保持多項(xiàng)式子空間的三階非線性平方算子的分類

屈 改 珠

(渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，714000，陜西 渭南)

保持多項(xiàng)式子空間的三階非線性平方算子的分類

屈 改 珠

(渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，714000，陜西 渭南)

利用不變子空間方法研究三階非線性平方算子，得到了三階非線性平方算子在它所容許的多項(xiàng)式不變子空間中的分類，從而求出相應(yīng)方程的精確解。文中的結(jié)果推廣了不變子空間理論在非線性偏微分方程中的應(yīng)用。

不變子空間；三階非線性平方算子；廣義分離變量解

0 引言

不變子空間方法最初由Galaktionov提出，它是與廣義條件對(duì)稱[1-4]密切相關(guān)的構(gòu)造非線性偏微分方程精確解的非常有效的方法。在文獻(xiàn)[5]中，Galaktionov利用不變子空間方法研究帶有二次非線性項(xiàng)的演化方程的廣義分離變量解。事實(shí)證明，很多來(lái)自于數(shù)學(xué)、工程學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域的非線性演化方程(組)的精確解都可以由不變子空間方法得到[6-9]。

下面介紹不變子空間方法?？紤]一階演化方程

ut=F[u]

(1)

同時(shí)Ci(t)滿足下面的有限維動(dòng)力系統(tǒng)：

注意到Wn=L{f1(x),…,fn(x)}是由n階線性常微分方程的解空間生成

L[y]≡y(n)+an-1(x)y(n-1)+…+a1(x)y′+a0(x)y=0

(2)

從式(2)可以得到Wn關(guān)于F的不變條件為

L[F[u]]|[H]≡0

(3)

這里用[H]表示方程L[u]=0以及它關(guān)于x求各階導(dǎo)數(shù)后的等式。

1 主要結(jié)果

本文主要利用不變子空間方法研究允許多項(xiàng)式不變子空間的三階非線性平方算子

F[u]=b1(uxxx)2+b2uxxuxxx+b3uxuxxx+b4uuxxx+b5(uxx)2+b6uxuxx+b7uuxx+b8(ux)2+b9uux+b10u2

(4)

根據(jù)最大維定理，討論微分算子(4)容許多項(xiàng)式不變子空間Wn，n=2,…,7，即

Wn=L{1,x,…,xn-1},n≥2

(5)

命題1：多項(xiàng)式不變子空間(5)在三階非線性平方算子(4)下不變，僅存在以下情況：

1)當(dāng)n=2時(shí)，有b10=0，即

F[u]=b1(uxxx)2+b2uxxuxxx+b3uxuxxx+b4uuxxx+b5(uxx)2+b6uxuxx+b7uuxx+b8(ux)2+b9uux；

2)當(dāng)n=3時(shí)，有b9=b10=0，即

F[u]=b1(uxxx)2+b2uxxuxxx+b3uxuxxx+b4uuxxx+b5(uxx)2+b6uxuxx+b7uuxx+b8(ux)2；

證明過(guò)程類似于文獻(xiàn)[7]。下面給出2個(gè)求相應(yīng)偏微分方程精確解的例子。

u(x,t)=c1(t)+c2(t)x+c3(t)x2+c4(t)x3+c5(t)x4+c6(t)x5+c7(t)x6，

其中ci(t)滿足下面的常微分方程組

求解上述方程組，可得原方程具有以下形式的解

u=(b-6x)(b5-30b4x-72b3x2-4 752b2x3-7 072bx4-7 776x5)/46 656(T-14 400t)，

這里b是任意正實(shí)數(shù)，T>0是爆破時(shí)間，該解在T=14 400t時(shí)刻爆破。

u(x,t)=c1(t)+c2(t)x+c3(t)x2+c4(t)x3，

同時(shí)ci(t)滿足有限維動(dòng)力系統(tǒng)

求解上述方程組，可得原方程具有以下形式的解

該解當(dāng)t→0時(shí)發(fā)生爆破。

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ClassificationofThird-orderNonlinearQuadraticOperatorsPreservingPolynomialSubspaces

QU Gaizhu

(School of Mathematics and Information Science,Weinan Normal University,714000,Weinan,Shannxi,PRC)

Using the invariant subspace method,the third-order nonlinear quadratic operators is discussed,the full classifications of polynomial invariant subspace admitted by the third-order quadratic operators are derived,moreover,some explicit solutions to the resulting evolution equations with third-order nonlinear quadratic operators are constructed.The obtaining results further extend the applications of invariant subspace theory in the PDEs.

invariant subspace;third-order nonlinear quadratic operators;generalized separation of variables solution

2014-08-28;

2014-10-08

屈改珠(1978-)，女，陜西蒲城人，講師，博士研究生，從事偏微分方程研究。

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11371293)；陜西省教育廳基金項(xiàng)目(14JK1246)；陜西省軍民融合研究基金項(xiàng)目(13JMR13)；陜西省重點(diǎn)學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)科基金項(xiàng)目(14SXZD015)；渭南市基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目(2013JCYJ-4)。

10.13990/j.issn1001-3679.2014.05.001

O175.29

A

1001-3679(2014)05-0571-03