BL-代數(shù)的余零化算子及其BL同態(tài)像

王霞霞, 吳洪博

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 西安 710062)

BL-代數(shù)的余零化算子及其BL同態(tài)像

王霞霞, 吳洪博

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 西安 710062)

通過在BL-代數(shù)中給出單點(diǎn)余零化算子的概念, 研究單點(diǎn)余零化算子的基本性質(zhì); 在BL-代數(shù)中討論多點(diǎn)余零化算子的基本性質(zhì), 并給出BL-代數(shù)的一個(gè)子集是多點(diǎn)余零化算子像的充要條件; 研究多點(diǎn)余零化算子BL同態(tài)像的性質(zhì)并分別給出余零化算子的BL同態(tài)像和余零化算子的BL同態(tài)原像是余零化算子像的充要條件.

模糊邏輯; BL-代數(shù); 單點(diǎn)余零化算子; 多點(diǎn)余零化算子; BL同態(tài)

模糊邏輯作為非經(jīng)典數(shù)理邏輯的一個(gè)重要分支是人工智能與信息科學(xué)等許多領(lǐng)域中推理機(jī)制的基礎(chǔ).隨著模糊命題邏輯系統(tǒng)的發(fā)展, 各種模糊邏輯代數(shù)相繼出現(xiàn), 如文獻(xiàn)[1-2]將蘊(yùn)涵算子引入格結(jié)構(gòu)中建立了格蘊(yùn)涵代數(shù); 文獻(xiàn)[3]以MV代數(shù)和R0代數(shù)為特例建立了BR0代數(shù); Hjek[4]基于連續(xù)三角模在剩余格的理論框架提出了一種新的模糊邏輯系統(tǒng)----BL-系統(tǒng)和相應(yīng)的邏輯代數(shù)系統(tǒng)----BL-代數(shù); 文獻(xiàn)[5-11]從多角度對(duì)BL-代數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了研究; 文獻(xiàn)[12-13]對(duì)格蘊(yùn)涵代數(shù)的零化子進(jìn)行了研究.本文在文獻(xiàn)[5,12-13]的基礎(chǔ)上, 在BL-代數(shù)中提出單點(diǎn)余零化算子和多點(diǎn)余零化算子的概念, 并對(duì)其基本性質(zhì)進(jìn)行研究, 給出了BL-代數(shù)的子集是余零化算子像的充要條件; 研究了多點(diǎn)余零化算子的BL同態(tài)像, 并分別得到了BL-代數(shù)的余零化算子的同態(tài)像是余零化算子像的充要條件和BL-代數(shù)的余零化算子的同態(tài)原像是余零化算子像的充要條件.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[14]設(shè)P是偏序集, 若下列條件成立:

1) ?:P×P→P是單調(diào)遞增的;

2) →:P×P→P關(guān)于第一變量是不增的, 關(guān)于第二變量是不減的;

3)a?b≤c當(dāng)且僅當(dāng)a≤b→c,a,b,c∈P.

則P上的二元運(yùn)算?和→稱為互為伴隨; (?,→)稱為P上的伴隨對(duì).

定義2[14]若下列條件成立:

1)L上有伴隨對(duì)(?,→);

2) (L,?,→)是帶單位1的交換半群, 這里1是L中的最大元.

則有界格L稱為剩余格.

定義3[3]?a,b∈L, 若滿足下列條件:

1)a∧b=a?(a→b);

2) (a→b)∨(b→a)=1.

則剩余格L稱為BL-代數(shù).

引理1[5-6]設(shè)L是BL-代數(shù), ?a,b,c∈L, 有:

1)a?b≤a∧b≤a∨b;

2)a≤b當(dāng)且僅當(dāng)a→b=1;

3) 1→a=a;

4)a∧b≤a→b;

5)a?(a→b)≤b;

6)b≤a→(a?b);

7) 當(dāng)b≤c時(shí),a→b≤a→c;

10)a∨b=((a→b)→b)∧((b→a)→a);

11) BL-代數(shù)L是分配格.

2 BL-代數(shù)的單點(diǎn)余零化算子

d:L→P(L)

定義4設(shè)L是BL-代數(shù), 若其滿足: ?a∈L,d(a)={x∈L|a∨x=1}, 則稱d:L→P(L)為BL-代數(shù)中的單點(diǎn)余零化算子, 這里P(L)指L的冪集(下同).

命題1若d是BL-代數(shù)L中的單點(diǎn)余零化算子, ?a,b∈L, 則下列結(jié)論成立:

1)d(1)=L,d(0)={1};

2) 若a≤b, 則d(a)?d(b);

3)d(a)∪d(b)?d(a∨b);

4)d(a)∩d(b)=d(a∧b)?d(a→b);

5)d(a?b)=d(a)∩d(b);

6) 若x∈d(a), 則x→0≤a.

證明: 1) ① ?x∈L, 由x∨1=1知x∈d(1), 即L?d(1), 又d(1)?L, 因此d(1)=L; ② ?x∈d(0), 由定義4知x∨0=1, 因此x=1, 所以d(0)={1}.

2) ?x∈d(a), 由a≤b得b∨x≥a∨x=1, 所以x∈d(b), 于是d(a)?d(b).

3) ?x∈d(a)∪d(b),x∈d(a)或x∈d(b), 即a∨x=1或b∨x=1, 因此(a∨b)∨x=1, 所以x∈d(a∨b), 于是d(a)∪d(b)?d(a∨b).

4) ①x∈d(a)∩d(b)當(dāng)且僅當(dāng)x∈d(a)且x∈d(b)當(dāng)且僅當(dāng)a∨x=1且b∨x=1當(dāng)且僅當(dāng)(a∧b)∨x=(a∨x)∧(b∨x)=1(引理1中11))當(dāng)且僅當(dāng)x∈d(a∧b), 所以d(a∧b)=d(a)∩d(b); ② 由引理1中4)知a∧b≤a→b, 結(jié)合2)知d(a∧b)?d(a→b).

5) 一方面, 若x∈d(a?b), 則由引理1中1)知a?b≤a∧b, 結(jié)合2)得x∈d(a∧b), 再結(jié)合4) 知x∈d(a)∩d(b), 即d(a?b)?d(a)∩d(b); 另一方面, 若x∈d(a)∩d(b), 則x∈d(a)且x∈d(b), 即a∨x=1且b∨x=1, 所以

從而(a?b)∨x=1, 即x∈d(a?b), 于是d(a)∩d(b)?d(a?b), 綜合得d(a?b)=d(a)∩d(b).

6) 若x∈d(a), 則由定義4和引理1中10)知(x→a)→a≥x∨a=1, 從而結(jié)合引理1中2)得x→a≤a, 又由引理1中7)知x→a≥x→0, 所以a≥x→0.

定義5設(shè)L是BL-代數(shù), ?a∈L, 定義

則稱an為a的n次冪.

推論1設(shè)L是BL-代數(shù),d是BL-代數(shù)中的單點(diǎn)余零化算子, 則?a,b∈L, 有d(a?b)=d(a∧b).特別地, 有?n∈,n≥1,d(an)=d(a).

證明: 1) 由命題1中4),5)知d(a?b)=d(a∧b).

2) 當(dāng)n=1時(shí), 結(jié)論顯然成立.假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立, 即d(ak)=d(a), 則當(dāng)n=k+1時(shí), 由1)知d(ak+1)=d(ak?a)=d(ak∧a), 又由定義1中1)知ak≤a, 從而d(ak+1)=d(ak)=d(a).

由數(shù)學(xué)歸納法知結(jié)論成立.

定理1設(shè)L是BL-代數(shù),d是BL-代數(shù)中的單點(diǎn)余零化算子, 則?a,x,y∈L, 有:

1)d(a)是上集, 即若x∈d(a)且x≤y, 則y∈d(a);

2) 當(dāng)x∈d(a),y∈d(a)時(shí),x?y∈d(a).

證明: 1) 若x∈d(a)且x≤y, 則由d的定義知y∨a≥x∨a=1, 即y∈d(a).

2) 若x∈d(a),y∈d(a), 則a∨x=1,a∨y=1, 因此由d的定義知a∈d(x),a∈d(y), 所以a∈d(x)∩d(y), 再結(jié)合命題1中5)知a∈d(x?y), 即a∨(x?y)=1, 從而x?y∈d(a).

定理2設(shè)L是BL-代數(shù),d是BL-代數(shù)中的單點(diǎn)余零化算子,a,b∈L, ?x,y∈L, 有:

1) 若x∈d(a),y∈d(a∧b), 則x∨y∈d(b);

2) 若x∈d(a),y∈d(a?b), 則x∨y∈d(b);

3) 若x∈d(a),y∈d(a→b), 則x∨y∈d(b).

證明: 1) 由y∈d(a∧b)結(jié)合d(a∧b)?d(b)知y∈d(b), 再利用定理1中1)知x∨y∈d(b).

2) 由1)及推論1知結(jié)論成立.

3) 由x∈d(a),x≤x∨y結(jié)合定理1中1)知x∨y∈d(a), 同理由y∈d(a→b)知x∨y∈d(a→b), 所以x∨y∈d(a)∩d(a→b), 再結(jié)合命題1中5)知x∨y∈d(a?(a→b)), 又由引理1中5)知a?(a→b)≤b, 因此由命題1中2)知d(a?(a→b))?d(b), 所以x∨y∈d(b).

定理3設(shè)L是BL-代數(shù),d是BL-代數(shù)中的單點(diǎn)余零化算子,a,b∈L, 若x∈d(a),y∈d(b), 則x?y,x→y,x∨y,x∧y∈d(a∨b).

證明: 由x∈d(a),y∈d(b)結(jié)合d(a),d(b)?d(a∨b)知,x,y∈d(a∨b), 再利用定理1中2)知x?y∈d(a∨b).又由引理1中1)知x?y≤x∧y,x?y≤x∨y, 再利用引理1中4)知x?y≤x→y, 最后結(jié)合定理1中1)知結(jié)論成立.

3 BL-代數(shù)的多點(diǎn)余零化算子

D: P(L)→P(L)

定義6設(shè)L是BL-代數(shù), 若?A?L,D(A)={x∈L|a∨x=1, ?a∈A}, 則稱D: P(L)→P(L)為BL-代數(shù)中的多點(diǎn)余零化算子.

命題2若D是BL-代數(shù)L中的多點(diǎn)余零化算子, 則?A,B?L, 下列結(jié)論成立:

1)D({1})=L,D(L)={1};

3) 若A?B, 則D(B)?D(A);

4)A?D(D(A)),D(A)=D(D(D(A)));

5)D(D(A))∩D(A)={1};

6)D(A∪B)=D(A)∩D(B);

7)D(A)∪D(B)?D(A∩B).

證明: 1) ①由命題1中1)的證明過程知D({1})=L; ② ?x∈D(L), 又0∈L, 由定義6知x∨0=1, 即x=1, 所以D(L)={1}.

3),4)證明過程參見文獻(xiàn)[5].

5) 若x∈D(D(A))∩D(A), 則由定義6知x=x∨x=1, 即D(D(A))∩D(A)?{1}, 而由?a∈A, 1∨a=1知1∈D(A), 同理1∈D(D(A)), 從而1∈D(D(A))∩D(A).所以結(jié)論成立.

6) 一方面, 由A?A∪B,B?A∪B結(jié)合3)知D(A∪B)?D(A)且D(A∪B)?D(B), 所以D(A∪B)?D(A)∩D(B); 另一方面, ?x∈D(A)∩D(B), 則有x∈D(A),x∈D(B), 所以?c∈A∪B, 總有c∨x=1, 即x∈D(A∪B), 所以D(A)∩D(B)?D(A∪B).綜合得6)成立.

7) 因?yàn)锳∩B?A,A∩B?B, 因此利用3)知D(A)?D(A∩B),D(B)?D(A∩B), 所以7)成立.

定理4設(shè)L是BL-代數(shù),D是BL-代數(shù)的多點(diǎn)余零化算子,A是L的非空子集, 則?x,y∈L, 有:

1)D(A)是上集, 即若x∈D(A)且x≤y時(shí),y∈D(A);

2) 當(dāng)x∈D(A),y∈D(A)時(shí),x?y∈D(A).

證明: 1) 若x∈D(A),x≤y, 則由?a∈A,y∨a≥x∨a=1知y∈D(A).

定理5設(shè)L是BL-代數(shù),D是BL-代數(shù)中的多點(diǎn)余零化算子,A,B是L的非空子集, ?x,y∈L, 若x∈D(A),y∈D(B), 則: 1)x∨y∈D(A∪B); 2)x∧y∈D(A∩B).

證明: 1) 若x∈D(A),y∈D(B), 則由定理4中1)及x∨y≥x,x∨y≥y知,x∨y∈D(A)且x∨y∈D(B), 因此x∨y∈D(A)∩D(B), 再結(jié)合命題2中6)知結(jié)論成立.

2) 若x∈D(A),y∈D(B), 則由A∩B?A,A∩B?B結(jié)合命題2中3)知x∈D(A∩B),y∈D(A∩B), 再利用定理4中2)知x?y∈D(A∩B), 又因?yàn)閤?y≤x∧y, 所以由定理4中1)有x∧y∈D(A∩B).

定理6設(shè)L是BL-代數(shù),A,B是L的子集,D是L的多點(diǎn)余零化算子, 則D(A)∩D(B)={1}的充要條件是D(A)?D(D(B))且D(B)?D(D(A)).

證明: 必要性.?x∈D(A), ?y∈D(B), 由定理4知D(A),D(B)是上集, 再結(jié)合x∨y≥x,x∨y≥y知x∨y∈D(A),x∨y∈D(B), 因此x∨y∈D(A)∩D(B).而由D(A)∩D(B)={1}知x∨y=1, 所以由BL-代數(shù)的多點(diǎn)余零化算子D的定義知x∈D(D(B))且y∈D(D(A)), 從而得D(A)?D(D(B))且D(B)?D(D(A)).

充分性.若D(A)?D(D(B))且D(B)?D(D(A)), 則D(A)∩D(B)?D(D(B))∩D(B).而由命題2中5)知D(D(B))∩D(B)={1}, 所以有D(A)∩D(B)?{1}, 又由定理4知1∈D(A)∩D(B), 所以D(A)∩D(B)={1}.

定理7設(shè)L是BL-代數(shù),F是L的非空子集,D是L的多點(diǎn)余零化算子, 則存在A?L, 使得F=D(A)的充要條件是F是上集, 且D(D(F))=F,F∩D(D(A))={1},D(A)∩D(F)={1}.

證明: 必要性.若F=D(A), 則由定理4中1)知F是上集, 由命題2中4)得D(D(F))=D(D(D(A)))=D(A)=F, 由命題2中5)知

F∩D(D(A))=D(A)∩D(D(A))={1},D(A)∩D(F)=D(A)∩D(D(A))={1}.

充分性.若F∩D(D(A))={1}, 則由F是上集結(jié)合定理6必要性的證明過程知F?D(D(D(A))), 又由命題2中4)知D(D(D(A)))=D(A), 所以F?D(A).又若D(A)∩D(F)={1}, 則由定理6知D(A)?D(D(F)), 又D(D(F))=F, 所以D(A)?F, 綜合得F=D(A).

4 BL-代數(shù)多點(diǎn)余零化算子的BL同態(tài)像

定義7[5]設(shè)L,K是BL-代數(shù),f:L→K是L到K的映射, 若?x,y∈L,f(x→y)=f(x)→f(y),f(x?y)=f(x)?f(y),f(0L)=0K, 則稱f為從L到K的BL同態(tài).

若BL同態(tài)映射f是一一映射, 則稱f為BL同構(gòu)映射.

引理2[5]設(shè)L,K是BL-代數(shù),f:L→K是L到K的BL同態(tài), 則?x,y∈L, 有： 1)f(x∨y)=f(x)∨f(y); 2)f(x∧y)=f(x)∧f(y).從而BL同態(tài)是剩余格同態(tài).

定義81) 設(shè)L,K是BL-代數(shù),f:L→K是L到K的BL同態(tài),A?L, 令f(A)={f(x)|x∈A}, 則稱f(A)為A的BL同態(tài)像.

2) 設(shè)L,K是BL-代數(shù),f:L→K是L到K的BL滿同態(tài),B?K, 令f-1(B)={x∈L|f(x)∈B}, 則稱f-1(B)為B的BL同態(tài)原像.

定理8設(shè)L,K是BL-代數(shù),f:L→K是BL同態(tài),D是BL-代數(shù)的多點(diǎn)余零化算子,A是L的非空子集, 則f(D(A))?D(f(A)).

證明: ?y∈f(D(A)), ?x∈D(A), 使得f(x)=y, 又?z∈f(A), ?a∈A, 使得f(a)=z, 所以由引理2知y∨z=f(x)∨f(a)=f(a∨x).而由定義6知a∨x=1L, 再利用BL同態(tài)定義知

f(a∨x)=f(1L)=f(0L→0L)=0K→0K=1K,

所以y∨z=1K, 即y∈D(f(A)).

圖1 L的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of L

例1多點(diǎn)余零化算子的BL同態(tài)像不必是多點(diǎn)余零化算子的像, 即設(shè)L,K是BL-代數(shù), 映射f:L→K是一個(gè)BL同態(tài),A是L的非空子集,D是BL-代數(shù)的多點(diǎn)余零化算子, 則f(D(A))不必是K中多點(diǎn)余零化算子的像.

證明: BL-代數(shù)L={0,a,b,1}, 其結(jié)構(gòu)如圖1所示, 其中“→”和“?”運(yùn)算列于表1.BL-代數(shù)K={0,1/2,1}, 其中“→”和“?”運(yùn)算列于表2.

表1 例1中L的運(yùn)算Table 1 Operation of L for example 1

表2 例1中K的運(yùn)算Table 2 Operation of K for example 1

1) 取f(1)=f(a)=1,f(0)=f(b)=0, 則可驗(yàn)證f:L→K是一個(gè)BL同態(tài).

2) 取A={a}, 則D(A)={b,1},f(D(A))={0,1}, 可見f(D(A))不是K中的上集, 從而由定理4知不存在B?K, 使得f(D(A))=D(B).

定理9設(shè)L,K是BL-代數(shù),f:L→K是BL滿同態(tài),B是K的非空子集,D是BL-代數(shù)的多點(diǎn)余零化算子, 則f-1(D(B))?D(f-1(B)).

證明: 設(shè)x∈D(f-1(B)), ?b∈B, 由f是滿同態(tài)知存在a∈L, 使得f(a)=b, 即a∈f-1(B), 由定義6知x∨a=1, 所以由引理2知

f(x)∨b=f(x)∨f(a)=f(x∨a)=f(1)=1.

因此由定義6知f(x)∈D(B), 即x∈f-1(D(B)), 所以f-1(D(B))?D(f-1(B)).

例2多點(diǎn)余零化算子的BL同態(tài)原像不必是多點(diǎn)余零化算子的像, 即設(shè)L,K是BL-代數(shù), 映射f:L→K是一個(gè)BL滿同態(tài),B是K的非空子集,D是BL-代數(shù)的多點(diǎn)余零化算子, 則f-1(D(B))不必是L中多點(diǎn)余零化算子的像.

證明: BL-代數(shù)L={0,1/2,1}, 其中“→”和“?”運(yùn)算列于表3.BL-代數(shù)K={0,1}, 其中“→”和“?”運(yùn)算列于表4.

表3 例2中L的運(yùn)算Table 3 Operation of L for example 2

表4 例2中K的運(yùn)算Table 4 Operation of K for example 2

1) 取f(1)=f(1/2)=1,f(0)=0, 則可驗(yàn)證f:L→K是一個(gè)BL滿同態(tài).

2) 取B={0}, 則D(B)={1},f-1(D(B))={1,1/2}, 可驗(yàn)證f-1(D(B))是L的一個(gè)上集, 所以由定理7知不存在A?L, 使得f-1(D(B))=D(A).

定理10設(shè)L,K是BL-代數(shù),f:L→K是BL同態(tài),A是L的非空子集,D是BL-代數(shù)的多點(diǎn)余零化算子, 則f(D(A))=D(f(A))的充要條件是:

1)D(D(f(D(A))))=f(D(A)); 2)D(f(A))∩D(f(D(A)))={1}.

證明: 必要性.若f(D(A))=D(f(A)), 則結(jié)合命題2中4)知

D(D(f(D(A))))=D(D(D(f(A))))=D(f(A))=f(D(A)),

由命題2中5)知

D(f(A))∩D(f(D(A)))=D(f(A))∩D(D(f(A)))={1}.

結(jié)論成立.

充分性.由定理8知f(D(A))?D(f(A)).而由2)成立, 再結(jié)合定理6得D(f(A))?D(D(f(D(A)))), 又由1)成立, 所以D(f(A))?f(D(A)).綜合得f(D(A))=D(f(A)).

定理11設(shè)L,K是BL-代數(shù),f:L→K是BL滿同態(tài),B是K的非空子集,D是BL-代數(shù)的多點(diǎn)余零化算子, 則f-1(D(B))=D(f-1(B))的充要條件是f-1(D(B))∩D(D(f-1(B)))={1}.

證明: 必要性.若f-1(D(B))=D(f-1(B)), 則由命題2中5)知

f-1(D(B))∩D(D(f-1(B)))=D(f-1(B))∩D(D(f-1(B)))={1}.

充分性.首先f-1(D(B))是L中的一個(gè)上集.事實(shí)上, 設(shè)x∈f-1(D(B)),y∈L, 若y≥x, 則f(y)≥f(x), 又f(x)∈D(B), 所以由定理4知f(y)∈D(B), 即y∈f-1(D(B)).因此由f-1(D(B))∩D(D(f-1(B)))={1}， 再結(jié)合定理7充分性的證明可得f-1(D(B))?D(f-1(B)).又由定理9知f-1(D(B))?D(f-1(B)).綜合得f-1(D(B))=D(f-1(B)).

定理12設(shè)L,K是BL-代數(shù), 映射f:L→K是一個(gè)BL同構(gòu),D是BL-代數(shù)的多點(diǎn)余零化算子,A是L的非空子集,B是K的非空子集, 則f(D(A))=D(f(A)),f-1(D(B))=D(f-1(B)).

證明: 1) 由定理8知f(D(A))?D(f(A)), 因此只需證明D(f(A))?f(D(A)).事實(shí)上,y∈D(f(A)), 則由f是BL同構(gòu)知f是滿射, 即?x∈L使得f(x)=y.又?a∈A有f(a)∈f(A), 因此由引理2及定義6得f(x∨a)=f(x)∨f(a)=y∨f(a)=1K, 進(jìn)而由f是單射知a∨x=1L, 所以有x∈D(A), 從而有y∈f(D(A)), 故D(f(A))?f(D(A)).綜上得f(D(A))=D(f(A)).

2) 由定理9知f-1(D(B))?D(f-1(B)), 因此只需證明D(f-1(B))?f-1(D(B)).事實(shí)上,x∈f-1(D(B)), 則f(x)∈D(B), 又?a∈f-1(B),f(a)∈B, 因此由引理2知f(x∨a)=f(x)∨f(a)=1K, 進(jìn)而由f是單射知a∨x=1L, 所以有x∈D(f-1(B)), 從而D(f-1(B))?f-1(D(B)).綜上得f-1(D(B))=D(f-1(B)).

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Co-annihilatorOperatorofBL-AlgebrasandItsImageofBL-Homomorphism

WANG Xiaxia, WU Hongbo
(CollegeofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi’an710062,China)

Firstly, the definition of single-point co-annihilator operator was given in the BL-algebras, then some properties of single-point co-annihilator operator were studied.Secondly, some properties of multiple-point co-annihilator operator were discussed, and the necessary and sufficient conditions were given for a subset being an image of multiple-point co-annihilator operator in the BL-algebras.Finally, some properties of multiple-point co-annihilator operator’s image of BL-homomorphism were discussed, and the necessary and sufficient conditions were given when co-annihilator operator’s image of BL-homomorphism and its inverse image of BL-homomorphism are the images of multiple point co-annihilator operator.

fuzzy logic; BL-algebra; single-point co-annihilator operator; multiple-point co-annihilator operator; BL-homomorphism

2014-02-20.

王霞霞(1989—), 女, 漢族, 碩士研究生, 從事格上拓?fù)渑c模糊邏輯的研究, E-mail: 767558905@qq.com.通信作者： 吳洪博(1959—), 男, 漢族, 博士, 教授, 從事格上拓?fù)渑c模糊邏輯的研究, E-mail: wuhb@snnu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào): 11171196).

O141.1

A

1671-5489(2014)06-1112-07

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.06.02

趙立芹)