投資組合優(yōu)化的可行性規(guī)則人工蜂群算法

劉永波

(瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程系，四川 瀘州 646005)

證券投資是證券市場(chǎng)運(yùn)行環(huán)節(jié)中的重要組成部分，而證券組合理論又是最重要的證券投資理論之一，著名學(xué)者M(jìn)arkowitz建立了求解最佳證券投資組合的解析模型。由于最佳證券組合的求解實(shí)際上屬于一類組合優(yōu)化問(wèn)題，通常歸結(jié)為二次規(guī)劃模型[1-2]，是一類典型的帶約束NP-hard問(wèn)題。可運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)中的非線性規(guī)劃法求解這類問(wèn)題，但其求解過(guò)程往往十分復(fù)雜，而且對(duì)求解者的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)有較高要求[3-4]。

為了避免繁瑣的數(shù)學(xué)規(guī)劃求解，已有許多學(xué)者應(yīng)用智能算法求解證券組合優(yōu)化問(wèn)題。張偉等[1]應(yīng)用二進(jìn)制編碼遺傳算法(genetic algorithm, GA)求解該問(wèn)題，具有簡(jiǎn)潔、直觀的優(yōu)勢(shì)，但效率不夠高;何洋林等[2]應(yīng)用整數(shù)編碼自適應(yīng)遺傳算法(adaptive GA, AGA)求解該問(wèn)題，提高了求解效率;Soleimani等[3]應(yīng)用GA求解含最大、最小交易量約束的投資組合優(yōu)化模型;夏夢(mèng)雨等[4]則應(yīng)用粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)求解該問(wèn)題;劉曉峰等[5]應(yīng)用PSO求解允許賣空證券投資和不允許賣空證券投資2種情形下的優(yōu)化模型;劉衍民等[6]應(yīng)用具有約束處理機(jī)制的PSO求解自融資投資組合優(yōu)化模型;李磊等[7]應(yīng)用2種版本的文化算法(cultural algorithm, CA)求解此模型;江家寶等[8]以最大化個(gè)人經(jīng)濟(jì)效益或最大化周期結(jié)束時(shí)個(gè)人財(cái)富為目標(biāo)，建立多階段投資組合優(yōu)化模型，再應(yīng)用差分進(jìn)化算法(differential evolution, DE)求解該問(wèn)題。最近，有學(xué)者應(yīng)用混合智能算法求解這類問(wèn)題。李國(guó)成等[9]提出基于混沌搜索、PSO和引力搜索算法的混合元啟發(fā)式搜索算法，并應(yīng)用該算法求解基數(shù)約束投資組合問(wèn)題；Lwin等[10]提出融合種群增量學(xué)習(xí)和DE的混合算法，再應(yīng)用此方法求解約束投資組合模型。近年來(lái)，還有學(xué)者應(yīng)用多目標(biāo)進(jìn)化算法(multiobjective evolutionary algorithm, MOEA)[11]求解投資組合優(yōu)化問(wèn)題。比如，Branke等[12]應(yīng)用基于包絡(luò)的MOEA求解組合投資問(wèn)題的Pareto最優(yōu)解。

由于人工蜂群算法(artificial bee colony algorithm, ABC)[13-15]具有良好的尋優(yōu)性能，近年來(lái)受到廣泛關(guān)注，故本文探索應(yīng)用ABC算法求解證券組合優(yōu)化問(wèn)題。在引入約束優(yōu)化問(wèn)題可行性規(guī)則的基礎(chǔ)上，提出面向證券組合優(yōu)化問(wèn)題的可行性規(guī)則人工蜂群算法(ABC algorithm with the feasibility rule, FRABC)。文中分析了FRABC算法的計(jì)算復(fù)雜度和全局收斂性。最后，給出數(shù)值實(shí)例，通過(guò)分析可知：FRABC算法的全局最優(yōu)解好于AGA。同時(shí)，還與GA、PSO算法和基本ABC算法(basic ABC algorithm, BABC)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，測(cè)試結(jié)果表明，F(xiàn)RABC算法具有良好穩(wěn)健性，且性能指標(biāo)優(yōu)于4種對(duì)比算法。

1 投資組合優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

文獻(xiàn)[3]提出了基于我國(guó)證券市場(chǎng)現(xiàn)狀的含交易費(fèi)用的改進(jìn)資產(chǎn)分配優(yōu)化模型，簡(jiǎn)要描述如下。

設(shè)投資者可購(gòu)買的證券集合為{s1,s2,…,sn}，其中n為證券種數(shù)；證券si(i=1,2,…,n)的收益率為ri(隨機(jī)變量)，其期望收益率為Ri=E(ri)，σij=cov(ri,rj)為隨機(jī)變量ri和rj的協(xié)方差(i,j=1,2,…,n)。若允許的最小和最大投資金額分別為C1和C2，則投資金額C[C1,C2]。證券通常是以最小交易量“手”為基本單位買入和賣出的，設(shè)1手=Z股(ZZ+)。若證券si的現(xiàn)時(shí)報(bào)價(jià)為pi元/股，交易量為xi手(xiN)，其投資組合向量為則總投資金額為于是證券si的投資比例為μi=Zxipi/C(x)，投資組合x的資金權(quán)重向量為

(1)

投資組合x的風(fēng)險(xiǎn)為

(2)

投資者期望收益率高且風(fēng)險(xiǎn)小，因此，計(jì)入交易費(fèi)用的加權(quán)優(yōu)化模型為

maxF(x)=wf(x)-(1-w)g(x)

(3)

(4)

(5)

2 約束優(yōu)化的人工蜂群算法

2.1 二級(jí)標(biāo)題約束優(yōu)化的可行性規(guī)則

對(duì)于最大化問(wèn)題式(3)，具有總投資金額區(qū)間約束條件式(4)和式(5)，屬于約束優(yōu)化問(wèn)題，其求解難點(diǎn)在于如何處理約束條件[6]。本文采用可行性規(guī)則處理該約束條件，首先引入比較2個(gè)候選解的可行性規(guī)則[16]：

規(guī)則1 若2個(gè)候選解都是可行解，則目標(biāo)函數(shù)值大的獲勝。

規(guī)則2 若2個(gè)候選解都是不可行解，則約束違反度小的獲勝。

規(guī)則3 若一個(gè)是可行解而另一個(gè)是不可行解，則可行解獲勝。

在規(guī)則2中，需要應(yīng)用候選解的約束違反度比較2個(gè)不可行解。本文將候選解x的約束違反度定義為

G(x)=max{0,g1(x)}+max{0,g2(x)}

(6)

顯然，當(dāng)x為可行解時(shí)，有G(x)=0。

2.2 可行性規(guī)則人工蜂群算法

在Karaboga與Basturk[13-14]提出的ABC算法中，蜂群分為引領(lǐng)蜂群體、跟隨蜂群體和偵察蜂群體，且依靠3種群體之間的交流、轉(zhuǎn)換和協(xié)作來(lái)實(shí)現(xiàn)采蜜。同時(shí)，模型中應(yīng)用蜜源來(lái)代表候選解，蜜蜂采蜜的過(guò)程即為搜尋最優(yōu)解的過(guò)程。有關(guān)概念見文獻(xiàn)[13-15]，文中不贅述。

設(shè)蜂群規(guī)模為N，其中引領(lǐng)蜂和跟隨蜂群體規(guī)模分別為NL和NF(通常取相同規(guī)模，即NL=NF=N/2)。因式(3)系非負(fù)整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題，故在搜索過(guò)程中還需對(duì)決策變量取整。FRABC算法的流程如下：

1)初始化種群。按式(7)隨機(jī)生成NL個(gè)候選解，并置采蜜時(shí)刻t=0。

k=1,2,…,NL；i=1,2,…,n

(7)

式中:rand( )為(0,1)內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)，round(·)為四舍五入取整函數(shù)。

將在蜜源xk的鄰域內(nèi)未發(fā)現(xiàn)更優(yōu)新蜜源的連續(xù)搜索次數(shù)記為δtk，初始時(shí)置δtk=0。

2)引領(lǐng)蜂采蜜。采蜜至第t時(shí)刻，每只引領(lǐng)蜂均在其當(dāng)前蜜源的鄰域內(nèi)搜索，按式(8)生成新蜜源：

k=1,2,…,NL；i=1,2, …,n

(8)

式中:m{1,2,…,NL}(〗k}，ir{1,2,…,n}，m、ir均為隨機(jī)生成的自然數(shù)；φk為(-1,1)內(nèi)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)(對(duì)每只引領(lǐng)蜂只作一次采樣，即生成新蜜源時(shí)，每維分量采用相同的φk)；psea(0,1)，為每維分量的搜索概率；應(yīng)保證文獻(xiàn)[2]提出的ABC算法中，t時(shí)刻生成的新蜜源與原蜜源x(t)k相比，僅隨機(jī)改變一維分量，其搜索能力有限。本文對(duì)每維分量都按一定概率執(zhí)行搜索，以擴(kuò)大搜索范圍。

對(duì)NL只引領(lǐng)蜂(k=1,2,…,NL)，執(zhí)行NL次上述鄰域搜索。

3)跟隨蜂采蜜。跟隨蜂的鄰域搜索與蜜源更新方式與引領(lǐng)蜂一致。采蜜至第t時(shí)刻，每只跟隨蜂均應(yīng)用輪賭法選擇被跟隨的引領(lǐng)蜂。第k只引領(lǐng)蜂x(t+1)k被選中的概率為

k=1,2,…,NL

(9)

對(duì)NF只跟隨蜂(k=1,2,…,NF)，執(zhí)行NF次上述鄰域搜索。

4)偵察蜂采蜜。當(dāng)δtk達(dá)到預(yù)設(shè)閾值Δt時(shí)，該蜜源對(duì)應(yīng)的引領(lǐng)蜂轉(zhuǎn)變?yōu)閭刹旆?，?yīng)用式(7)重新隨機(jī)產(chǎn)生新蜜源，并置δtk=0。

引領(lǐng)蜂轉(zhuǎn)變?yōu)閭刹旆淇稍鰪?qiáng)種群的多樣性，防止蜂群陷入局部最優(yōu)區(qū)域。該操作可改善蜂群的搜索性能，提高獲得最優(yōu)解的概率。

5)更新最優(yōu)蜜源。應(yīng)用可行性規(guī)則確定新一代蜂群中的最優(yōu)蜜源x(t+1)best。

6)終止判斷。若滿足終止條件，則輸出最優(yōu)蜜源x(t+1)best及其相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)值F(x(t+1)best)；否則，置t=t+1，返回2)。

2.3 計(jì)算復(fù)雜度分析

設(shè)引領(lǐng)蜂群體規(guī)模NL和跟隨蜂群體規(guī)模NF相同，且NL=NF=N/2，最大迭代代數(shù)為tmax。根據(jù)第3.2節(jié)中各步驟分析FRABC算法的計(jì)算復(fù)雜度(僅考慮重復(fù)執(zhí)行的次數(shù))。

2)的計(jì)算復(fù)雜度為：引領(lǐng)蜂執(zhí)行鄰域搜索生成新蜜源：O(Nn/2)，評(píng)價(jià)新蜜源：O(N/2)，更新蜜源：O(N/2)，更新計(jì)數(shù)器δtk：O(N/2)。3)的計(jì)算復(fù)雜度為：計(jì)算引領(lǐng)蜂被選擇的概率：O(N/2)，選擇被跟隨的引領(lǐng)蜂：O(N/2)，跟隨蜂執(zhí)行鄰域搜索生成新蜜源：O(Nn/2)，評(píng)價(jià)新蜜源：O(N/2)，更新蜜源：O(N/2)，更新計(jì)數(shù)器δtk：O(N/2)。5)的計(jì)算復(fù)雜度為：O(N/2)，因此步存在不確定性，可忽略其復(fù)雜度5)的計(jì)算復(fù)雜度為：確定每代的最優(yōu)蜜源：O(N/2)，更新最優(yōu)蜜源：O(1)。略去上述各步中的低階項(xiàng)，則FRABC算法的計(jì)算復(fù)雜度為O(tmaxNn)，為立方階復(fù)雜度[17]。

3 算法收斂性分析

定義1 稱t時(shí)刻的蜜源集合X(t)={x(t)k,k=1,2,…,NL}為FRABC算法的第t代種群，t=0,1,…,tmax。

定義2 稱種群集合B={X={xk,k=1,2,…,NL}:X∩M}為問(wèn)題式(3)的滿意種群集[18]。

由第2.2節(jié)的算法流程可知，F(xiàn)RABC算法具有保留精英解的特點(diǎn)，故有以下定理。

定理1 FRABC算法的最優(yōu)蜜源x(t+1)best不劣于x(t)best，t=0,1,…,tmax。

定理2 FRABC算法的種群序列{X(t),t=0,1,…,tmax}是齊次不可約非周期Markov鏈。

證明因蜂群對(duì)種群X(t)執(zhí)行鄰域搜索，生成新一代種群X(t+1)時(shí)，每一蜜源x(t+1)由引領(lǐng)蜂、跟隨蜂及偵察蜂協(xié)同完成搜索[19]。借鑒車林仙[20]分析DE算法收斂性的方法，以下分別給出其一步轉(zhuǎn)移概率(因篇幅所限，不再展開證明)。

1) 引領(lǐng)蜂執(zhí)行鄰域搜索的一步轉(zhuǎn)移概率。

引領(lǐng)蜂k在X(t)中隨機(jī)選擇一異于x(t)k的蜜源x(t)m，生成中間蜜源y的概率為

(10)

式中:Ts1為算子符號(hào)，以下類似；δ(·)為Dirac函數(shù)[20]。

(11)

(12)

綜合式(10)～(12)，可得引領(lǐng)蜂k搜索到新蜜源x的一步轉(zhuǎn)移概率

Pr{TL(x(t)k,X(t))=x

(13)

2) 跟隨蜂執(zhí)行鄰域搜索的一步轉(zhuǎn)移概率。

當(dāng)選中引領(lǐng)蜂k作為被跟隨蜂時(shí)，也可用前述方法計(jì)算搜索x的一步轉(zhuǎn)移概率，其表達(dá)式與式(13)類似，簡(jiǎn)記為Pr{TF(x(t)k,X(t))=x}。

3) 偵察蜂執(zhí)行隨機(jī)搜索的一步轉(zhuǎn)移概率。

因偵察蜂對(duì)解空間S執(zhí)行隨機(jī)搜索，故獲得x的一步轉(zhuǎn)移概率為

Pr{TSS=x}=1/|S|

式中:|S|表示S內(nèi)的離散點(diǎn)數(shù)。

于是，僅由引領(lǐng)蜂搜出新一代蜜源x(t+1)k時(shí)，其概率為

Pr{T1(x(t)k,X(t))=x(t+1)k}=

Pr{TL(x(t)k,X(t))=x(t+1)k}

(14)

由引領(lǐng)蜂和跟隨蜂共同搜出新一代蜜源x(t+1)k時(shí)，其概率為

Pr{T1(x(t)k,X(t))=x(t+1)k}=

Pr{TL(x(t)k,X(t))=x′1}Pr{TL(x′1,X(t))=

x′2}…Pr{TL(x′q,X(t))=x(t+1)k}

(15)

式中:q≥1，指引領(lǐng)蜂k被跟隨的次數(shù)。

由偵察蜂搜出新一代蜜源x(t+1)k時(shí)，其概率為

Pr{T1(x(t)k,X(t))=x(t+1)k}=

Pr{TSS=x(t+1)k}

(16)

那么，由X(t)生成X(t+1)的一步轉(zhuǎn)移概率為[19-20]

Pr{TX(t)=X(t+1)}=

(17)

證明假設(shè)問(wèn)題式(3)有惟一最優(yōu)解。對(duì)X1,X2SNL，由定理1、2可得如下性質(zhì)：

1) 當(dāng)X1B，X2B時(shí)，Pr{TX1=X2}>0，Pr{TX2=X1}>0，即X1和X2可互通；

2) 當(dāng)X1B，X2B時(shí)，Pr{TX1=X2}=0，Pr{TX2=X1}>0，即X1不能通向X2。

于是，B為正常返非周期不可約閉集[21]，且有

即X(t)一定能進(jìn)入B內(nèi)，且滿足某極限概率分布(X)(XB)。故

?X(0)∈SNL}=1

4 算例與討論

算例來(lái)自文獻(xiàn)[2]。假設(shè)購(gòu)買股票1手=100股(即Z=100)，總投資金額上限C2=10萬(wàn)元，(C2-C1)/C2=0.2%。擬投資的n(=5)支股票的價(jià)格為

(元/股)

每支股票的投資金額最多占總金額的60%，進(jìn)而可確定購(gòu)買手?jǐn)?shù)上限

每支股票的交易手續(xù)費(fèi)比例ξ1i=0.035%，ξ2i=0.04% (i=1,2,…,5)，且傭金最低額度cmin 1=cmin 2=10元，cmin 3=cmin 4=cmin 5=5元，5支股票的平均收益率列陣為

5支股票的風(fēng)險(xiǎn)方差方陣為

根據(jù)第2.2節(jié)的FRABC算法流程，應(yīng)用MATLAB編寫程序，控制參數(shù)設(shè)置為：蜂群規(guī)模N=40，搜索概率psea=0.85，最大迭代代數(shù)tmax=600，代數(shù)閾值Δt=100。對(duì)于不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好因子w，對(duì)應(yīng)優(yōu)化結(jié)果見表1(分別獨(dú)立運(yùn)行50次，表中為最好結(jié)果)。FRABC算法獨(dú)立運(yùn)行一次的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)為N×tmax=24 000；而文獻(xiàn)[2]的參數(shù)為N=20，tmax=200，AGA獨(dú)立運(yùn)行一次的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)為N×tmax=4 000。由表1可知，對(duì)于不同的w，應(yīng)用FRABC算法求出的加權(quán)優(yōu)化結(jié)果F(x)均明顯優(yōu)于AGA。因此，雖然FRABC算法的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)高于AGA，但從優(yōu)化結(jié)果來(lái)看，本文認(rèn)為FRABC算法增加的計(jì)算開銷是值得的。

表1 算例中的股票投資策略

續(xù)表1

注：表中AGA的計(jì)算結(jié)果引自文獻(xiàn)[2]。

為了考察FRABC算法的有效性，本文還比較GA、PSO、BABC算法[13-14]和FRABC算法求解投資組合優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)化性能。將可行性規(guī)則與GA、PSO和BABC算法結(jié)合形成的算法記為FRGA、FRPSO和FRBABC。

為了公平比較，所有算法的種群規(guī)模N、最大迭代代數(shù)tmax一致，取N=40，tmax=600，即函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)一致。與FRABC算法類似，F(xiàn)RGA、FRPSO和FRBABC算法均采用非負(fù)整數(shù)編碼，應(yīng)用函數(shù)round(·)取整。FRGA應(yīng)用概率選擇(按式(9)選擇，記為FRGA1)或2元錦標(biāo)賽選擇(記為FRGA2)、隨機(jī)算術(shù)交叉[2]和均勻變異策略，交叉、變異概率分別為pc=0.9，pm=0.2。FRPSO算法的慣性權(quán)重線性遞減，取=1.2～0.2，加速度系數(shù)為c1=c2=2，最大速度取(i=1,2,…,5)。FRBABC算法除無(wú)參數(shù)psea外，其余控制參數(shù)與FRABC算法一致。

圖1 5種算法的平均進(jìn)化曲線(w=0.4)Fig.1 The average evolution curve of five algorithms(w=0.4)

圖2 5種算法的平均進(jìn)化曲線(w=0.5)Fig.2 The average evolution curve of five algorithms(w=0.5)

圖3 5種算法的平均進(jìn)化曲線(w=0.6)Fig.3 The average evolution curve of five algorithms(w=0.6)

風(fēng)險(xiǎn)偏好因子w算法最好值Fb最差值Fw平均值Fav標(biāo)準(zhǔn)方差σ2F0.4FRGA17.939×10-36.147×10-37.098×10-33.427×10-4FRGA28.009×10-36.699×10-37.176×10-32.672×10-4FRPSO8.287×10-36.962×10-38.096×10-32.715×10-4FRBABC8.087×10-37.263×10-37.761×10-32.178×10-4FRABC8.287×10-38.270×10-38.283×10-36.931×10-60.5FRGA11.304×10-21.131×10-21.208×10-23.995×10-4FRGA21.271×10-21.153×10-21.209×10-22.849×10-4FRPSO1.347×10-21.192×10-21.325×10-22.776×10-4FRBABC1.324×10-21.219×10-21.271×10-22.623×10-4FRABC1.347×10-21.345×10-21.347×10-24.575×10-60.6FRGA11.923×10-21.718×10-21.820×10-24.555×10-4FRGA22.011×10-21.785×10-21.851×10-24.195×10-4FRPSO2.050×10-21.833×10-22.012×10-24.318×10-4FRBABC2.013×10-21.841×10-21.932×10-23.605×10-4FRABC2.051×10-22.031×10-22.049×10-23.462×10-5

5 結(jié)論

1) 給出包含交易費(fèi)用基于投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的最佳證券投資組合模型；針對(duì)其約束條件，定義了約束違反度函數(shù)，進(jìn)而引入求解約束優(yōu)化問(wèn)題的可行性規(guī)則。

2) 新型智能算法ABC在求解非線性優(yōu)化問(wèn)題中具有很強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力和很好的實(shí)用性，本文應(yīng)用ABC算法求解最佳證券投資組合模型，形成面向該類問(wèn)題的FRABC算法。

3) FRABC算法的計(jì)算復(fù)雜度為立方階復(fù)雜度，與基本算法FRBABC一致。還應(yīng)用Markov鏈分析其種群狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率，證明了該算法的全局收斂性。

4) 應(yīng)用MATLAB編寫FRABC算法的計(jì)算程序，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了該算法具有很強(qiáng)的尋優(yōu)性能和良好的穩(wěn)健性，且結(jié)果優(yōu)于AGA。在相同函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)的條件下，F(xiàn)RABC算法的各項(xiàng)優(yōu)化指標(biāo)均好于FRGA、FRPSO和FRBABC等對(duì)比算法，表明了本文方法的有效性和實(shí)用性。

參考文獻(xiàn):

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