?3中一類共線數(shù)字集自仿測度的譜性質

高 桂 寶

（1.陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院，西安710062；2.運城學院 應用數(shù)學系，山西 運城044000）

0 引 言

目前，譜自仿測度問題的研究主要體現(xiàn)在兩方面：一方面，在什么條件下μM，D是一個譜測度［1－5］；另一方面，關于μM，D不是譜測度條件的研究［6－7］.文獻［8］討論了擴張整矩陣M和?3中的數(shù)字集D分別為M＝pI3，D＝｛0，1，l｝v或者D＝｛0，1｝v所產生自仿測度的譜與非譜性質，其中：p∈?＼｛0，±1｝；v＝｛α，β，γ｝T∈?3，α2＋β2＋γ2≠0.其譜性只與 M，D 有關，本文考慮當數(shù)字集的個數(shù)超過3時的情形，討論?3中的（M，D）對，其中M，D 分別為M＝pI3，D＝｛0，1，2，…，q－1｝v，這里：

得到了幾個μM，D的譜性與非譜性結果.

如果存在一個離散點集Λ??n，使得E（Λ）∶＝ ｛e2πi〈λ，x〉：λ∈Λ｝成為L2（μ）的一個正交基，則稱一個支撐在?n中緊集上的概率測度μ為譜測度，集合Λ稱為μ的一個譜.由仿射迭代函數(shù)系｛φd（x）＝ M－1（x＋d）｝d∈D迭代產生的不變測度μ∶＝μM，D滿足

猜測1［9－10］設M∈Mn（?）是擴張整數(shù)矩陣，D??n是有限集，且0∈D.如果存在S??n，0∈S，使得（M－1D，S）是和諧對，則μM，D是一個譜測度.

本文結果提供了支持猜測1和猜測2可能成立的理論依據.

1 主要結果

定理1 設擴張矩陣M和數(shù)字集D由式（1）給出，q＝4，則：

1）當p∈4?＋｛1，3｝時，L2（μM，D）中至多有4個正交指數(shù)函數(shù)；

2）當p∈4?時，μM，D是譜測度.

M1＝B－1MB＝M，而μM，D與μM1，D1的譜性質相同.

令

從而μM，D與的譜性質相同.

從而

假設λj∈?2（j＝1，2，3，4，5）.使得

是Z1∪Z2∪Z3中的10個元素，由抽屜原理知，Zi（i＝1，2，3）中有一個集合至少包含前4個元素中的2個元素，而這是不可能的.例如，若λ2－λ1，λ3－λ1∈Z1，則

而λ3－λ2∈Z1∪Z2∪Z3與

2）由于p∈4?時，

定理1推廣到?n空間上也成立，有下述推論：

推論1 設擴張矩陣M＝pIn和數(shù)字集D由式（1）給出（其中v∈?n且非零），q＝4，則：

1）當p∈4?＋｛1，3｝時，L2（μM，D）中至多有4個正交指數(shù)函數(shù)；

2）當p∈4?時，μM，D是譜測度.

對數(shù)字集個數(shù)q＞4時的情形有下列定理：

定理2 設擴張矩陣M和數(shù)字集D由式（1）給出，q＞4，則下列兩個結論成立：

2）L2（μM，D）空間中有無限相互正交的指數(shù)函數(shù)當且僅當p，q的最大公因子大于1.

證明：記

從而μM，D與譜性質相同.

對于μ＝μM，D，由式（2）可得

通過迭代有

其中

則

其中ξ＝（ξ1，ξ2，ξ3）T∈?3.

記

設gcd（q，p）＝d.假設q和p互素，即d＝1.設

則

假設d＞1，顯然d≤q.

1）先考慮d＝q并且證明其對應的測度是譜測度.記p＝qr并定義

易驗證矩陣

是它的一個譜，等價于下列等式成立：

而

從而

定理2推廣到?n空間上也成立，有下述推論：

推論2 設擴張矩陣M 和數(shù)字集D 分別為M＝pIn，D＝｛0，1，…，q－l｝v，其中p∈?＼｛0，±1｝，In是n階單位矩陣，v是?n中的非零列向量，則：

2）L2（μM，D）空間中有無限相互正交的指數(shù)函數(shù)當且僅當p，q的最大公因子大于1.

［1］Jorgensen P E T，Pedersen S.Dense Analytic Subspaces in Fractal L2－Spaces［J］.J Anal Math，1998，75（1）：185－228.

［2］Laba I，WANG Yangang.On Spectral Cantor Measures［J］.J Funct Anal，2002，193（2）：409－420.

［3］LI Jianlin，WEN Zhiying.Spectrality of Planar Self－affine Measures with Two－Element Digit Set［J］.Sci China Math，2012，55（3）：593－605.

［4］LI Jianlin.Orthogonal Exponentials on the Generalized Plane Sierpinski Gasket［J］.J Approx Theory，2008，153（2）：161－169.

［5］LI Jianlin.Spectral Self－affine Measures in?n［J］.Proc Edinburgh Math Soc，2007，50（1）：197－215.

［6］LI Jianlin.Non－spectrality of Planar Self－affine Measures with Three－Elements Digit Set［J］.J Funct Anal，2009，257（2）：537－552.

［7］LI Jianlin.The Cardinality of Certainμ，M，D－Orthogonal Exponentials［J］.J Math Anal Appl，2010，362（2）：514－522.

［8］高桂寶.?3中共線數(shù)字集自仿測度的譜性質 ［J］.吉林大學學報：理學版，2014，52（2）：190－194.（GAO Guibao.Spectrality of Self－affine Measures with Collinear Digit Set on?3［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2014，52（2）：190－194.）

［9］Dutkay D E，Jorgensen P E T.Fourier Frequencies in Affine Iterated Function Systems［J］.J Funct Anal，2007，247（1）：110－137.

［10］Dutkay D E，Jorgensen P E T.Analysis of Orthogonality and of Orbits in Affine Iterated Function Systems［J］.Math Z，2007，256（4）：801－823.

［11］Dutkay D E，Jorgensen P E T.Probability and Fourier Duality for Affine Iterated Function Systems［J］.Acta Appl Math，2009，107（1／2／3）：293－311.