離相等的網(wǎng)型結(jié)構(gòu)是有現(xiàn)實意義的，在自動車組的隊形保持或多機器人系統(tǒng)的群集控制中均有應(yīng)用價值。另一方面，不只是本文提到的一致性問題，基于置換包含原理的對對分解也同樣適用于處理更加復(fù)雜的控制算法以及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的動態(tài)變化。

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