回到數(shù)學(xué)原點(diǎn) 澄清知識本質(zhì)

胡曉敏(執(zhí)教)+任敏龍(點(diǎn)評)

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版教材五年級下冊 “２，５的倍數(shù)特征”，Ｐ１７－Ｐ１８

【教學(xué)目標(biāo)】

１．讓學(xué)生經(jīng)歷“舉例—猜想—檢驗(yàn)—說理”探索２的倍數(shù)特征的過程，總結(jié)方法用以探索５的倍數(shù)特征，為進(jìn)一步探索其他數(shù)的倍數(shù)特征做好學(xué)法準(zhǔn)備。

２．讓學(xué)生經(jīng)歷從“數(shù)的倍數(shù)特征與各個數(shù)位上數(shù)字有關(guān)”到“２、５的倍數(shù)特征只與數(shù)的個位數(shù)字有關(guān)”的探索過程，為今后探索其他數(shù)的倍數(shù)特征做好思路鋪墊。

３．讓學(xué)生體會論證的力量，感受數(shù)學(xué)知識之間的廣泛聯(lián)系，掌握２、５的倍數(shù)特征，能解決簡單的問題，進(jìn)而理解同時為２、５倍數(shù)的數(shù)的特征。

【教學(xué)過程】

一、談話引入

師：上一節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“因數(shù)和倍數(shù)”，這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)有關(guān)“２和５的倍數(shù)”的知識。先來研究２的倍數(shù)有什么特征。

二、展開探究

１．舉例歸納，形成猜想

師：請同學(xué)們寫出一些２的倍數(shù)。（學(xué)生邊說教師邊板書）觀察這些數(shù)，它們有什么共同的特征？

生１：個位上的數(shù)字都是０，２，４，６，８。

生２：個位上的數(shù)字都是２的倍數(shù)。

師：你們的意思是個位上是０，２，４，６，８的數(shù)都是２的倍數(shù)？（板書：猜想“個位上是０，２，４，６，８的數(shù)都是２的倍數(shù)”）

２．檢驗(yàn)猜想，豐富例證

師：剛才大家列舉的數(shù)都比較小，如果是四位數(shù)或更大的數(shù)，是不是也必須符合這樣的條件呢？下面，就請同學(xué)們寫出一些個位是０，２，４，６，８的四位數(shù)或者更大的數(shù)，然后用計算器算一算，它們到底還是不是２的倍數(shù)？

（學(xué)生舉例驗(yàn)證，匯報：都是２的倍數(shù)）

師：有沒有同學(xué)寫出的數(shù)個位是０，２，４，６，８的，但又不是２的倍數(shù)的？（學(xué)生面面相覷，表示沒有找到這樣的數(shù)）

師：看來，確實(shí)很有可能凡是個位數(shù)字是０，２，４，６，８的數(shù)就是２的倍數(shù)。那么，是不是２的倍數(shù)的個位數(shù)字必須是０，２，４，６，８呢？舉例試試看。（板書：猜想“２的倍數(shù)的個位數(shù)是０，２，４，６，８”）

（學(xué)生舉出個位數(shù)字不是０，２，４，６，８的數(shù)，即個位數(shù)字是１，３，５，７，９的數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)都不是２的倍數(shù)）

師生（小結(jié)）：經(jīng)檢驗(yàn)，個位數(shù)字是０，２，４，６，８的數(shù)是２的倍數(shù)；２的倍數(shù)的個位數(shù)是０，２，４，６，８。

【評析：２的倍數(shù)特征實(shí)際上是一個含有充要條件的命題，一方面“個位上的數(shù)字是０，２，４，６，８的數(shù)是２的倍數(shù)”，另一方面“２的倍數(shù)的個位數(shù)字是０，２，４，６，８”，前者需要舉的例子是個位上的數(shù)字是０，２，４，６，８的數(shù)，后者要舉的例子是個位上的數(shù)字不是０，２，４，６，８（即１，３，５，７，９）的數(shù)都不是２的倍數(shù)，這當(dāng)中的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性往往是容易被我們忽視的。因此，盡管學(xué)習(xí)的經(jīng)歷已經(jīng)讓學(xué)生累積了一些２的倍數(shù)特征的感性經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)還是選擇了讓學(xué)生完整經(jīng)歷舉例、猜想、驗(yàn)證的過程，在讓學(xué)生有更加充分的時間梳理已有知識經(jīng)驗(yàn)的同時，感受數(shù)學(xué)推理的完整性和嚴(yán)密性?！?/p>

３．聚焦數(shù)位，說理論證

師：要證明這兩個猜想是否正確，一種辦法是對所有的數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，這顯然是不可能的。有沒有其他的辦法能一勞永逸地證明２的倍數(shù)只與個位數(shù)字有關(guān)，與其他數(shù)位上的數(shù)字無關(guān)呢？（停頓片刻）按理來說能否成為一個數(shù)的倍數(shù)應(yīng)該與這個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)，而不僅僅是個位數(shù)字。這是怎么回事呢？（停頓片刻）我們能不能把一個具體的數(shù)拆成由各個數(shù)位上的數(shù)組成的數(shù)，比如，３２４＝３００＋２０＋４（板書），看看里面到底藏著怎樣的 “２的倍數(shù)的秘密”？請大家按下面要求，先獨(dú)立思考，再小組交流：（１）舉例：每個小組選擇５個或以上的數(shù)（含幾個不是２的倍數(shù)）；（２）分析：拆成“各個數(shù)位上數(shù)之和”的形式，２的倍數(shù)與和中的哪些數(shù)有關(guān)？（３）討論：為什么２的倍數(shù)特征，只要看這些數(shù)的個位數(shù)字？

學(xué)生小組匯報情況如下。

小組１：２３４＝２００＋３０＋４，５７＝５０＋７，５３６８＝５０００＋３００＋６０＋８，１３７＝１００＋３０＋７，９９９＝９００＋９０＋９，除了個位數(shù)外，其余數(shù)位上的數(shù)字所代表的數(shù)的個位都是０，已經(jīng)是２的倍數(shù)，所以只要看個位就可以了。

小組２：３３＝３×１０＋３，１５７＝１５×１０＋７，７６５４＝７６５×１０＋４，２５８＝２５×１０＋８，８５４６＝８５４×１０＋６，這些數(shù)可以表示成□×１０＋□的形式，□×１０肯定是２的倍數(shù)，所以只要看個位就可以判斷了。

小組３：所有的數(shù)都能拆成“……＋□×１０００＋□×１００＋□×１０＋□”的形式，除了個位外，其他的數(shù)位上數(shù)字所代表的數(shù)都已經(jīng)是２的倍數(shù)了，所以，判斷一個數(shù)是不是２的倍數(shù)，只要看這個數(shù)的個位數(shù)字是不是２的倍數(shù)。

……

師（小結(jié)）：通過剛才的交流、討論，我們知道了一個數(shù)是不是另一個數(shù)的倍數(shù)，實(shí)際上跟這個數(shù)的每一位上的數(shù)字有關(guān)，對于２來說，個位前面的那些數(shù)字所代表的數(shù)都已經(jīng)是２的倍數(shù)，所以判斷一個數(shù)是不是２的倍數(shù)只要看個位數(shù)字是不是２的倍數(shù)，如果個位數(shù)字是２的倍數(shù)，那么，這個數(shù)就是２的倍數(shù)。反過來說，如果一個數(shù)是２的倍數(shù)，則這個數(shù)的個位數(shù)字必須是２的倍數(shù)。

【評析：歸納推理（不指數(shù)學(xué)歸納法）屬合情推理，通常有助于形成猜想，卻往往不能保證結(jié)論正確。保證結(jié)論的正確需要演繹推理。通常認(rèn)為，“不完全歸納”是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)法則、規(guī)律的主要方式，教材關(guān)于２、５、３的倍數(shù)特征中的教學(xué)也作了這樣的安排。先學(xué)２、５的倍數(shù)特征給了學(xué)生研究數(shù)的倍數(shù)特征先看個位的印象，待學(xué)習(xí)３的特征時，學(xué)生很自然就去看個位，雖然很快發(fā)現(xiàn)這個方法行不通，但又不知進(jìn)一步的研究從何而入，教師也不知道接下來究竟該怎么辦，只好挖好“陷阱”讓學(xué)生往“與各個數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)”里跳，這基本上就是在“已知事實(shí)”暗示下進(jìn)行的“偽歸納”。最后，學(xué)生不知道２、５的倍數(shù)為什么看個位，３的倍數(shù)為什么要看各個數(shù)位，只能記住而已。這就需要回到數(shù)學(xué)的原點(diǎn)思考解決問題的方法。事實(shí)上，研究一個數(shù)的倍數(shù)特征，正常的思維是先全面考察這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字（基于位值原則的拆數(shù)是一個重要的視角），再從中找出規(guī)律（如果學(xué)生有興趣探究“４、８、２５”的特征，則更應(yīng)如此），這就為后續(xù)的探索研究作了知識和思路的鋪墊，進(jìn)而幫助學(xué)生澄清知識本質(zhì)。本課通過“為什么只要看這些數(shù)的個位數(shù)字”的問題引發(fā)留有恰當(dāng)停頓的連續(xù)提問，引導(dǎo)學(xué)生嘗試將數(shù)進(jìn)行逐位拆分，通過觀察、比較發(fā)現(xiàn)：所有的自然數(shù)都能表示成“……□×１００＋□×１０＋□”的形式，進(jìn)而證明結(jié)論的正確性?！?/p>

４．基本練習(xí)，體會優(yōu)越

教師多媒體出示：下面各數(shù)中，哪些是２的倍數(shù)？

３３９８３５５９８４０１２３３６７８

８０８９１０００６５５５６５６８８１

讓學(xué)生體會直接利用特征判斷的優(yōu)越性。

三、學(xué)法遷移

１．提出問題，小結(jié)學(xué)法

師：掌握倍數(shù)的特征能幫助我們快速地解決問題。接下來“５的倍數(shù)特征”該怎么研究呢？（停頓）我們是不是先來總結(jié)一下研究“２的倍數(shù)特征”的方法？

生：先舉例，再形成猜想，再舉例驗(yàn)證，最后拆數(shù)說明為什么與個位數(shù)字有關(guān)的道理。

師（板書：舉例—猜想—檢驗(yàn)—說理）：下面我們就嘗試用這種方法來研究“５的倍數(shù)特征”。

２．學(xué)法遷移，探索新知

學(xué)習(xí)要求：（１）舉例、猜想、驗(yàn)證，歸納出５的倍數(shù)特征；（２）說理：為什么有這樣的特征？（３）小組交流，并準(zhǔn)備匯報。

小組匯報情況如下。

生１：我們發(fā)現(xiàn)５的倍數(shù)特征就是個位數(shù)字是０或５的數(shù)。因?yàn)槌齻€位之外，其他數(shù)字所代表的數(shù)都已經(jīng)是１０的倍數(shù)，也就是５的倍數(shù)，所以，只要看個位就行了。

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生２：我們認(rèn)為個位是０或５的數(shù)，就一定是５的倍數(shù)。所有的數(shù)都能拆成“……＋□×１０００＋□×１００＋□×１０＋□”的形式，因?yàn)槭?、百位、千位上的?shù)字所代表的數(shù)都已經(jīng)是１０的倍數(shù)，即５的倍數(shù)，所以只要判斷個位就可以了。

……

【評析：從歸納到演繹，這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律。這一環(huán)節(jié)，在小結(jié)“２的倍數(shù)特征”研究方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)行遷移應(yīng)用——用這種方法來研究５的倍數(shù)特征，鞏固了學(xué)法，為后續(xù)探究其他數(shù)的倍數(shù)特征奠定了基礎(chǔ)?！?/p>

四、鞏固提高

１．及時鞏固，適當(dāng)拓展

呈現(xiàn)問題：將下面的數(shù)按要求填在相應(yīng)的圈內(nèi)。

２４、３５、６７、９０、９９、１５６０、６０、７５、１０６、１３０、５２１、２

■

師：這兩個交叉圓圈分別表示什么意思？

生１：左邊的區(qū)域是填２的倍數(shù)，右邊的區(qū)域是填５的倍數(shù)，中間交叉區(qū)域填的既是２的倍數(shù)，又是５的倍數(shù)。

師：觀察這些既是２的倍數(shù)，又是５的倍數(shù)的數(shù)，你們又有什么發(fā)現(xiàn)？

生２：個位是０的數(shù)既是２的倍數(shù)，又是５的倍數(shù)。

師：為什么？

生２：２的倍數(shù)個位數(shù)字是０，２，４，６，８；５的倍數(shù)的個位數(shù)字是０和５，那么，既是２的倍數(shù)，又是５的倍數(shù)的數(shù)個位數(shù)字只能是０。

（板書：畫兩個交叉圓，一個表示２的倍數(shù)特征，一個表示５的倍數(shù)特征，填入相應(yīng)的個位數(shù)字）

生３：一個數(shù)既是２的倍數(shù)，又是５的倍數(shù)，就一定是１０的倍數(shù)，１０的倍數(shù)個位上必須是０。

師：很好，像這些個位是０，２，４，６，８的數(shù)，也就是２的倍數(shù)的數(shù)又叫做偶數(shù)；個位是１，３，５，７，９的數(shù)，也就是說不是２的倍數(shù)的數(shù)又叫做奇數(shù)。（板書：偶數(shù)、奇數(shù)）

２．綜合應(yīng)用，培養(yǎng)能力

問題：把□□□４、３□５、３１□也填入上圖的區(qū)域中。

生４：□□□４，無論□填什么數(shù)都是２的倍數(shù)，因?yàn)橹灰獋€位是０、２、４、６、８的數(shù)，一定都是２的倍數(shù)。

師：那么３□５又應(yīng)該放到哪個區(qū)域呢？為什么？

生４：３□５因?yàn)閭€位是５，所以一定是５的倍數(shù)。

師：３１□呢？

生５：如果３１□的□里寫０、２、４、６、８，那就是２的倍數(shù)，如果□里寫０或５就是５的倍數(shù)。

生６：我來補(bǔ)充，如果３１□的□寫０，那就是３１０，這個數(shù)既是２的倍數(shù)，也是５的倍數(shù)，填在中間這個區(qū)域。

【評析：練習(xí)的第１題起到了及時強(qiáng)化２和５倍數(shù)特征的作用，并適時引入了“偶數(shù)和奇數(shù)”的概念，同時還巧妙地利用維恩圖的表示功能，形象直觀地揭示了同時是２和５的倍數(shù)的特征，學(xué)生再次經(jīng)歷現(xiàn)象歸納、演繹說理的過程。第２題則是第１題的深化，借助三個“不確定”的數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生在干擾的情境中正確使用概念和解決問題的能力，增添學(xué)習(xí)樂趣。】

五、小結(jié)質(zhì)疑（略）

（責(zé)編金鈴）

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生２：我們認(rèn)為個位是０或５的數(shù)，就一定是５的倍數(shù)。所有的數(shù)都能拆成“……＋□×１０００＋□×１００＋□×１０＋□”的形式，因?yàn)槭?、百位、千位上的?shù)字所代表的數(shù)都已經(jīng)是１０的倍數(shù)，即５的倍數(shù)，所以只要判斷個位就可以了。

……

【評析：從歸納到演繹，這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律。這一環(huán)節(jié)，在小結(jié)“２的倍數(shù)特征”研究方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)行遷移應(yīng)用——用這種方法來研究５的倍數(shù)特征，鞏固了學(xué)法，為后續(xù)探究其他數(shù)的倍數(shù)特征奠定了基礎(chǔ)?！?/p>

四、鞏固提高

１．及時鞏固，適當(dāng)拓展

呈現(xiàn)問題：將下面的數(shù)按要求填在相應(yīng)的圈內(nèi)。

２４、３５、６７、９０、９９、１５６０、６０、７５、１０６、１３０、５２１、２

■

師：這兩個交叉圓圈分別表示什么意思？

生１：左邊的區(qū)域是填２的倍數(shù)，右邊的區(qū)域是填５的倍數(shù)，中間交叉區(qū)域填的既是２的倍數(shù)，又是５的倍數(shù)。

師：觀察這些既是２的倍數(shù)，又是５的倍數(shù)的數(shù)，你們又有什么發(fā)現(xiàn)？

生２：個位是０的數(shù)既是２的倍數(shù)，又是５的倍數(shù)。

師：為什么？

生２：２的倍數(shù)個位數(shù)字是０，２，４，６，８；５的倍數(shù)的個位數(shù)字是０和５，那么，既是２的倍數(shù)，又是５的倍數(shù)的數(shù)個位數(shù)字只能是０。

（板書：畫兩個交叉圓，一個表示２的倍數(shù)特征，一個表示５的倍數(shù)特征，填入相應(yīng)的個位數(shù)字）

生３：一個數(shù)既是２的倍數(shù)，又是５的倍數(shù)，就一定是１０的倍數(shù)，１０的倍數(shù)個位上必須是０。

師：很好，像這些個位是０，２，４，６，８的數(shù)，也就是２的倍數(shù)的數(shù)又叫做偶數(shù)；個位是１，３，５，７，９的數(shù)，也就是說不是２的倍數(shù)的數(shù)又叫做奇數(shù)。（板書：偶數(shù)、奇數(shù)）

２．綜合應(yīng)用，培養(yǎng)能力

問題：把□□□４、３□５、３１□也填入上圖的區(qū)域中。

生４：□□□４，無論□填什么數(shù)都是２的倍數(shù)，因?yàn)橹灰獋€位是０、２、４、６、８的數(shù)，一定都是２的倍數(shù)。

師：那么３□５又應(yīng)該放到哪個區(qū)域呢？為什么？

生４：３□５因?yàn)閭€位是５，所以一定是５的倍數(shù)。

師：３１□呢？

生５：如果３１□的□里寫０、２、４、６、８，那就是２的倍數(shù)，如果□里寫０或５就是５的倍數(shù)。

生６：我來補(bǔ)充，如果３１□的□寫０，那就是３１０，這個數(shù)既是２的倍數(shù)，也是５的倍數(shù)，填在中間這個區(qū)域。

【評析：練習(xí)的第１題起到了及時強(qiáng)化２和５倍數(shù)特征的作用，并適時引入了“偶數(shù)和奇數(shù)”的概念，同時還巧妙地利用維恩圖的表示功能，形象直觀地揭示了同時是２和５的倍數(shù)的特征，學(xué)生再次經(jīng)歷現(xiàn)象歸納、演繹說理的過程。第２題則是第１題的深化，借助三個“不確定”的數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生在干擾的情境中正確使用概念和解決問題的能力，增添學(xué)習(xí)樂趣。】

五、小結(jié)質(zhì)疑（略）

（責(zé)編金鈴）

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生２：我們認(rèn)為個位是０或５的數(shù)，就一定是５的倍數(shù)。所有的數(shù)都能拆成“……＋□×１０００＋□×１００＋□×１０＋□”的形式，因?yàn)槭?、百位、千位上的?shù)字所代表的數(shù)都已經(jīng)是１０的倍數(shù)，即５的倍數(shù)，所以只要判斷個位就可以了。

……

【評析：從歸納到演繹，這是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律。這一環(huán)節(jié)，在小結(jié)“２的倍數(shù)特征”研究方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)行遷移應(yīng)用——用這種方法來研究５的倍數(shù)特征，鞏固了學(xué)法，為后續(xù)探究其他數(shù)的倍數(shù)特征奠定了基礎(chǔ)。】

四、鞏固提高

１．及時鞏固，適當(dāng)拓展

呈現(xiàn)問題：將下面的數(shù)按要求填在相應(yīng)的圈內(nèi)。

２４、３５、６７、９０、９９、１５６０、６０、７５、１０６、１３０、５２１、２

■

師：這兩個交叉圓圈分別表示什么意思？

生１：左邊的區(qū)域是填２的倍數(shù)，右邊的區(qū)域是填５的倍數(shù)，中間交叉區(qū)域填的既是２的倍數(shù)，又是５的倍數(shù)。

師：觀察這些既是２的倍數(shù)，又是５的倍數(shù)的數(shù)，你們又有什么發(fā)現(xiàn)？

生２：個位是０的數(shù)既是２的倍數(shù)，又是５的倍數(shù)。

師：為什么？

生２：２的倍數(shù)個位數(shù)字是０，２，４，６，８；５的倍數(shù)的個位數(shù)字是０和５，那么，既是２的倍數(shù)，又是５的倍數(shù)的數(shù)個位數(shù)字只能是０。

（板書：畫兩個交叉圓，一個表示２的倍數(shù)特征，一個表示５的倍數(shù)特征，填入相應(yīng)的個位數(shù)字）

生３：一個數(shù)既是２的倍數(shù)，又是５的倍數(shù)，就一定是１０的倍數(shù)，１０的倍數(shù)個位上必須是０。

師：很好，像這些個位是０，２，４，６，８的數(shù)，也就是２的倍數(shù)的數(shù)又叫做偶數(shù)；個位是１，３，５，７，９的數(shù)，也就是說不是２的倍數(shù)的數(shù)又叫做奇數(shù)。（板書：偶數(shù)、奇數(shù)）

２．綜合應(yīng)用，培養(yǎng)能力

問題：把□□□４、３□５、３１□也填入上圖的區(qū)域中。

生４：□□□４，無論□填什么數(shù)都是２的倍數(shù)，因?yàn)橹灰獋€位是０、２、４、６、８的數(shù)，一定都是２的倍數(shù)。

師：那么３□５又應(yīng)該放到哪個區(qū)域呢？為什么？

生４：３□５因?yàn)閭€位是５，所以一定是５的倍數(shù)。

師：３１□呢？

生５：如果３１□的□里寫０、２、４、６、８，那就是２的倍數(shù)，如果□里寫０或５就是５的倍數(shù)。

生６：我來補(bǔ)充，如果３１□的□寫０，那就是３１０，這個數(shù)既是２的倍數(shù)，也是５的倍數(shù)，填在中間這個區(qū)域。

【評析：練習(xí)的第１題起到了及時強(qiáng)化２和５倍數(shù)特征的作用，并適時引入了“偶數(shù)和奇數(shù)”的概念，同時還巧妙地利用維恩圖的表示功能，形象直觀地揭示了同時是２和５的倍數(shù)的特征，學(xué)生再次經(jīng)歷現(xiàn)象歸納、演繹說理的過程。第２題則是第１題的深化，借助三個“不確定”的數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生在干擾的情境中正確使用概念和解決問題的能力，增添學(xué)習(xí)樂趣?！?/p>

五、小結(jié)質(zhì)疑（略）

（責(zé)編金鈴）

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