大跨斜拉橋Rayleigh阻尼系數(shù)約束優(yōu)化解

潘旦光，靳國豪，高莉莉

(北京科技大學(xué) 土木系，北京 100083)

我國規(guī)范[1]規(guī)定，進行斜拉橋、懸索橋、單跨跨徑150 m以上等特殊橋梁地震反應(yīng)分析時可采用時程分析法、多振型反應(yīng)譜法及功率譜法。用直接積分法進行時程分析時必涉及阻尼矩陣的建立。由于形成阻尼機理復(fù)雜，影響因素多[2]，因此無法直接利用構(gòu)件尺寸、材料性質(zhì)直接構(gòu)建阻尼矩陣，而采用構(gòu)造的方法。由于工程結(jié)構(gòu)阻尼比較易測量，且能反應(yīng)結(jié)構(gòu)宏觀阻尼特性，因此常用阻尼比構(gòu)建阻尼矩陣。阻尼可分為復(fù)阻尼及粘滯阻尼。復(fù)阻尼耗能與迫振頻率無關(guān)，這與結(jié)構(gòu)試驗結(jié)果相符。阻尼為復(fù)數(shù)，易于用頻域進行分析。對非線性分析只能采用等效線性化方法，無法進行真非線性分析。與復(fù)阻尼相比，用時域內(nèi)粘滯阻尼更方便[3-4]。

目前已有諸多粘滯阻尼矩陣的構(gòu)造方法[5-7]，其中最具代表性的為Rayleigh阻尼、Caughey阻尼及疊加振型阻尼。董軍等[8-9]將Rayleigh阻尼與疊加振型阻尼結(jié)合，構(gòu)造出任意階模態(tài)阻尼比等于精確值的阻尼矩陣。但常用的為質(zhì)量矩陣與剛度矩陣線性組合的Rayleigh阻尼矩陣,可表達為

C=αM+βK

(1)

式中：α，β分別為質(zhì)量、剛度比例阻尼系數(shù)；M，K分別為質(zhì)量、剛度矩陣。

計算α，β一般先進行結(jié)構(gòu)模態(tài)分析，后指定兩階參考模態(tài)(ωi，ωj)的阻尼比等于已知值(ζi*，ζj*)。α，β計算公式為

(2)

由式(1)得各階模態(tài)阻尼比為

ζn=α/2ωn+βωn/2

(3)

進行橋梁設(shè)計時,雖事先無法獲知模態(tài)阻尼比的精確值，但可據(jù)已建橋梁阻尼比經(jīng)驗值設(shè)各階模態(tài)精確值為常量。如鋼筋混凝土橋梁阻尼比為0.05。因此式(3)所得阻尼比僅在兩階參考頻率處阻尼比等于精確值，而其它頻率阻尼比存在一定誤差。由于阻尼比會影響結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)，因此合理指定兩階參考頻率成為時程分析關(guān)鍵。結(jié)構(gòu)基頻為影響結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)最主要模態(tài)。規(guī)范[1]中建議第一個參考頻率選擇基頻。而對第二個參考頻率選擇無明確方法。樓夢麟等[10-11]通過對大跨拱橋計算認為參考頻率的選擇會顯著影響結(jié)構(gòu)反應(yīng)，應(yīng)選振型參與系數(shù)較大模態(tài)作為參考頻率；通過對深覆土層模型分析認為計算Rayleigh阻尼系數(shù)需考慮輸入地震波頻譜特性影響。為避免人為選擇兩階參考頻率所致任意性，劉紅石[12]提出的最小二乘法計算α，β可使阻尼比誤差在平方意義上最小，但并未考慮各階模態(tài)對動力反應(yīng)貢獻的差異，無法保證對結(jié)構(gòu)反應(yīng)有顯著貢獻模態(tài)的阻尼比取值合理。楊大彬等[13-14]針對網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析，建立基于多參考振型的加權(quán)最小二乘法用于計算Rayleigh阻尼系數(shù)。潘旦光[15-16]基于振型疊加反應(yīng)譜理論，詳細討論式(2)中兩最優(yōu)參考頻率及荷載空間分布、頻譜特性及結(jié)構(gòu)動力特性關(guān)系，并建立Rayleigh阻尼系數(shù)的無約束優(yōu)化求解方法。但對橋梁結(jié)構(gòu)而言，與結(jié)構(gòu)所受激勵輸入方向?qū)?yīng)的第1階整體振動模態(tài)為控制結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的關(guān)鍵模態(tài)之一，通常以該階模態(tài)為計算Rayleigh阻尼系數(shù)的第1個參考頻率。因此，Rayleigh阻尼系數(shù)計算實際為合理選取第2個參考頻率問題。大跨橋梁參與振動模態(tài)數(shù)較多，頻率密集，不同于普通建筑結(jié)構(gòu)。為此，本文以大跨橋梁為分析對象，以結(jié)構(gòu)峰值位移誤差最小為目標(biāo)，建立求解Rayleigh阻尼系數(shù)的優(yōu)化方法。并將基頻阻尼比等于精確值作為約束條件，形成等價于指定最優(yōu)第2參考頻率的約束優(yōu)化求解方法。并以840 m斜拉橋為例，說明Rayleigh阻尼系數(shù)約束優(yōu)化解的變化規(guī)律及計算方法精度。

1 Rayleigh阻尼系數(shù)約束優(yōu)化解

地震輸入作用下多自由度體系強迫振動方程[17]為

(4)

通過模態(tài)分析獲得結(jié)構(gòu)前N階頻率ωn及模態(tài)φn(n=1,2,…,N)。由模態(tài)疊加反應(yīng)譜法理論知，基于Rayleigh阻尼與精確阻尼比,分別計算所得第n階模態(tài)對第k自由度最大位移反應(yīng)ukn為

(5)

Sd(ζn,ωn)=

基于平方和開平方原理，第k自由度位移反應(yīng)誤差為

(7)

為簡化計算，將反應(yīng)譜函數(shù)用1階Taylor級數(shù)展開，得

(8)

將式(8)代入式(7)，整理得

(9)

(10)

采用Lagrange乘子法求式(10)約束條件下式(9)最小值，令

(11)

將式(11)分別對X，λ求導(dǎo)，并令相應(yīng)導(dǎo)數(shù)為零得代數(shù)方程組為

(12)

2 參數(shù)研究

為說明公式的計算精度及影響因素，以圖1懸臂梁為例進行討論。梁長6 m，彈性模量20 GPa，線密度600 kg/m，截面轉(zhuǎn)動慣量1.6×10-3m4。將梁分為10個單元，用集中質(zhì)量模型，體系共10階模態(tài)，其中前4階模態(tài)分析結(jié)果見表1。

圖1 懸臂梁計算模型

表1 懸臂梁模態(tài)分析結(jié)果

設(shè)體系基礎(chǔ)運動豎向加速度為

(13)

激振頻率考慮三種情況：ω=0.7ω1, 6.0ω1，16.0ω1，即分別考慮激振頻率小于基頻、接近ω2、接近ω3。在任意激振頻率下第n階模態(tài)反應(yīng)譜及導(dǎo)數(shù)為

Sd(ζ,ωn)=

(14)

(15)

2.1 Rayleigh阻尼模型計算精度

阻尼為結(jié)構(gòu)固有特性，在線彈性范圍內(nèi)阻尼比與外部荷載無關(guān)。而Rayleigh阻尼為近似阻尼，因此為使構(gòu)建的阻尼矩陣動力反應(yīng)計算誤差小，應(yīng)使對結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)有顯著貢獻模態(tài)的阻尼比誤差越小越好。不同荷載頻譜特性不同，Rayleigh阻尼合理參考頻率與荷載有關(guān)。以含所有模態(tài)在精確阻尼比下的模態(tài)疊加法計算結(jié)果為精確解，記r*。采用Rayleigh阻尼模型計算所得近似解記為r，Rayleigh阻尼模型計算結(jié)果相對誤差為

(16)

設(shè)懸臂梁所有頻率精確阻尼比為1%，表2、表3為簡諧荷載作用下用Rayleigh阻尼矩陣進行計算所得頂點A的豎向位移及支座B處彎矩相對誤差。計算中本文方法的φkn=φn(A)用前4階模態(tài)參與優(yōu)化計算。為與傳統(tǒng)計算方法進行比較，用式(2)計算Rayleigh阻尼系數(shù)時指定兩階參考頻率考慮三種組合，分別為i=1&j=2,i=1&j=3 ，i=2 &j=3。由表2、表3看出：① 由本文方法所得Rayleigh阻尼矩陣的反應(yīng)誤差均小于或等于傳統(tǒng)計算方法，計算精度良好;② 在不同迫振頻率下結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的顯著貢獻模態(tài)不同，當(dāng)ω/ω1= 0.7，6.0時，結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)由前兩階模態(tài)控制。以i=1 &j=2構(gòu)建阻尼矩陣計算誤差最小，而ω/ω1=16.0時，以i=1 &j=3構(gòu)建阻尼矩陣的計算誤差最小。由此可知，計算Rayleigh阻尼系數(shù)最優(yōu)參考頻率應(yīng)據(jù)荷載頻譜特性作相應(yīng)調(diào)整。

表2 A點位移相對誤差(%)

表3 B點彎矩相對誤差(%)

2.2 優(yōu)化參考頻率影響因素

為說明本文方法所得Rayleigh阻尼系數(shù)特點，不同迫振頻率下所得阻尼系數(shù)及相應(yīng)阻尼比見表4。由表4看出，ω/ω1=0.7，6.0時，第2個優(yōu)化參考頻率j=2；而當(dāng)ω/ω1=16.0時，第2個優(yōu)化參考頻率j=3。結(jié)合表2、表3知，本文方法所得Rayleigh阻尼系數(shù)為綜合考慮結(jié)構(gòu)動力特性及輸入荷載頻譜的結(jié)果，使對結(jié)構(gòu)有顯著貢獻模態(tài)的阻尼取值更合理，可直接獲得Rayleigh阻尼系數(shù)，無需人為選擇參考頻率，便于應(yīng)用。

表4 優(yōu)化Rayleigh阻尼系數(shù)及相應(yīng)阻尼比

3 工程概況及輸入地震波

對簡單結(jié)構(gòu)而言，最優(yōu)兩參考頻率較易判斷；但對大跨橋梁而言，結(jié)構(gòu)顯著貢獻模態(tài)數(shù)量較多，人為方法選擇合理參考模態(tài)較困難。為驗證本文方法計算精度，以840 m斜拉橋為例，分析地震作用下優(yōu)化Rayleigh阻尼系數(shù)的合理性及計算精度。大橋為60 m+120 m+480 m+120 m+60 m雙塔雙索半漂浮體系鋼混混合斜拉橋。塔高155.1 m，橋面板以上高103 m。主梁為寬28.5 m、高3 m的單室封閉鋼箱梁。塔柱與混凝土主梁用C50混凝土，鋼箱梁用Q345qc。塔座、邊墩及輔助墩用C40混凝土，承臺用C30混凝土。拉索用112根Φj15.24 mm鋼絞線。用單脊梁式方法建立有限元模型。塔墩及主梁采用三維梁單元，索用桿單元，建立有限元模型見圖2。

圖2 斜拉橋有限元模型

有限元模型整體坐標(biāo)系x方向為順橋向，y方向為豎向，z方向為橫橋向，模型共1 149個節(jié)點、1 196個單元。設(shè)橋梁各階模態(tài)阻尼比精確值為0.02，以x方向地震輸入為例，分析塔頂(A點)、主梁跨中(B點)x方向水平位移及橋墩(C點)處剪力及彎矩在不同阻尼模型下結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)特點與計算精度。其它方向地震反應(yīng)分析方法類似。

式(9)計算中權(quán)重系數(shù)wkn涉及第k自由度模態(tài)位移φkn，即優(yōu)化的參考自由度問題。理論上參考自由度可選擇任意自由度；但對結(jié)構(gòu)而言，若結(jié)構(gòu)最大位移誤差小，則其余自由度動力反應(yīng)的誤差通常也較小。而斜拉橋橋塔最大位移位于橋塔頂端，橋身最大位移位于橋梁跨中，故計算中參考自由度分別取A、B點，即x方向地震輸入時分別以φkn=φn(Ax)，φkn=φn(Bx)為權(quán)重系數(shù)的參考自由度，并比較其對計算結(jié)果影響。

基于圖2有限元模型，選4條不同類型地震波作為輸入，將地震波峰值加速度統(tǒng)一調(diào)整為0.1 g，分析不同Rayleigh阻尼系數(shù)計算方法引起結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)誤差。地震波加速度時程與7個阻尼比(ζ=0.005, 0.01, 0.02, 0.03, 0.05, 0.10, 0.20)的反應(yīng)譜見圖3。實際地震輸入的反應(yīng)譜為不規(guī)則曲線，無法建立位移反應(yīng)譜顯式表達式。統(tǒng)計分析結(jié)果[18]表明，位移反應(yīng)譜與阻尼比對數(shù)間具有線性關(guān)系。即對某確定地震波，自振頻率ωn體系的反應(yīng)譜隨阻尼比ζ變化規(guī)律可表示為

Sd(ζ,ωn)=an(ωn)+bn(ωn)ln100ζ

(17)

式中：an(ωn)，bn(ωn)為擬合參數(shù)，可用最小二乘法計算。

(18)

4 斜拉橋計算結(jié)果

4.1 自振特性

對斜拉橋而言，拉索應(yīng)力對結(jié)構(gòu)動力特性及動力反應(yīng)有顯著影響。為考慮重力對拉索應(yīng)力影響及拉索幾何剛度，斜拉橋模態(tài)分析分兩步：① 計算重力及初始應(yīng)力下結(jié)構(gòu)應(yīng)力；② 進行有預(yù)應(yīng)力的模態(tài)分析。斜拉橋主要振動模態(tài)見表5。x方向累積振型參與質(zhì)量見圖4。由各模態(tài)振型參與質(zhì)量、模態(tài)特征看出，第1階模態(tài)為順橋向振動第1個顯著貢獻模態(tài)。式(12)計算時順橋向約束模態(tài)取第1階。

圖3 地震波加速度時程及位移反應(yīng)譜

表5 斜拉橋模態(tài)分析結(jié)果

圖4 斜拉橋累積振型參與質(zhì)量

4.2 Rayleigh阻尼系數(shù)變化規(guī)律

由式(9)知，Rayleigh阻尼系數(shù)優(yōu)化計算結(jié)果與參與優(yōu)化計算模態(tài)數(shù)N有關(guān)。順橋向優(yōu)化Rayleigh阻尼系數(shù)隨模態(tài)數(shù)N的變化見圖5。結(jié)合圖4計算結(jié)果知，在累積振型參與質(zhì)量小于70%時(前128階模態(tài))，隨模態(tài)數(shù)的增加使累積振型參與質(zhì)量發(fā)生顯著變化的模態(tài)處Rayleigh阻尼系數(shù)亦會發(fā)生顯著變化。累積振型參與質(zhì)量超過70%后，部分高階振型參與質(zhì)量較大(第538、539階)，但Rayleigh阻尼系數(shù)未在此處發(fā)生相應(yīng)變化。由于振型參與質(zhì)量系數(shù)是用于度量各模態(tài)對基底剪力貢獻大小的指標(biāo)，部分高階局部振型對結(jié)構(gòu)基底剪力有顯著影響，但塔頂、主梁位移反應(yīng)主要由低階模態(tài)控制，而Rayleigh阻尼系數(shù)優(yōu)化計算方程本質(zhì)為基于位移反應(yīng)的優(yōu)化方程，因此當(dāng)累積振型參與質(zhì)量超過70%后，Rayleigh阻尼系數(shù)優(yōu)化結(jié)果趨于穩(wěn)定。與高層建筑等結(jié)構(gòu)Rayleigh阻尼系數(shù)變化規(guī)律有較大不同。

4.3 優(yōu)化Rayleigh阻尼系數(shù)及優(yōu)化參考頻率

不同地震波激勵下Rayleigh阻尼系數(shù)優(yōu)化解穩(wěn)定計算結(jié)果見表6。將所得Rayleigh阻尼系數(shù)代入式(3)，即得各階模態(tài)阻尼比，除作為約束條件的模態(tài)外，第2個等于精確阻尼比對應(yīng)的固有頻率階數(shù)稱為優(yōu)化參考頻率j′。由表6看出，① 本文所得優(yōu)化參考頻率不一定位于結(jié)構(gòu)振型參與質(zhì)量較大固有頻率上。因除基頻外，橋梁結(jié)構(gòu)無具有顯著統(tǒng)治地位模態(tài)，最優(yōu)參考頻率為綜合考慮多階模態(tài)動力反應(yīng)結(jié)果；② 輸入地震波不同最優(yōu)參考頻率也不同，說明本文結(jié)構(gòu)最優(yōu)參考頻率考慮輸入地震波頻譜特性影響；③ 以主梁跨中位移為優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化參考頻率值小于以塔頂為優(yōu)化目標(biāo)的計算結(jié)果。此因為主梁位移由少數(shù)低階模態(tài)控制(前28階模態(tài))，而塔頂位移頻率成分相對豐富(前52階模態(tài))。因此，優(yōu)化方程自動識別出的優(yōu)化目標(biāo)位移顯著貢獻模態(tài)有所不同。

圖5 順橋向地震輸入Rayleigh阻尼系數(shù)優(yōu)化解

表6 優(yōu)化Rayleigh阻尼系數(shù)及優(yōu)化參考頻率

4.4 Rayleigh阻尼模型反應(yīng)峰值計算誤差

由圖4知，當(dāng)模態(tài)個數(shù)達539階時，體系x方向累積振型參與質(zhì)量超過90%；620階模態(tài)后累積振型參與質(zhì)量超過99%。為此本文以620階模態(tài)振型分解法計算所得結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)量作為精確解。對傳統(tǒng)Rayleigh阻尼計算方法，選i=1 &j=56，i=1 &j=108及i=1 &j=539三種組合方式進行計算。本文方法考慮φkn=φn(Ax)，φkn=φn(Bx)兩種情況。塔頂A點、主梁跨中B點在不同地震波輸入下水平位移峰值計算誤差見表7。El Centro波地震輸入作用下塔頂A點、主梁跨中B點水平位移時程及反應(yīng)譜見圖6、圖7。

由計算結(jié)果看出，① 由誤差的平均值看，傳統(tǒng)Rayleigh阻尼計算方法與本文方法位移反應(yīng)誤差均小于5%，均滿足工程需要。由位移FFT譜知，A、B點水平位移均由第1階模態(tài)反應(yīng)控制。第1階模態(tài)阻尼比等于精確解時，結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)誤差即可控制在合理范圍內(nèi)。② 第2個參考頻率越大(如i=1 &j=539)，兩參考頻率之間模態(tài)阻尼比越小于精確解，所得計算結(jié)果越大于精確解。本文所用優(yōu)化參考頻率使對結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)有影響部分模態(tài)阻尼小于精確解，部分大于精確解，由此達到位移反應(yīng)誤差為最小目的。用本文方法計算所得結(jié)果誤差均小于傳統(tǒng)方法，表明計算精度良好。③ 由精確解的Fourier譜知，A點水平位移主要頻率成分小于2 Hz，B點水平位移主要頻率成分小于1.2 Hz。約束優(yōu)化算法中考慮各模態(tài)對總位移貢獻影響，即表6中φkn=φn(Ax)的第2個參考頻率大于φkn=φn(Bx)的原因。

表7 A、B點水平位移反應(yīng)峰值相對誤差(%)

圖6 A點水平位移及Fourier譜

不同地震波作用下橋墩C點剪力Fx及彎矩Mz計算誤差(Fx，Mz為整體坐標(biāo)系下計算結(jié)果) 見表8。

El Centro波順橋向地震輸入作用下C點剪力Fx與彎矩Mz時程及反應(yīng)譜見圖8、圖9。由計算結(jié)果看出，① 用傳統(tǒng)方法計算的三種組合計算誤差平均值均大于5%。且隨第2個參考頻率增大誤差增大。此因?qū)υ摌蚨占袅Α澗刎暙I最大的兩階模態(tài)為第28階(頻率1.123 Hz)、第56階(頻率3.058 Hz)。本文所選三種傳統(tǒng)Rayleigh阻尼計算組合均使第28階模態(tài)阻尼比小于精確解。第2個參考頻率越大該階模態(tài)阻尼比越小，導(dǎo)致時程分析結(jié)果較精確解大。② 本文方法雖以位移反應(yīng)誤差為目標(biāo)函數(shù)獲得Rayleigh阻尼系數(shù)，但仍可兼顧內(nèi)力反應(yīng)的頻譜特性，使剪力、彎矩計算誤差均小于傳統(tǒng)方法，計算精度良好。③ 比較φkn=φn(Ax)與φkn=φn(Bx)兩組統(tǒng)計結(jié)果，以φkn=φn(Ax)為權(quán)重函數(shù)的計算結(jié)果大于精確解，以φkn=φn(Bx)時的結(jié)果小于精確解。此因φkn=φn(Bx)時所得第2個參考頻率位于第28階模態(tài)附近，而Rayleigh阻尼將使高階振動由于人為原因造成的阻尼增大而被消除。導(dǎo)致對結(jié)構(gòu)剪力、彎矩有顯著影響的第56階模態(tài)反應(yīng)小于精確解，從而所得內(nèi)力計算結(jié)果小于精確解。而φkn=φn(Ax)優(yōu)化所得第2階參考頻率位于第28、56階模態(tài)之間，所得Rayleigh阻尼將高估第28階模態(tài)振動同時又低估第56階模態(tài)振動，故誤差相對較小且計算結(jié)果大于精確解。當(dāng)結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)小于精確解時，所得計算結(jié)果較不安全。因此以塔頂位移為參考自由度進行順橋向地震激勵下Rayleigh阻尼系數(shù)的計算更合理。

表8 C點剪力、彎矩峰值相對誤差(%)

圖8 C點剪力及Fourier譜

5 結(jié) 論

本文針對橋梁結(jié)構(gòu)基頻模態(tài)為結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)顯著貢獻模態(tài)特點，提出Rayleigh阻尼系數(shù)的約束優(yōu)化分析方法。利用懸臂梁簡諧振動動力反應(yīng)，討論荷載迫振頻率對構(gòu)建合理Rayleigh阻尼影響，結(jié)論如下：

(1) Rayleigh阻尼系數(shù)約束優(yōu)化解可綜合考慮荷載頻譜特性及結(jié)構(gòu)動力特性影響，直接獲得Rayleigh阻尼系數(shù)，使對結(jié)構(gòu)有顯著貢獻模態(tài)的阻尼比合理。

(2) 大跨斜拉橋塔頂及主梁跨中位移主要由少數(shù)低階模態(tài)控制。用傳統(tǒng)Rayleigh阻尼計算方法分析時，所得結(jié)果計算誤差可控制在5%以內(nèi)；橋墩的剪力、彎矩因其頻率成分豐富，部分高階振型模態(tài)對結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)同樣貢獻顯著；采用人為方法選擇兩階參考模態(tài)時，選取不當(dāng)將引起較大計算誤差。

(3) 隨計算模態(tài)個數(shù)的增加Rayleigh阻尼系數(shù)約束優(yōu)化解所得α，β趨于穩(wěn)定。大跨橋梁的計算所用模態(tài)個數(shù)對應(yīng)的累積振型參與質(zhì)量超過70%時，可得α，β的穩(wěn)定解。

(4) 本文方法所得Rayleigh阻尼系數(shù)計算誤差在統(tǒng)計意義上小于傳統(tǒng)方法?？杀苊庖蛉藶檫x擇參考頻率帶來的任意性，適合工程結(jié)構(gòu)的計算與分析?？紤]順橋向振動時，以橋身位移為優(yōu)化目標(biāo)所得Rayleigh阻尼系數(shù)易使結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)小于精確解，安全性較低；以塔頂位移為參考自由度時所得結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)誤差較小且大于精確解，因此塔頂位移作為參考自由度更合理。

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