基于二重切比雪夫多項式的多自由度系統(tǒng)SMA非線性恢復力識別

許 斌，辛璐璐，賀 佳

(1.湖南大學 土木工程學院,長沙 410082; 2. 湖南大學 建筑安全與節(jié)能教育部重點實驗室,長沙 410082；3.香港理工大學 土木與環(huán)境工程系，香港九龍)

工程結構在地震等強動力荷載作用下?lián)p傷識別及性能評估是災后救援、恢復重建中關鍵。結構損傷識別方法大多基于結構振動測量及特征值或特征向量抽取，通過對結構剛度識別描述結構損傷[1-3]?，F(xiàn)有研究表明，基于振動測量的結構參數(shù)、損傷識別方法存在對結構小損傷不敏感、特征值受環(huán)境因素影響等諸多問題。傳統(tǒng)基于模態(tài)分析的識別理論基本假設結構處于線彈性階段，此對損傷緩慢變化的結構可以使用，但對在地震等強動力荷載下結構損傷識別因構件進入非線性狀態(tài)該方法不再適用。

非線性動力系統(tǒng)識別中非線性恢復力作為系統(tǒng)非線性特性及強弱程度指標頗受關注。較通過識別剛度描述結構在動力荷載作用下?lián)p傷，結構構件的非線性恢復力不僅可直觀刻畫其在振動中進入非線性過程，且可通過非線性恢復力定量描述構件耗能，為損傷評估提供新的手段。但實際土木工程結構在地震作用下，不同構件恢復力模型較難事先用理想的參數(shù)化模型準確描述。因此，研究動力荷載作用下能有效識別結構非線性恢復力行為方法具有重要意義。

對非線性動力系統(tǒng)識別，由于結構非線性行為個體差異大，研究遠未達到像線性系統(tǒng)的完善程度。Masri等[4]提出的恢復力曲面法(Restoring Force Surface Method)廣受關注[5-7]。Mohammad等[8]提出的完全基于激勵、響應的直接參數(shù)識別法，已實現(xiàn)非線性系統(tǒng)質量、剛度、阻尼等參數(shù)的有效識別。許斌等[9-11]基于等價線性思想對多自由系統(tǒng)非線性恢復力進行識別，并基于冪級數(shù)多項式模型表征系統(tǒng)恢復力，實現(xiàn)非參數(shù)化結構非線性行為識別。該方法無需獲知非線性恢復力參數(shù)化模型，通過在多自由度系統(tǒng)中引入具有非線性恢復力特性的形狀記憶合金阻尼器(MR)進行識別，通過數(shù)值模擬及實驗數(shù)據(jù)對識別結構中MR非線性恢復力的可行性進行驗證。He等[12]研究部分輸入未知時基于冪多項式的結構非線性恢復力及外荷載識別方法。樊建修[13]通過算例探討Taylor多項式、有理分式、切比雪夫多項式等常用最佳逼近表達式，算例結果表明，與其它逼近式相比，切比雪夫多項式具有精度高、誤差分布均勻等優(yōu)點。

與上述研究不同，本文提出基于二重切比雪夫多項式模型的多自由度結構非線性恢復力識別方法，在結構質量信息及非線性參數(shù)化模型完全未知情況下實現(xiàn)多自由度系統(tǒng)非線性恢復力識別。介紹結構各自由度及部分自由度受外激勵兩種情況下識別方法的具體實現(xiàn)步驟；通過在線性結構數(shù)值模型中引入具有理想雙旗形非線性恢復力模型的形狀記憶合金(Shape Memory Alloy, SMA)阻尼器模擬非線性恢復力，對該非線性多自由度系統(tǒng)恢復力進行識別，探討不同激勵方式下該方法的可行性、抗噪性，并將識別結果與基于冪級數(shù)多項式方法進行對比，結果表明，本文方法識別精度更高；對安裝SMA阻尼器的多層框架結構模型進行動力實驗，用實測激勵及動力響應時間序列識別SMA阻尼器恢復力，并與試驗值對比。結果表明，基于二重切比雪夫多項式模型的非線性恢復力識別方法能有效識別出動力荷載作用下多自由度系統(tǒng)非線性恢復力及結構質量分布。該方法可用于結構在強動力荷載作用下?lián)p傷發(fā)生、發(fā)展過程的監(jiān)測及耗能定量評估。

1 基于二重切比雪夫多項式的多自由度體系非線性恢復力時域識別方法

1.1 完整激勵下非線性恢復力識別方法

多自由度非線性系統(tǒng)在外激勵P(t)作用下的動力平衡方程可表示為

(1)

用二重切比雪夫多項式模型描述的非線性恢復力表達式為

(2)

(3)

(4)

(5)

對n個自由度的非線性體系，基于二重切比雪夫多項式模型將式(1)離散為n個方程的線性方程組為

(6)

切比雪夫多項式第一項T0(*)=1，二重切比雪夫多項式模型(式(2))每兩個相鄰自由度間恢復力切比雪夫表達式中總有數(shù)字1項，式(6)中第i個自由度的平衡方程中會出現(xiàn)兩個數(shù)字1項，因此，不能直接利用最小二乘算法對多項式模型中系數(shù)進行識別。由于第n個自由度的方程中只有1個層間恢復力模型，即只有數(shù)字1項，故利用最小二乘優(yōu)化算法識別該體系第n個自由度各系數(shù)，再用相鄰兩自由度間恢復力大小相等方向相反關系對其它自由度的非線性恢復力進行識別：

(7)

(8)

基于式(8)等號右端恢復力識別結果及第n-1自由度的激勵及響應時程，利用最小二乘算法可識別該自由度的恢復力及對應質量。依此類推，式(6)中各系數(shù)均能得到識別，進而可得基于二重切比雪夫多項式模型的體系非線性恢復力。

1.2 非完整激勵下非線性恢復力識別方法

實際工程損傷識別中，尤其大型復雜工程結構，較難對結構全部自由度進行激勵。因此須研究非完整激勵的損傷識別方法。在非完整激勵條件下，設第n個自由度未作用外激勵，則

(9)

以兩自由度體系為例，設外激勵僅作用第1個自由度上，平衡方程為

(10)

據(jù)式(7)、(9)可知

(11)

第1個自由度平衡方程可表示為

(12)

基于結構外激勵及響應信息可識別式(12)中結構質量及二重切比雪夫多項式各系數(shù)。識別體系非線性恢復力模型各系數(shù)表達式為。

(13)

至此，兩自由度結構基于二重切比雪夫多項式模型的非線性恢復力及結構質量分布均已得以識別。由于系統(tǒng)總非線性恢復力在實際工程中難以測量，故本文通過引入具有非線性恢復力特性的SMA模擬非線性恢復力。實驗中由SMA提供的非線性恢復力由力傳感器測量獲得。為進行識別結果比較，在識別的非線性體系總非線性恢復力中扣除體系本身線彈性恢復力及粘性阻尼力獲得SMA提供的非線性恢復力。通過與試驗結果比較，驗證識別結果的可靠性。此時非線性構件恢復力為

fnon=Rnon[v,s,gnon]-Rlin[v,s,glin]

(14)

式中：fnon為非線性構件提供的恢復力；Rnon[v,s,gnon]，Rlin[v,s,glin]為系統(tǒng)中總非線性恢復力、總線性恢復力；v，s為相對速度、相對位移；gnon，glin為總非線性恢復力、總線性恢復的模型系數(shù)。

2 SMA非線性恢復力識別的數(shù)值模擬驗證

圖1 計算模型

具有2個集中質量的兩自由度體系見圖1，每個質點有1個水平自由度，結構第一層安裝SMA阻尼器模擬結構非線性特性，各層質量mi=15 kg，線性結構阻尼系數(shù)ci=100 N·s/m，層間剛度ki=1.2×105N/m，(i=1, 2)。

SMA具有獨特的形狀記憶效應、超彈性性能、高阻尼及耐久性耐腐蝕性能好、允許大變形且變形可恢復等優(yōu)點在建筑結構振動控制領域得到廣泛應用[14-15]。SMA具有典型的非線性特性，其本構關系已有不少計算模型[16-17]。本文所用SMA阻尼器雙旗形模型見圖2。表達式[18]為

(15)

式中：sgn(*)為符號函數(shù)；k1=1.0×105N/m為oab，cd段斜率(阻尼器剛度系數(shù))；k2=3.0×104N/m為bd，ac段斜率；Sb=0.006 m；Sa=0.5Sb；Sd由動力計算中層間位移最大值決定。

為更好模擬結構非線性恢復力，本文在二重切比雪夫多項式模型(式(2))中取k=q=3。

圖2 SMA阻尼器雙旗形模型

2.1 完整激勵下非線性恢復力識別法數(shù)值驗證

2.1.1 無噪聲影響

不考慮噪聲影響，設兩組隨機激勵分別作用于結構兩自由度上，荷載作用時間及步長分別取2 s，0.002 s，利用Newmark-?法計算結構響應。結構激勵及各層動力響應時程見圖3。

圖3 隨機激勵及結構響應

據(jù)各層速度、位移響應計算層間相對速度及位移，再據(jù)式(4)、(5)進行數(shù)據(jù)歸一化處理，利用最小二乘優(yōu)化算法可識別出結構第二自由度對應的質量、模型各系數(shù)，結果為

(16)

(17)

(18)

SMA阻尼器提供的恢復力可在識別的體系總非線性恢復力中減去線性結構自身彈性恢復力及結構阻尼作用后獲得。各自由度SMA阻尼器提供的非線性恢復力見圖4。由圖4看出，SMA阻尼器恢復力僅體現(xiàn)在第一層，而第二層SMA阻尼器恢復力趨于零，說明該層無SMA阻尼器，與算例吻合；而SMA阻尼器恢復力值(即理論模型值)與真實值吻合亦較好。表明本文所提基于二重切比雪夫多項式的非線性恢復力識別方法能準確識別結構非線性恢復力。

為與基于冪級數(shù)多項式識別法比較，相同激勵下基于冪級數(shù)多項式模型的SMA阻尼器非線性恢復力識別結果見圖5。比較圖4、圖5看出，本文方法對SMA阻尼器理想雙旗形恢復力模型識別精度高，尤其在雙旗型模型位移最大點處。兩種識別方法識別值與真實值誤差定量比較見圖6。由圖6看出，基于二重切比雪夫多項式模型的非線性恢復力識別結果誤差更小。

圖4 無噪聲影響各層SMA阻尼器恢復力識別結果

2.1.2 6%噪聲影響

工程實測中數(shù)據(jù)易受噪聲影響。為驗證該方法對噪聲的敏感程度，在算例響應信號中加入隨機噪聲信號，噪聲水平取6%。識別的結構質量分布為m1=14.90 kg，m2=15.00 kg，與算例值吻合較好。同時獲得結構各層基于二重切比雪夫多項式模型的SMA阻尼器恢復力識別結果，體系第二層SMA阻尼器提供的恢復力趨于零，說明該層未安裝SMA阻尼器，與實際情況完全符合。有噪聲影響下結構第一層SMA阻尼器恢復力識別值與真實值比較見圖7。由圖7看出，即使受6%噪聲影響，該方法仍能有效識別出結構非線性特性。

2.2 非完整激勵下非線性恢復力識別法數(shù)值驗證

2.2.1 無噪聲影響

設僅在圖1數(shù)值模型的第1自由度上作用一組隨機激勵，即第2自由度上作用力為零，據(jù)Newmark-?法計算出結構響應。并據(jù)式(4)、(5)對動力響應歸一化處理，由式(11)、(12)識別出第1自由度對應的平衡方程的各系數(shù)為

(19)

由式(19)看出，結構質量識別值為m1=15.00 kg、m2=15.09 kg，與數(shù)值模型值吻合良好。據(jù)式(2)可得結構第一層基于二重切比雪夫多項式模型的恢復力表達式。據(jù)式(13)可進一步識別結構第二層總非線性恢復力表達式。

圖7 6%噪聲影響下底層SMA阻尼器恢復力識別結果

SMA阻尼器提供恢復力的識別結果見圖8。由圖8看出，結構第二層SMA阻尼器恢復力幾乎為零，說明該層無SMA阻尼器，結構第一層SMA阻尼器恢復力識別值與真實值吻合良好。

2.2.2 6%噪聲影響

設在結構響應計算值中加入6%隨機噪聲，識別出體系的質量分布(m1=14.98 kg，m2=15.10 kg)及各自由度間非線性恢復力。SMA阻尼器提供的恢復力識別結果中結構第二層識別值仍趨于零，而第一層呈明顯雙旗形特性且與計算值吻合較好，見圖9。由圖9看出，即使在激勵非完整且存在環(huán)境噪聲情況下，該方法仍能較好識別出體系的非線性特性位置并對非線性恢復力進行定量識別。

為更直觀描述本文方法對系統(tǒng)非線性行為的識別效果，不同激勵條件、噪聲水平下SMA阻尼器恢復力識別值與真實值相對誤差見表1。由表1看出，識別SMA阻尼器恢復力相對誤差均在1%以內，表明該方法的可行性及對測量噪聲的魯棒性。

表1 數(shù)值模擬驗證SMA阻尼器恢復力識別誤差

3 多自由度結構非線性恢復力識別實驗驗證

3.1 實驗模型及裝置

圖10 實驗結構模型及裝置

用非線性結構模型實驗驗證本文方法的有效性。設計制作四層鋼框架模型見圖10，SMA阻尼器安裝于結構第四層模擬結構非線性特性，見圖11。結構模型平面尺寸300 mm×400 mm，層高0.3 m，模型總高1.2 m，結構總質量51.41 kg。結構立柱截面尺寸30 mm×5 mm，樓面板厚10 mm，所有節(jié)點均采用螺栓連接。因結構樓板平面內剛度相對較大且模型質量集中在樓板上，可將模型簡化為4自由度集中質量。SMA阻尼器絲用直徑8 mm的Ti-Ni合金絲,用4個夾具安裝于線性模型第四層，其恢復力可由與上層樓板連接的鋼板及與下層樓板固定的阻尼器中間支座間力傳感器直接測得。在每層樓板均布置加速度傳感器，用力錘施加沖擊荷載，采樣頻率1024 Hz，用動態(tài)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)記錄結構加速度響應，并對加速度信號用截止頻率0.5 Hz的高通濾波處理，結構速度、位移響應由加速度時程積分獲得。

圖11 SMA阻尼器

3.2 完整激勵下非線性恢復力識別法驗證

由于試驗中所測非線性恢復力僅SMA阻尼器恢復力，進行結果比較時需將線性結構恢復力由總非線性恢復力中扣除，為此先對未安裝SMA阻尼器時的線性結構進行動力實驗，得線性恢復力為

(20)

式中：si，vi(i=1,2,3,4)為層間相對位移及相對速度。

安裝SMA阻尼器后用力錘依次激勵非線性結構每一層，其沖擊荷載及加速度響應實測值見圖12、圖13，此處速度、位移響應由加速度響應積分獲得。

圖12 非線性結構外激勵

基于歸一化的結構層間相對速度及位移信息，據(jù)式(6)、(7)識別獲得安裝阻尼器后結構質量分布為m1=12.29 kg，m2=12.32 kg，m3=16.35 kg，m4=14.68 kg?？梢?，由于安裝SMA阻尼器，結構第三、四層質量增加，與實際相符。而識別的各層間非線性恢復力因篇幅所限其表達式不再列出。據(jù)式(14)可得各層SMA阻尼器提供的恢復力，結果見圖14、圖15。由圖14看出，結構第三層非線性恢復力識別值較小，表明結構第三層無SMA阻尼器，與實際情況相符。第一、二層結果類似。圖15為結構第四層SMA阻尼器恢復力識別值與實測值對比，二者在整個時程差值見圖16。由圖16看出，識別值與實驗值吻合較好。為進一步驗證SMA阻尼器恢復力識別效果，計算SMA阻尼器耗能值，識別值與實測值分別為56.21 N·mm，61.10 N·mm。因此，在完整激勵作用下，基于二重切比雪夫多項式模型的多自由度時域識別方法能對結構中非線性特性進行定位、定量評估。

圖13 加速度響應實測值

圖14 第三層SMA阻尼器恢復力識別值

3.3 非完整激勵下非線性恢復力識別法實驗驗證

圖17 加速度響應實測值

圖18 第三層SMA阻尼器恢復力識別值

圖19 第四層SMA阻尼器恢復力識別結果比較

實驗中僅激勵結構第三層，采集的結構加速度響應信號見圖17。速度、位移響應由實測加速度信號積分獲得。識別過程與數(shù)值模擬驗證。識別出結構第四層至第一層集中質量分別為m4=16.08 kg，m3=17.58 kg，m2=12.63 kg，m1=12.26 kg，結構總質量識別值為58.55 kg，反應出在線性結構中安裝阻尼器后質量變化。結構各層非線性恢復力表達式因篇幅限制不再列出。非線性結構各層SMA阻尼器提供的恢復力可由各層間非線性恢復力減去線性恢復力獲得。結構第三、四層阻尼器非線性恢復力識別結果見圖18、圖19。 比較圖18、圖19看出，結構第三層非線性恢復力結果較小，表明該層無SMA阻尼器，而第四層非線性恢復力較大，表明該層裝有SMA阻尼器，與實驗相符；通過與SMA阻尼器實測結果對比知，第四層阻尼器提供的非線性恢復力識別結果與實測值仍能較好吻合。據(jù)識別的阻尼器非線性恢復力確定阻尼器耗能，第四層SMA阻尼器耗能識別值與實測值分別為39.70 N·mm，44.10 N·mm，兩者相對誤差在10%以內。該時域識別方法在結構質量未知條件下對結構質量分布及非線性特性識別結果與實測值吻合較好，識別的阻尼器非線性恢復力可用于結構耗能的定量評估。

4 結 論

(1) 本文提出的基于二重切比雪夫多項式模型的多自由度結構中SMA非線性恢復力識別法完全基于結構動力平衡方程，利用優(yōu)化算法對多自由度結構質量分布及非線性恢復力進行有效識別。探討在激勵完整、非完整兩種情況下該識別方法的具體實現(xiàn)過程。

(2) 通過在兩自由度數(shù)值模型中引入具有雙旗形非線性恢復力模型SMA，考慮測量噪聲影響，分別在外激勵完整、非完整兩種工況對該識別方法有效性及抗噪性進行數(shù)值驗證。通過與基于冪多項式模型識別方法結果比較表明，本文方法識別精度優(yōu)勢明顯。

(3) 將SMA阻尼器安裝在四層鋼框架結構模型中模擬結構非線性行為，通過激勵完整、非完整兩種荷載下動力實驗實測數(shù)據(jù)驗證基于二重切比雪夫多項式模型識別算法的可行性。實驗結果表明，該方法能在結構質量未知條件下對實際結構質量分布及結構非線性恢復力進行有效識別。

(4) 本文所提方法能在結構質量及非線性模型完全未知前提下有效識別非線性特性及體系非線性恢復力，為結構在動力荷載作用下?lián)p傷行為發(fā)生發(fā)展過程監(jiān)測尤其災后安全評估提供新方法。非線性恢復力識別結果可對結構在動力荷載作用下的耗能進行定量評估。

[1] Patil D P, Maiti S K. Detection of multiple cracks using frequency measurements[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2003, 70(12):1553-1572.

[2] Li S Z,Wu Z S. A non-baseline algorithm for damage location in flexural structures using dynamic distributed macro-strain responses[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics,2007,36(9):1109-1125.

[3] Teughels A,Roeck G D.Damage detection and parameter identification by finite element model updating[J].Archives of Computational Methods in Engineering,2005,12(2): 123-164.

[4] Masri S F,Caughey T K. A nonparametric identification technique for nonlinear dynamic problems[J].Journal of Applied Mechanics, 1979,46(2):433-447.

[5] Yar M, Hammond J K. Parameter estimation for hysteretic systems[J]. Journal of Sound and Vibration,1987,117(1):161-172.

[6] Worden K. Data processing and experiment design for the restoring force surface method, part I: integration and differentiation of measured time data[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 1990, 4(4): 295-319.

[7] Worden K. Data processing and experiment design for the restoring force surface method, part II: choice of excitation signal[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 1990, 4(4): 321-344.

[8] Mohammad K S, Worden K, Tomlinson G R. Direct parameter estimation for linear and non-linear structures[J]. Journal of Sound and Vibration, 1992, 152(3):471-499.

[9] 許斌,賀佳. 基于實測時間序列的非線性系統(tǒng)恢復力識別[J].中國工程科學,2011,13(9):76-82.

XU Bin, HE Jia. Nonlinear restoring force identification based on measured time series[J]. Engineering Sciences, 2011,13(9):76-82.

[10] 許斌,賀佳, Sami F.Masri. 動力系統(tǒng)非線性行為識別方法與驗證[J].土木工程學報,2011,44(S1):24-30.

XU Bin, HU Jia, Masri S F. Nonlinear behavior identification approach and its validation for dynamic system[J]. China Civil Engineering Journal,2011,44(S1): 24-30.

[11] Xu Bin, He Jia, Masri S F.Data-based identification of nonlinear restoring force under spatially incomplete excitations with power series polynomial model[J]. Nonlinear Dynamics, 2012,67(3):2063-2080.

[12] He Jia, Xu Bin, Masri S F. Restoring force and dynamic loadings identification for a nonlinear chain-like structure with partially unknown excitations[J]. Nonlinear Dynamics, 2012,69(1/2):231-245.

[13] 樊建修.計算機常用函數(shù)逼近方法及切比雪夫多項式[J].工業(yè)儀表與自動化裝置,1986(3):11-18.

FAN Jian-xiu. Function approximation methods and chebyshev polynomial[J].Industrial Instrumentation & Automation,1986(3):11-18.

[14] 薛偉辰,鄭喬文,劉振勇,等. 結構振動控制智能材料研究及應用進展[J].地震工程與工程振動,2006,26(5):213-217.

XUE Wei-chen, ZHENG Qiao-wen, LIU Zhen-yong, et al. Developments of research and application of smart materials in controlling structural vibration[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration,2006,26(5):213- 217.

[15] 吳波,孫科學,李惠,等. 形狀記憶合金力學性能的試驗研究[J].地震工程與工程振動,1999,19(2):104-111.

WU Bo, SUN Ke-xue, LI Hui, et al. Experimental research on mechanical properties of shape memory alloy[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration,1999,19(2):104-111.

[16] Liang C, Rogers C A. One-dimensional thermomechanical constitutive relations for shape memory materials[J]. Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 1990, 1(2): 207-234.

[17] Auricchio F, Coda A, Reali A, et al. SMA numerical modeling versus experimental results: parameter identification and model prediction capabilities[J]. Journal of Materials Engineering and Performance, 2009, 18(5/6): 649-654.

[18] 李惠,毛晨曦.形狀記憶合金(SMA)被動耗能減震體系的設計及參數(shù)分析[J].地震工程與工程振動,2001,21(4): 133-139.

LI Hui, MAO Chen-xi. Seismic response of buildings with SMA passive energy dissipation devices: analysis and design[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2001, 21(4): 133-139.