復合隨機振動系統(tǒng)的動力可靠性矩獨立重要性測度及態(tài)相關(guān)參數(shù)解法

張屹尚，劉永壽，趙 彬，翟紅波

(西北工業(yè)大學 工程力學系 飛行器可靠性工程研究所，西安 710129)

可靠性靈敏度反映設(shè)計參數(shù)改變對可靠度影響程度。工程中可用于確定結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解搜索方向。隨機荷載作用的機械、結(jié)構(gòu)系統(tǒng)需同時考慮結(jié)構(gòu)隨機性與激勵隨機性復合隨機，其動力可靠性靈敏度求解難度較大[1]。喬紅威等[2]采用基于加權(quán)非線性響應(yīng)面法的Monte-Carlo可靠性靈敏度分析方法求解動力可靠性靈敏度。唐帆等[3]基于攝動法分析多源激勵下隨機結(jié)構(gòu)靈敏度。Valdebenito等[4]據(jù)Bootstrap方法求解隨機激勵下線性系統(tǒng)可靠性靈敏度。以上主要研究隨機激勵下隨機結(jié)構(gòu)的局部靈敏度，即某個輸入變量取名義值(一般為均值)時動力可靠度的偏導數(shù)，因而考慮某變量靈敏度時無法考慮其它變量變異性所致影響，具有一定局限性。

基本變量的重要性測度(Importance Measure, IM)又稱全局靈敏度分析, 研究輸入變量不確定性對模型輸出響應(yīng)不確定性(數(shù)值或其他)的貢獻程度，可依次確定其實驗或研究的優(yōu)先級別,能綜合考慮輸入變量在值域內(nèi)取值時對輸出響應(yīng)的平均影響，因而廣受重視[5-7]。為有效定量度量隨機激勵下隨機結(jié)構(gòu)輸入變量對動力可靠度影響大小，對輸入變量進行全局靈敏度分析。已有的重要性測度可分為非參數(shù)方法重要度[8]、基于方差方法重要度[9]及矩獨立方法重要度[10]。Cui等[11]提出矩獨立基本變量對系統(tǒng)失效概率的重要性測度，并分析其性質(zhì)。

本文用分布信息損失少的矩獨立重要性測度指標(Moment-Independent Importance Measure)，結(jié)合隨機激勵下首超可靠性分析方法提出度量輸入變量對隨機結(jié)構(gòu)動力可靠度概率影響的矩獨立重要性測度。其結(jié)果可定量反映隨機結(jié)構(gòu)參數(shù)對隨機激勵下動力可靠性影響程度, 提高結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計。針對可靠性矩獨立重要性測度Monte-Carlo法求解效率，采用高效模型估計法-態(tài)相關(guān)參數(shù)法(SDP)計算動力測度指標[12-13]，用算例說明方法的合理性及正確性。并以Monte-Carlo數(shù)值模擬法結(jié)果為標準，檢驗SDP方法計算重要性測度精度及效率。

1 隨機變量對結(jié)構(gòu)動力可靠性重要性測度

1.1 基于首超準則的動力可靠性分析

基于首次超越破壞準則的動力可靠性一般指結(jié)構(gòu)控制點動力響應(yīng)(如位移、應(yīng)力等) 首次超越安全界限值的可靠性，簡稱結(jié)構(gòu)首超動力可靠性。首超破壞可靠性主要有單側(cè)界限、雙側(cè)界限兩種。其中雙側(cè)界限定義為若結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)y(τ)絕對值在時間[0,t]內(nèi)不超過安全界限值b的概率，即

R(t)=Pr{-b≤y(τ)≤b,0<τ

(1)

動力首超破壞分析基礎(chǔ)為響應(yīng)y(τ)與安全界限的交叉次數(shù)。采用基于交叉次數(shù)為Markov過程的雙側(cè)首超動力可靠度計算公式[14]為

(2)

譜矩ak計算式為

(3)

式中：Syy(ω)為動力響應(yīng)y(τ)的自功率譜密度函數(shù)。

考慮結(jié)構(gòu)隨機性與激勵隨機性的復合動力學可靠性時，采用無條件可靠度分析公式考慮復合隨機情況下動力參數(shù)隨機性[15-16]。設(shè)結(jié)構(gòu)參數(shù)隨機變量向量X反映質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K、阻尼矩陣C的隨機性，則隨機結(jié)構(gòu)無條件動力可靠度表達式為

Rf(t)=∫XR(t)xfX(x)dx

(4)

式中：R(t)x為在結(jié)構(gòu)參數(shù)x時的可靠度；fX(x)為X的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

1.2 隨機結(jié)構(gòu)動力可靠性重要性測度指標定義

設(shè)系統(tǒng)有n個不確定性基本變量X=[X1,X2,…Xn]及隨機結(jié)構(gòu)動力可靠度R(t)x。將隨機振動結(jié)構(gòu)的基本輸入變量XI對動力可靠性重要性測度指標[11]定義為

(5)

式中：XI為單個基本變量或一組基本變量；Rf(t)為隨機結(jié)構(gòu)無條件動力可靠度；Rf|XI(t)為XI為某一值時Rf(t)的條件動力可靠度；fXI(xI)為基本輸入變量XI的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

式(5)表征輸入變量XI在隨機分布域內(nèi)變化對結(jié)構(gòu)動力可靠度影響程度。由于式(5)定義中絕對值符號不利于運算，本文將其等價轉(zhuǎn)換為平方運算，等價轉(zhuǎn)換后輸入變量XI的動力可靠度重要性測度記為δXI：

(6)

由式(6)看出，等價轉(zhuǎn)換后動力可靠重要性測度可有效反映輸入變量對可靠性模型分布概率影響程度。動力可靠性精確表達式可表示為輸入變量聯(lián)合概率密度函數(shù)在安全域中的積分，其數(shù)學期望形式為

Rf(t)=∫XR(t)xfX(x)dx=E[R(t)x]

(7)

式中：E[·]為數(shù)學期望算子。

相對無條件動力可靠性概率函數(shù)，給定輸入變量XI時響應(yīng)量條件動力可靠度可表達為

Rf|XI(t)=E[R(t)x|XI]

(8)

式中：R(t)x|XI為相應(yīng)條件動力可靠度響應(yīng)函數(shù)。

將式(7)、(8)分別代入式(6)，利用概率統(tǒng)計中數(shù)學期望與方差間關(guān)系，可得動力可靠性概率矩獨立重要性測度為

δXI=EXI{[E(R(t)x)-E[R(t)x|XI]]2}

(9)

全期望公式為

(10)

式中：V[·]為方差算子。

至此，本文所提δXI能有效反映基本變量不確定性對輸出動力可靠度影響程度，可為有效增加輸出動力可靠度提供更多參考信息。

2 動力可靠性矩獨立重要性測度求解方法

2.1 動力可靠性矩獨立重要性測度狀態(tài)相關(guān)參數(shù)法(SDP)

狀態(tài)相關(guān)參數(shù)法(State Dependent Parameter，SDP)模型由Young[17]提出，為基于遞歸濾波及平滑估計的非參數(shù)光滑方法。Ratto等[12]成功將其應(yīng)用于參數(shù)重要性分析中。采用SDP 方法求解響應(yīng)量的條件期望E(Y|Xi)，給定單個基本輸入變量條件下功能響應(yīng)輸出值Y=g(X)，條件期望E(Y|Xi)(i=1,2,…n)可據(jù)一階函數(shù)高維分解模型(HDMR)求出，具體過程[13,18]為：據(jù)輸入變量聯(lián)合概率密度函數(shù)采用一定抽樣策略隨機抽取N個樣本Xt(t=1,2,…N)，獲得相應(yīng)輸出Yt(t=1,2,…N)，考慮Y=g(X)的一階截斷HDMR[13]可表示為

Yt-g0=g1(X1,t)+g2(X2,t)+

…+gk(Xk,t)+o(XX′)

(11)

式中：Yt表示(t=1,2,…N)時刻響應(yīng)量Y的狀態(tài)；g0=E(Y)；gi(Xi,t)=E(Y|Xi,t)-g0(t=1,2,…,N)為樣本標號；o(XX′)為高階誤差。

設(shè)所有高階項近似服從正態(tài)分布的高斯白噪聲，即將截斷HDMR視為隨機非線性系統(tǒng)[13]。每項gi(Xi,t)均依賴于輸入變量Xi,t，因此可將其視為狀態(tài)相關(guān)參數(shù)進行估計?？紤]基本變量Xt(t=1,2,…N)對響應(yīng)量Y的作用，估計響應(yīng)輸出條件期望E(Y|Xi,t)的態(tài)相關(guān)模型[13]可表示為

Yt=E(Y|Xi,t)+ei,t=

pi,t(X1,t)+ei,tei,t～N(0,σ2)

(12)

式中：et為觀測干擾，即不能用E(Y|Xi,t)表示的項；pi,t為隨狀態(tài)變量X1變化的SDP狀態(tài)相關(guān)參數(shù)，為基本變量X1的函數(shù)。

據(jù)控制理論相關(guān)內(nèi)容，狀態(tài)空間SDP模型為

(13)

求解SDP模型(13)中狀態(tài)相關(guān)參數(shù)pi,t(i=1,…,k)等價于求解HDMR中一階項。SDP模型參數(shù)pi,t(i=1,…,k)求解步驟[17]為

(1) 以某種隨機形式描述pi,t的變化，即采用通用隨機步(GRW)類如GRW中隨機步(RW)或積分隨機步(IRW)過程。

(3) 在循環(huán)向后擬合過程(backfitting procedure)中用遞歸Kalman濾波(Kalman Filtering, KF)及相應(yīng)遞歸固定區(qū)間光滑(Fixed Interval Smoothing, FIS)法則估計各狀態(tài)相關(guān)參數(shù)(式(12))。

按以上求解條件期望SDP方法知，需一組輸入輸出樣本值便可將HDMR中所有一階項(動力可靠度的條件期望E(Y|XI)(I=1,2,…,n))一次性求解。該方法不僅適用于連續(xù)函數(shù)，亦適用于非光滑及不連續(xù)函數(shù)[17]。為給定單個基本輸入變量條件下動力可靠度的條件數(shù)學期望E(R(t)x|XI)求解提供了高效途徑。可將動力可靠度函數(shù)R(t)x視為隨機輸入變量函數(shù)。只需在條件期望求解中將動力可靠度函數(shù)R(t)x的值視為相應(yīng)輸出值，用求解功能響應(yīng)量Y條件期望相同思路求得動力可靠度條件期望E(R(t)x|XI) ，再據(jù)給定公式求出單個輸入變量動力可靠性重要性測度。

2.2 SDP法與MC法比較

高效的Monte-Carlo數(shù)值模擬法[19]可用于求解動力可靠性矩獨立重要性測度。求解給定單個基本輸入變量條件下動力可靠度條件數(shù)學期望E(R(t)x|XI)的過程為：

(1) 據(jù)聯(lián)合分布密度fX(x)隨機抽取N1個樣本形成矩陣A為

(14)

再隨機抽取N2個樣本形成矩陣B為

(15)

式中：n為變量個數(shù)。

相對普通的Monte-Carlo法，本文選偏差更小的擬Monte-Carlo法[20]進行矩陣A，B樣本抽樣。

(2) 求解條件動力可靠度指標(R(t)x|Xi)，固定矩陣A中第(k,i)(k≤N1,i≤n)個元素，且替換矩陣B中第i列，生成新矩陣C

(16)

(17)

隨機抽取樣本量N1，N2越大時擬Monte-Carlo 數(shù)值模擬法求解條件期望越準確。SDP 方法只需一組模型輸入輸出值，所有給定輸入條件下動力可靠度條件期望均可一次性進行估計。本文動力可靠度矩獨立重要性測度可通過式(10)求得，SDP方法計算量不依賴變量維數(shù)。該方法可用任何Monte-Carlo樣本，尤其用低偏差樣本時，實現(xiàn)過程簡單靈活。

3 算例分析

3.1 單自由度振子體系平穩(wěn)位移響應(yīng)可靠性分析

單自由度線性體系受單源平穩(wěn)隨機激勵時運動方程[21]為

(18)

式中：m，k，c為質(zhì)量、剛度、阻尼；ζ=c/(2mk)為系統(tǒng)阻尼，用無量綱參數(shù)；f(t) 為平穩(wěn)隨機過程，自譜為常值Sff(ω)=S0=1，取ω=[0,10]。

圖1 Monte-Carlo法抽樣次數(shù)與結(jié)果變化曲線

圖2 SDP法抽樣次數(shù)與結(jié)果變化曲線

表1 單自由度線性體系動力可靠性重要性測度

3.2 十六桿結(jié)構(gòu)動力可靠性矩獨立重要性測度

圖3 十六桿桁架結(jié)構(gòu)

表2 十六桿結(jié)構(gòu)動力可靠性重要性測度

設(shè)結(jié)構(gòu)參數(shù)E，ρ，a為互不相關(guān)、服從正態(tài)分布的基本隨機變量，變異系數(shù)v=0.1相同,分析第6節(jié)點y方向位移動力可靠性矩獨立重要性測度。圖1十六桿結(jié)構(gòu)對輸出不確定性影響較大的隨機變量重要性排序為E,a,ρ。因此，在十六桿桁架結(jié)構(gòu)動力學可靠性設(shè)計、優(yōu)化中需注重對輸出影響較大E,a重要變量信息的收集，最大程度減小結(jié)構(gòu)整體不確定性水平。亦可在十六桿結(jié)構(gòu)動力學可靠性設(shè)計中優(yōu)先考慮確定重要性程度高的隨機變量以改善系統(tǒng)可靠性，對某些重要性程度低的隨機變量降維以簡化分析過程。較t=1000 s，1100 s動力可靠性重要性測度，本例結(jié)構(gòu)的可靠性重要性測度值隨時間的延長而增大。

分析以上兩算例知，本文SDP法只需求解2 000即可一次性獲得全部輸入變量的條件期望，進而進行動力可靠性重要性測度計算；用Monte-Carlo法計算全部輸入變量次數(shù)為n×108(n為變量維數(shù))。本文方法調(diào)用功能函數(shù)的次數(shù)大大低于Monte Carlo法, 且兩種方法所得重要性指標誤差均在工程允許范圍內(nèi)，表明用SDP方法計算輸入變量的重要性測度可行、高效。

4 結(jié) 論

(1) 研究隨機激勵下隨機結(jié)構(gòu)動力學可靠性重要性測度，有效分析基本輸入變量對結(jié)構(gòu)動力學可靠性影響，具有重要現(xiàn)實意義。

(2) 提出基于基本輸入變量對動力可靠性矩獨立重要性測度，給出各基本變量對可靠性貢獻度，建立矩獨立重要性測度求解的態(tài)相關(guān)參數(shù)(SDP)法。

(3) SDP法可避免計算過程對變量維數(shù)的依賴，能提高樣本利用率，減少變量矩獨立重要性指標求解計算量。并用算例證明該方法的可行性及高效性，可用于大型復雜工程結(jié)構(gòu)動力可靠性重要性測度分析。

[1] 陳建兵,李杰.復合隨機振動系統(tǒng)的動力可靠度分析[J].工程力學, 2005, 22(3): 52-57.

CHEN Jian-bing,LI Jie. Dynamic reliability assessment of double random vibration systems [J]. Engineering Mechanics, 2005, 22(3): 52-57.

[2] 喬紅威,呂震宙.隨機激勵下隨機結(jié)構(gòu)動力可靠性靈敏度分析[J].振動工程報, 2008, 21(4):404-408.

QIAO Hong-wei, Lü Zhen-zhou.Dynamic reliability sensitivity analysis for stochastic structures under random excitations [J]. Journal of Vibration Engineering, 2008,21(4): 404-408.

[3] 唐帆,王錫平,朱文海,等.多源隨機激勵系統(tǒng)參數(shù)靈敏度分析[J].振動與沖擊, 2012,31(1):82-85.

TANG Fan,WANG Xi-ping,ZHU Wen-hai,et al.Parameter sensitivity analysis for a system with multi-source random excitation[J].Journal of Vibration and Shock,2012,31(1):82-85.

[4] Valdebenito M A, Jensen H A, Schu?ller G I,et al. Reliability sensitivity estimation of linear systems under stochastic excitation[J].Computers and Structures,2012,92/93: 257-268.

[5] Satelli A. Sensitivity analysis for importance assessment [J]. Risk Analysis, 2002, 22(3): 579-590.

[6] Baraldi P, Zio E, Compare M. A method for ranking components importance in the presence of epistemic uncertainties [J]. Journal of Loss Prevention in the Process Industries, 2009,22 (5):582-592.

[7] Aven T, Nokland T E. On the u se of uncertainty importance measures in reliability and risk analysis [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2010, 95(2):127-133.

[8] Saltelli A,Marivoet J.Non-parametric statistics in sensitivity analysis for model output: a comparison of selected techniques [J].Reliability Engineering and System Safety,1990,28(2): 229-253.

[9] Sobol I M.Global sensitivity indices for nonlinear mathematical models and their monte carlo estimates [J].Mat Comput Simulation,2001,55(1): 221-280.

[10] Borgonovo E. A new uncertainty importance measure [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2007, 92(6): 771-784.

[11] 崔利杰,呂震宙,趙新攀.矩獨立的基本變量重要性測度及其概率密度演化解法[J].中國科學:技術(shù)科學, 2010, 40(5): 557-564.

CUI Li-jie, Lü Zhen-zhou,ZHAO Xin-pan. Moment-independent importance measure of basic random variable and its probability density evolution solution[J].Sci China Tech Sci, 2010, 40 (5): 557-564.

[12] Ratto M,Pagano A,Young P C. Non-parametric estimation of conditional moments for sensitivity analysis[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2009,94(2): 237-243.

[13] Ratto M,Pagano A,Young P C.State dependent parameter meta-modelling and sensitivity analysis[J]. Comput Phys Commun,2007,177(11): 863-876.

[14] 李桂青,曹洪,李秋勝,等.結(jié)構(gòu)動力可靠性理論及其應(yīng)用[M].北京:地震出版社,1993.

[15] Chaudhuri A, Chakraborty S. Reliability of linear structures with parameter uncertainty under non-stationary earthquake [J]. Structural Safety, 2006, 28(3): 231-246.

[16] Zhao Y G, Ono T, Idota H. Response uncertainty and time-variant reliability analysis for hysteretic MDF structures[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1999, 28(10): 1187-1213.

[17] Young P.Stochastic, dynamic modelling and signal processing: time variable and state dependent parameter estimation[M]. Cambridge University Press: Cambridge, 2000:74-114.

[18] 阮文斌,呂震宙,李露祎.狀態(tài)模糊情況下矩獨立重要性測度及其態(tài)相關(guān)參數(shù)解法[J].西北工業(yè)大報, 2012, 30(5): 675-680.

RUAN Wen-bin，Lü Zhen-zhou，LI Lu-yi. An effective MIIMSDP( Moment-Independent Importance Measure and State Dependent Parameter) solution when failure state is fuzzy[J].Journal of Northwestern Polytechnical University, 2012.30(5):675-680.

[19] Wu Q L, Cournede P H, Mathieu A.An efficient computational method for global sensitivity analysis and its application to tree growth modeling[J].Reliability Engineering and System Safety, 2012,107:35-43.

[20] Sobol I M. Uniformly distributed sequences with additional uniformity properties [J]. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1976, 16(5):236-242.

[21] 喬紅威,呂震宙,關(guān)愛銳,等.平穩(wěn)隨機激勵下隨機結(jié)構(gòu)動力可靠度分析的多項式逼近法[J]. 工程力學, 2009,26(2):60-64.

QIAO Hong-wei, Lü Zhen-zhou, GUAN Ai-rui, et al. Dynamic reliability analysis of stochastic structures under Stationary random excitation using hermite polynomials Approximation[J].Engineering Mechanics, 2009,26(2):60-64.