準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)問題的熱流密度分析

羅 宏

(蘇州科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

1 引 言

熱傳導(dǎo)的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)過程廣泛存在于自然界. 在耗能領(lǐng)域，準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)模型被用在熱傳導(dǎo)的建模研究中，達到提高熱效率，充分利用能源的目的[1-2]，或減小熱能損失，節(jié)約能源的目的[3-4]. 由于效率和精度上的優(yōu)點，在材料的物性測量中準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)亦有較多的應(yīng)用[5-8]. 關(guān)于溫度場分析，也可以應(yīng)用準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)的模型[9-10]. 準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)問題常用的理論分析方法是解含有特定邊界條件和初始條件的熱傳導(dǎo)微分方程

(1)

需用到偏微分方程、傅里葉分析等數(shù)學(xué)工具，過程較復(fù)雜[11]. 文獻[12]分析了第二類邊界條件下的無限大平行平板中的準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過程. 本文則討論了由對稱性可知物體熱流密度線分布的情況下，如何求出熱流密度沿?zé)崃髅芏染€變化的函數(shù)，再由熱流密度函數(shù)得到物體內(nèi)的溫度場函數(shù)及導(dǎo)熱系數(shù)公式. 這種方法簡單、直觀、效率較高、物理概念清晰. 以下假設(shè)在各向同性的均勻介質(zhì)中，導(dǎo)熱系數(shù)λ、比熱容c和材料密度ρ不隨溫度變化.

2 方法介紹

一受熱物體，如果表面各處熱流密度恒定，物體內(nèi)熱源的發(fā)熱效率恒定，則此物體存在準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)過程[13]. 準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)下，由于物體中各處溫升速度相同[5,13]，則溫度梯度不隨時間變化，由傅里葉定律

q=-λt(r,τ)

(2)

可知，物體各點的熱流密度不隨時間變化. 沿著熱流密度的方向前進，會在物體內(nèi)得到一條曲線，本文稱之為熱流密度線. 由以上分析，準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)物體中的熱流密度線是固定不動的. 只要知道了物體中熱流密度線的分布，則可以推出熱流密度沿?zé)崃髅芏染€的變化. 現(xiàn)假設(shè)已經(jīng)知道了熱流密度沿?zé)崃髅芏染€的變化，則可由(2)式的變形式

(3)

沿?zé)崃髅芏染€上起點c到任一點x積分，就可得到x點的溫度

(4)

由此得到沿?zé)崃髅芏染€的溫度場分布. 式中s為沿?zé)崃髅芏染€的自然坐標(biāo). 同時，如果測得熱流密度線首尾兩端的溫度差,沿整條熱流密度線積分，就可以得到導(dǎo)熱系數(shù)的表達式為

(5)

式中c點、e點分別代表熱流密度線的首尾兩端，分母中的溫度差在準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)下為常量. 由此推得溫度場函數(shù)和導(dǎo)熱系數(shù)的表達式. 以下說明已知熱流密度線的空間分布，計算熱流密度q(x)的方法.

假設(shè)熱流密度線的路徑為已知. 則如圖1所示，取體系中任意一條熱流密度線cxe,首尾兩端c點和e點的熱流密度已知(通常此二點位于物體表面).c點熱流密度為qc，e點熱流密度為qe. 以cxe為邊，在其附近取一微小柱體，使熱流密度線不穿過柱體表面，柱體表面都由熱流密度線構(gòu)成，則此微小柱體就像一個管道，熱量在其中流動，管道內(nèi)外沒有熱量交換，本文中稱這樣的柱體為熱流管道.c點處，垂直于cxe的截面(即等溫面)，面積為A1；x點處的等溫截面面積為A2，熱流密度設(shè)為q(x)；e點處等溫截面面積為A3. 由于此管道極細，則各截面上的熱流密度即為cxe線上對應(yīng)點的熱流密度.A1與A2之間的體積為V1，其內(nèi)部熱源發(fā)熱效率為Q1.A2與A3之間的體積為V2，其內(nèi)部熱源發(fā)熱效率為Q2. 發(fā)熱效率以流入物體為正，熱流密度按圖示方向為正. 以下求q(x).

圖1 熱流管道微元

由比熱容的定義

ΔQ=cmΔt,

(6)

及能量守恒定律，在V1內(nèi)，流入的凈熱量決定升高的溫度

qcA1+Q1-q(x)A2=cρV1Δt,

(7)

式中ρ為材料的密度，Δt為單位時間內(nèi)V1升高的溫度. 同理在整個柱體內(nèi)有

qcA1+Q1+Q2-qeA3=cρ(V1+V2)Δt,

(8)

由于準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)下物體內(nèi)部各處溫升速度相同，所以上兩式中Δt相同. 從兩式中消去Δt可得到q(x)

(9)

3 示例：長的空心圓柱體

以滿足第二類邊界條件、準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)下的長空心圓柱體為例，來說明如何運用以上方法求溫度分布及導(dǎo)熱系數(shù). 文獻[6]中正是使用這樣的測量系統(tǒng).

圖2 無限長圓柱體截面圖

(10)

此為空心圓柱體內(nèi)半徑為x的圓面上的熱流密度. 將(10)式代入(4)式，沿徑向積分就得到柱體內(nèi)的溫度分布

(11)

此柱體達到準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)后，相同半徑x的圓面上，溫度都相同. 將x=R代入(11)式或?qū)?10)式代入(5)式可得

(12)

為長空心圓柱體內(nèi)的導(dǎo)熱系數(shù)表達式，式中Δt=t(R)-t(r)為內(nèi)外表面的溫度差，在準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)下為常量.

4 結(jié)束語

熱流密度和溫度場之間的關(guān)系由(2)式的傅里葉定律提出. 由此，可以由溫度場出發(fā)，進而分析熱流密度等其他物理量或物理效應(yīng). 也可以由熱流密度出發(fā)來分析. 本文選擇后一種方法. 在準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)下，物體內(nèi)溫升速度不隨時間變化，即熱流密度不隨時間變化，由時間不變量出發(fā)分析問題有其便捷性. 另外，由熱流密度可以直接和能量守恒定律相聯(lián)系，為分析解決問題帶了了便利. 本文分析準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)的方法簡單直觀、效率高. 其缺點是，需首先由對稱性或其他方法得到物體內(nèi)熱流密度曲線的路徑. 對于由對稱性分析可以知道物體中熱流密度線路徑的問題，可以快速得到其熱流密度函數(shù)、溫度場分布和導(dǎo)熱系數(shù)的表達式. 對于可以估計熱流密度線路徑的問題，則可以對物體內(nèi)的溫度分布、熱流密度做初步的評價. 另外，從這一方法出發(fā)，可以定性地分析準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)下體系熱流以及溫度場的一些性質(zhì). 對于熱物性測量儀器的設(shè)計及工程問題中的熱流和溫度場分析都有幫助.

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